精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第八教研区中考考前调研数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作，则表示（ ） A. 收入70元 B. 收入50元 C. 支出70元 D. 支出50元 2. 科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到，即．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “满招损，谦受益”最早出自于先秦《尚书·大禹谟》．某数学小组将“满招损，谦受益”六个字写在一个正方体的六个面上，如图为该正方体的一种表面展开图，则“谦”字一面相对面上的汉字是（ ） A. 满 B. 招 C. 受 D. 益 4. 光从一种介质（如空气）斜射入另一种介质（如水）时，传播方向发生改变，从而使光线在不同介质的交界处发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角，向水槽内注水，水面上升到处时，折射光线与法线的夹角，则光的传播方向改变的角度（的大小）为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 6. 如图，点G，H分别是正六边形的边，上的点，且，连接，相交于点P．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 7. 已知关于的方程（，，为常数） ．若且，则关于该方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 不确定 D. 没有实数根 8. 青铜器是中国古代的一种重要器物，其是红铜与其他化学元素锡、铅等的合金，新铸造完成的青铜器呈金色，后因锈蚀变为青绿色，被称为青铜．现有三张卡片的正面印有青铜器图案如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线上时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点M从点B出发沿边匀速运动到点A．同时动点N从点A出发，以相同的速度先沿边运动到某一点，再从该点沿直线运动到终点D．设点M运动的路程为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个解集是的一元一次不等式组：______． 12. 为引导学生注重日常锻炼，提升体质健康水平，促进全面发展，学校会定期对学生的体育项目进行测试，为过程性评价提供依据．某校根据某次七年级男生引体向上的测试成绩绘制了如图所示的折线统计图，则测试成绩的众数为______个． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 17. 为了提高学生的森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，现从本校的九年级和八年级中各随机抽取m名学生进行测试，将其测试成绩x（满分100分，不低于90分的为优秀）进行整理，分为五个等级，其中A．；B．；C．；D．；E．．现对九年级和八年级抽取的学生的测试成绩进行统计． C．八年级抽取学生的测试成绩在等级D的数据分别为： 81，81，83，85，85，85，87，88； D．八、九年级抽取学生的测试成绩的统计量如下： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 85 14.5 八年级 85 p 16.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）在本次测试中自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是______（填“八”或“九”）年级的学生． （3）结合上表中的统计量，对两个年级的测试成绩进行评价．（写出一条理由即可） 18. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）设直线分别交，于点E，F，连接，，求证：四边形为菱形． 19. 风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． （1）若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． （2）在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 20. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 21. 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平．某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球．经过调研，有A，B两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案： A商店：若购买超过40个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； B商店：若购买超过30个，则超过部分按每个篮球标价的八五折出售． 用x（个）表示购买篮球的数量，y（元）表示购买篮球实付的费用，y关于x的函数图象如图所示． （1）求每个篮球的标价． （2）当时，去A商店购买实付总价yA与购买数量x之间的函数关系式为________当时，B商店购买实付费用与购买数量x之间的函数关系式为________． （3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （4）请根据图象直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠． 22. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用的代数式表示）． （2）若点在该函数图象的对称轴上，，求的值． （3）若分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，且，求的取值范围． 23. 综合与探究 （1）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小辉同学根据题意画出图形，并写出已知及求证．已知：如图1，在中，，为的斜边上的中线，求证：．他证明的思路是：延长至点E，使得，连接．先证明，再证明，∴．∵，∴． 小源同学的证明思路是：在小辉同学画辅助线的基础上，再连接，通过证明四边形是矩形，根据矩形的性质证得结论．请你根据小源同学的思路，完成证明过程． 【迁移探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，于点E，连接，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，M是边上一点，，，，平分交于点E，过点M作交于点P，过点P作于点N，Q为射线上一动点，连接，．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作，则表示（ ） A. 收入70元 B. 收入50元 C. 支出70元 D. 支出50元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵收入120元记作， ∴负数表示与收入意义相反的量，即支出，表示支出70元． 2. 科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到，即．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为． 3. “满招损，谦受益”最早出自于先秦《尚书·大禹谟》．某数学小组将“满招损，谦受益”六个字写在一个正方体的六个面上，如图为该正方体的一种表面展开图，则“谦”字一面相对面上的汉字是（ ） A. 满 B. 招 C. 受 D. 益 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：由图形可得，“谦”字一面相对面上的汉字是“满”． 4. 光从一种介质（如空气）斜射入另一种介质（如水）时，传播方向发生改变，从而使光线在不同介质的交界处发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角，向水槽内注水，水面上升到处时，折射光线与法线的夹角，则光的传播方向改变的角度（的大小）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，由两直线平行，同位角相等得，最后再由计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴． 5. 