福建福州第一中学2025-2026学年第二学期中考前模拟考试数学试卷

福州一中2025-2026学年第二学期期末模拟考试 初三 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示零件的左视图是（ ） A． B． C． D． 3．地球土的水的总储量约为，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为，因此我们要节约用水．请将用科学记数法表示是（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．福州一中合唱团从初一年段选了60名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这60名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这60名学生的身高（ ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 6．如图，、为的两条弦，D、G分别为、的中点，的半径为4．若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件；若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．下列说法中错误的是（ ） A．在中，，则是直角三角形 B．在中，，则是直角三角形 C．在中，，则是直角三角形 D．在中，，，则是直角三角形 9．如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，，，则k的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 12．因式分解：__________． 13．如图，已知，且，，若，则的面积为__________． 14．小明训练引体向上，记录了6次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的中位数是__________． 15．已知的半径为6，是的弦，点B是上异于点A、C的一点，若，则的大小为__________． 16．已知抛物线经过点，，若，则m的取值范围为__________． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，点E在的边上，点F在边的延长线上，且，求证：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）某中学开展“国庆75周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． （1）把条形统计图补充完整； （2）若该学校有学生1200人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （3）某班级1名男同学和3名女同学都完整观看了阅兵盛典，要从这4人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树状图法，求选出的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 21．（8分）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级5班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图1），并测量了相关数据进行研究．如图2所示，小明投篮的出手点P在地面的正投影为点O，以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点P离地面高度为1.75米，篮筐中心A到点O的水平距离为5米，离地面高度为3米，篮球运动路线的最高点C到点O的水平距离为3米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果球员小亮准备站在点O与点B之间的点M（与点O、点B不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 22．（10分）如图，在中，，，． （1）在上找一点M，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 23．（10分）实数a、b、m满足，，且． （1）若，当时，求a及b的值； （2）是否存在m使，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后；． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，弹簧测力计A的示数为______N，弹簧测力计B的示数为______N； （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式； （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，求m，n的值． 25．（14分）如图1，是等边的外接圆，，点P是外一点，分别交、于点D、E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点F是上的动点，点G在内，，且． （ⅰ）当，且时，求的值： （ⅱ）如图3，当过点O时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $福州一中2025-2026学年第二学期期末模拟考试参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D D A A B D 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上) 11.x>2; 12.2x+2)x-2; 13.4; 14.7.5; 15.60°或120°； 16. 2<m<3. 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17.(8分)解：原式=1+5-1+2x5 (-3) 2 =-3. 18.(8分)证明：在ABCD中AB=CD,ABIIDC, .LBAF=∠D, 又：∠ABF=∠DCE, .△ABF≌△DCE, .AF DE 19.(8分)解：原式= 3x2-3x =-1-13xx- x-1(x-2 =x-2.3xx-1 x-1(x-2 =_3r x-2 3(2+V5) .当x=2+√3时，原式= =25+3. 2+√5-2 20.(8分)(1)解：如图所示； 人数 6234062 影半少 (2)解：1200× 4 =60(人) 40+28+8+4 答：该校没观看阅兵盛典的学生人数为60人. (3)解：列表如下： 男 女 女 女 男 (男，女) (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) 由表可知一共有12种等可能性的结果，其中恰好是1名男同学和1名女同学的有6种， 一恰好是1名男同学和1名女同学的概率是6-！ 122 21.(8分)解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k(a≠0)， ,由题可知：抛物线过点P(0,1.75、A5,3), [9a+k=1.75 4a+k=3 1 a=- 解得 4, k=4 抱物线的解析式为)y=寻x-+4: (2)设0M=,此时篮球高度为y=寻x-3+4. 要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于5米，就能拦截成功。 16 当-x-3+4=2时，解得x=号或x= 9 16 “抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,最高点为4> 16 撒物线的函数值y随自变量x的变化趋势可知，当x≤时，篮球高度 55米： 16 当3 9 3<x<9时，篮球高度高于55米；当x≥9时，篮球高度不高于55米。 2 16 2 16 ,小亮站在点O与点B之间，即0<x<5, 当0<r≤2或？≤r<5时，篮球高度不超过55米，小亮可以成功拦截， 16 3 9 0<oM≤2或2≤0M<5. 22.(10分)解：(1)如图所示，点M即为所求. (2)作MD⊥AB、ME⊥BC、CF⊥BM,垂足分别为D、E、F, 设点B到4C的距离为，则SBm=方WA,SwCM, -AM.h AM SABCM ICM.h CM :AB·CM=AM·BC, AB AM BC CM S幽=48 SABCM BC 1 SAA-4B-MD.SAncM =BC.ME. :=2 ABMD AB:MD SABCM BC·ME BC.ME 2 ABAB·MD 'BCBC·ME :MD ME 又：MD⊥AB,ME⊥BC, .BM平分LABC, :∠ABC=60°， :∠ABM=∠CBM=∠ABC=30°， 2 :∠ACB=105°， ∠A=15°， ∠BMC=∠A+∠ABM=45°， :BC=6,CF⊥BM, :.CF=-BC=3, 2 .BF=33,FM CF=3, .BM BF +FM =33+3. 23.(10分)解：(1)：a2-am+m2=2m+4,b2-bm+m2=2m+4,且a≠b, a、b是关于x的方程x2-mx+m2-2m-4=0的两个不相等的实数根， x2-2x-4=0, 解得x=1+√5或x=1-√5， a xb, a=1+V5,b=1-V5. (2)存在. 理由：由(1)得a、b是关于x的方程x2-mx+m2-2m-4=0的两个不相等的实数根， .△=(-m-4m2-2m-4>0, 解特：一子m<4, :a+b=m,ab=m2-2m-4,a2+b2=3, .(a+b)2-2ab=m2-2m2-2m-4=3, 解得m=-1或m=5, 又：音m4, m=-1. 24.(12分)(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N,弹簧测力计B的示数 为2.5N; (2)解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉为=kx+b (k≠0)，将(6,4)和10,2.8)分别代入F方=kx+b,得 6k+b=4 k=0.3 0k+b=2.8'解得 b=5.81 ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F粒方=-0.3x+5.8; (3)解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N.当x=7时，F方=-0.3×7+5.8=3.7(N), 4-3.7=0.3N, m=0.3N, 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉为关于x的函数解析式为F拉力=kx+6(k≠0)， 将(6,4)和(10,2.5)分别代入F数力=kx+6，得 6k+b=4 0%+6=2.5’解得 k=0.375 b=6.25 .当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力为关于x的函数解析式为F粒力=-0.375x+6.25; .当-0.375x+6.25=3.7时，x=6.8(cm, n=x-6=0.8(cm. 25.(14分)(1)证明：过点B作直径BH,连接AH、BE, PB2=PA·PE, .PB PE PAPB 又：∠BPE=∠APB, △PBE∽△PAB, ∠PBE=∠PAB, :BH是⊙0的直径， ∠BAH=90°， LBAP+∠EAH=90°， :∠PBE+∠EBH=90°， ∠HBP=90°， .HB⊥BP, 又：BH是⊙0的直径， BP是⊙O的切线. (2)解：分别过点D、G作DM⊥AC、GN⊥BD,垂足分别为M、N, 在等边△ABC中，∠C=60°，DC=3√5， :DM=DC-sin60°=2 9 :∠DFC=45°， ·DF=V2DM=92 2 :∠FDG=60°，且SADFG= 9V5 2， DG-DF-sin60° 9w3 2 2, DG·DF=18, DG=22, :∠CDF=180°-∠DFC-∠C=75°， :LBDG=180°-∠CDF-LFDG=45°， .GN=DG·sin45°=2， :BC=AB=12, .BD=BC-CD=12-33, ∴Sac=BD.GN=12-35. (3)解：过点D作DQ⊥AC,垂足为Q,连接G0, :AB=AC,0B=0C,AP过点O, 2C4D=5∠CAB=30°，CD=号Bc=6, ∠ADQ=90°-∠CAD=60°，AD=6V5, .OD =23,DO=CD.sin60=33, .OD.DQ=18, :DG·DF=18, .DG·DF=OD·DQ, DG DO DO-DF :∠FDG=60°， ∴.∠GDO=∠GDF-∠ODF=∠ADQ-∠ODF=∠QDF, .△GDO△QDF, .∠DG0=∠DQF=90°， .点G在以D0为直径的圆上， 取OD的中点I,连接BI、GI, :G1=D1-D0=5,B0=C0:6, :B1=√BD2+D1P=√39， BG≥B1-G1=V39-V5, :BG的最小值为√39-√3.