化简的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式除法法则，先对分子分母因式分解，再约分计算即可得到结果． 【详解】解： ． 6. 如图，点G，H分别是正六边形的边，上的点，且，连接，相交于点P．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由正六边形的性质可得，，再证明，即可得出结果． 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 7. 已知关于的方程（，，为常数） ．若且，则关于该方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 不确定 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件推出和的符号，再判断判别式的符号即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴原方程为一元二次方程，且， ∴判别式， ∵，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 8. 青铜器是中国古代的一种重要器物，其是红铜与其他化学元素锡、铅等的合金，新铸造完成的青铜器呈金色，后因锈蚀变为青绿色，被称为青铜．现有三张卡片的正面印有青铜器图案如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把三张卡片鸮尊、四羊方尊、莲鹤方壶分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线上时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点Q作于点H，交于点M．由题意可得，由等腰直角三角形的性质可得，，从而得出，．设，则，．由平移和旋转的性质，得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点Q作于点H，交于点M． ∵点B的坐标为，点A与原点O重合， ∴． ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴． ∵D为的中点， ∴． 设，则，． 由平移和旋转的性质，得． 在中，有， 即， 解得． ∵， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 10. 如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点M从点B出发沿边匀速运动到点A．同时动点N从点A出发，以相同的速度先沿边运动到某一点，再从该点沿直线运动到终点D．设点M运动的路程为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题图可知，当点M在边上，点N在边上时，y是关于x的二次函数，对应题图2中点O到点P的函数图象；点N从边上某点运动到点D的过程中，y是关于x的一次函数，从而可得点N是沿平行于的直线运动到点D的，故可判断点N先运动到边的中点E，再从点E运动到点D，再结合图计算即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，当点M在边上，点N在边上时，的底和高都在变化，y是关于x的二次函数，对应题图2中点O到点P的函数图象； ∵点N从边上某点运动到点D的过程中，y是关于x的一次函数，的边在变化， ∴上的高是不变的，即此时点N是沿平行于的直线运动到点D， 不妨设交于点， ∴， ∵D是边的中点，即， ∴，即是的中点， ∴点N先运动到边的中点E，再从点E运动到点D，如图所示． 由题图2可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，是的中点， ∴， 当时，，此时点N运动到的中点， ∴． 作于点，则， ∴， ∴，此时点和点重合， ∴，即的高为， 此时． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个解集是的一元一次不等式组：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，根据不等式组的解集分别写出解集分别为，的不等式，即可求解． 【详解】解：依题意，的解集为： 的解集为：， ∴一个解集是的一元一次不等式组可以是： 故答案为：（答案不唯一）． 12. 为引导学生注重日常锻炼，提升体质健康水平，促进全面发展，学校会定期对学生的体育项目进行测试，为过程性评价提供依据．某校根据某次七年级男生引体向上的测试成绩绘制了如图所示的折线统计图，则测试成绩的众数为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图的运用，众数的定义．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据众数的定义解答即可． 【详解】解：测试成绩中个出现的次数最多，故众数是个． 故答案为：． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 【答案】300步 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题知，步，步， 步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得， 经检验是方程的解， 故答案为：步． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，标记字母F，H．易证，得出，求出，从而可得，分别为，所在圆的直径，由网格特点可得，，，，则，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，标记字母F，H． 由网格特点可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，分别为，所在圆的直径． 由网格特点可得，，，， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 9 【解析】 【分析】取的中点M，连接，，由矩形的性质得到，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值和最大值． 【详解】解：取的中点M，连接，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， 的最小值为1，最大值为． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边关系，矩形的性质，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了提高学生的森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，现从本校的九年级和八年级中各随机抽取m名学生进行测试，将其测试成绩x（满分100分，不低于90分的为优秀）进行整理，分为五个等级，其中A．；B．；C．；D．；E．．现对九年级和八年级抽取的学生的测试成绩进行统计． C．八年级抽取学生的测试成绩在等级D的数据分别为： 81，81，83，85，85，85，87，88； D．八、九年级抽取学生的测试成绩的统计量如下： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 85 14.5 八年级 85 p 16.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）在本次测试中自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是______（填“八”或“九”）年级的学生． （3）结合上表中的统计量，对两个年级的测试成绩进行评价．（写出一条理由即可） 【答案】（1）20，20，82 （2）八 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数的定义，准确计算． （1）用八年级抽取学生的测试成绩在等级D的个数除以所占的百分比即可求出调查的总人数m；用1减去其他组所占的百分百即可求出n的值；根据中位数的定义即可求出p； （2）前8名的成绩可以在本年级排在前，然后根据八年级抽取学生的测试成绩第8名的成绩和中位数以及小亮的说法判断即可； （3）根据平均数和方差判断即可． 【小问1详解】 解： ∴； ∵一共有20个数据 ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴中位数； 【小问2详解】 解：∵ ∴前8名的成绩可以在本年级排在前， ∵八年级抽取学生的测试成绩第8名的成绩为85，中位数是82，九年级抽取学生的测试成绩的中位数为85， ∵小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前 ∴小明是八年级的学生； 【小问3详解】 解：因为九年级学生测试成绩的平均数高于八年级，且方差小于八年级， 所以九年级学生的成绩更好且更稳定． (答案不唯一，合理即可)． 18. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）设直线分别交，于点E，F，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解：如图，线段垂直平分线即为所求， （2）证明：如（1）中图，设，交于点O． ∵所在直线是线段的垂直平分线， ∴，，． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，作直线，即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，，由角平分线的定义可得，再证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． （1）若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． （2）在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】（1）扇叶最外端P与地面的距离为 （2）点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【解析】 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． 【小问2详解】 解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 20. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】（1） 画图如下∶ （2）；弹簧秤的示数将不断增大 【解析】 【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键． （1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【小问1详解】 解∶由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶把代入，得， 积的， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 21. 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平．某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球．经过调研，有A，B两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案： A商店：若购买超过40个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； B商店：若购买超过30个，则超过部分按每个篮球标价的八五折出售． 用x（个）表示购买篮球的数量，y（元）表示购买篮球实付的费用，y关于x的函数图象如图所示． （1）求每个篮球的标价． （2）当时，去A商店购买实付总价yA与购买数量x之间的函数关系式为________当时，B商店购买实付费用与购买数量x之间的函数关系式为________． （3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （4）请根据图象直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠． 【答案】（1）每个篮球的标价是120元 （2）， （3）点M表示的实际意义：当购买70个篮球时，在A，B两个商店购买实付费用相同，均为7680元 （4）当或时，在A，B两个商店购买实付费用相同；当时，选择B商店购买更优惠；当时，选择A商店购买更优惠 【解析】 【分析】（1）根据图象中，当时，，此时未达到两个商店的打折门槛，按原价计算，用总价除以数量即可得解； （2）根据两个商店的优惠方式，分别计算即可得出结果； （3）令，解得．此时，即可得出点M的坐标为，结合函数图象写出所表示的意义即可； （4）观察函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：（元）， ∴每个篮球的标价是120元． 【小问2详解】 解：当时，去A商店购买实付总价yA与购买数量x之间的函数关系式为； 当时，B商店购买实付费用与购买数量x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：令， 解得． 此时， ∴点M的坐标为． 点M表示的实际意义：当购买70个篮球时，在A，B两个商店购买实付费用相同，均为7680元． 【小问4详解】 解：观察图象可知， 当或时，在A，B两个商店购买实付费用相同； 当时，选择B商店购买更优惠； 当时，选择A商店购买更优惠． 22. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用的代数式表示）． （2）若点在该函数图象的对称轴上，，求的值． （3）若分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质． （1）将二次函数变形为顶点式即可得出顶点坐标； （2）由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，再由点在该函数图象的对称轴上，可得，进而得，再由得关于的一元一次方程，解方程即可； （3）根据分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，得到，再由，得到到对称轴的距离小于到对称轴的距离，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线， ∵点在该函数图象的对称轴上， ， 解得， ∴， ∵， ， ； 【小问3详解】 解：∵分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧， ∴， 解得； 又， ∴， 解得， 的取值范围是． 23. 综合与探究 （1）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小辉同学根据题意画出图形，并写出已知及求证．已知：如图1，在中，，为的斜边上的中线，求证：．他证明的思路是：延长至点E，使得，连接．先证明，再证明，∴．∵，∴． 小源同学的证明思路是：在小辉同学画辅助线的基础上，再连接，通过证明四边形是矩形，根据矩形的性质证得结论．请你根据小源同学的思路，完成证明过程． 【迁移探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，于点E，连接，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，M是边上一点，，，，平分交于点E，过点M作交于点P，过点P作于点N，Q为射线上一动点，连接，．若，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接． ∵是斜边上的中线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． （2） （3）的值为或1 【解析】 【分析】（1）连接．由直角三角形的性质可得，再结合得出四边形是平行四边形，由，得出四边形是矩形，最后再由矩形的性质证明即可； （2）过点C作于点G．证明是等边三角形，得出，求出，，在和中，分别解直角三角形即可得出结果； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，过点Q作于点G；当点Q在线段的延长线上时，过点Q作于点G；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；如图2，过点C作于点G． ∵，，，， ∴，，，， ∴E为的中点， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 在中，，， 在中， ， ∴． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图3，当点Q在线段上时，过点Q作于点G．连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵Q为的中点， ∴在中，． 在中，，， ∴． 在中，， ∴； ②如图4，当点Q在线段的延长线上时，过点Q作于点G． 同①可得，， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴． 在中，， ∴． 综上所述，的值为或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $