广东省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷03

**基本信息** 本卷全面覆盖人教A版必修二知识，通过法治比赛统计、知识竞赛选拔等真实情境与梯度问题设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析能力，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、概率、统计、立体几何|基础概念辨析（如对立事件充要条件），空间想象（三棱锥外接球表面积）| |填空题|3题15分|复数运算、统计量（方差）、棱台体积|创新设问（判断无点数6的同学）| |解答题|5题77分|统计应用（频率分布直方图）、立体几何证明与计算、解三角形|综合情境（法治比赛成绩分析），逻辑推理（线面垂直证明），数据建模（竞赛方案选择）|

广东省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义表示复数并求模，代入所求式，利用复数的除法化简计算即得. 【详解】由题知复平面内点对应复数为， 所以. . 2．“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 3．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 4．为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 【答案】D 【分析】根据众数、平均数、极差、中位数的定义依次判断各项的正误. 【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得，，，0，1，1，1. 对于A，统计数据中出现的次数为3次，且次数最多，所以众数是，错误； 对于B，统计数据的平均数为，错误； 对于C，统计数据的极差为，错误； 对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，正确. 5．某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 【答案】B 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第百分位数在区间内， 设样本的第百分位数为，则，解得， 即样本的第百分位数约为，故B错误； 对于C，样本的平均数为 ，故C正确； 对于D，用电量落在内的户数为，故D正确． 6．已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 7．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 8．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 10．（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据，由外心定义判断；对于选项B，由重心的向量形式判断；对于选项C，由变形，根据垂心的向量形式判断；对于选项D，由，得到为的平分线，再由判断. 【详解】对于选项A，已知，由外心定义可得：点是的外心，故正确； 对于选项B，设是中点，由，得，故点是的重心，正确； 对于选项C，由，得，即，同理，，故点是的垂心，故错误； 对于选项D，设，则所在直线为的角平分线，又，则，则，则三角形为等腰三角形，故正确； 故选：ABD． 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______． 【答案】 【详解】. 13．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 【答案】丙 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除甲乙丁，由假设推理判断丙． 【详解】对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故甲错误； 对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故乙错误； 对于丙，若出现6点，因为平均数为2，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故丙正确； 对于丁，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故丁错误； 故答案为：丙． 14．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【分析】根据题意，证得平面，得到，由侧面与底面的夹角为，得到，结合，求得，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接， 可得，且， 过作交于，则平面， 又因为平面，则， 因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由侧面与底面的夹角为，则， 又因为，则，， 由，得到，即， 又由且， 所以四棱台的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 16．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 17．为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1) 分 (2)分 (3)选择方案二，理由见解析 【分析】（1）计算成绩大于或等于分的学生频率，再求频数即得结果； （2）根据组中值计算平均数； （3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案. 【详解】（1）平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分. （2）依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格. （3）5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大. 18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． （3）因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4，                        设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 2．“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 4．为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1. 下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是（ ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是0 5．某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 6．已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 10．（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______． 13．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________ 甲．平均数为3，中位数为2             乙．中位数为3，众数为2 丙．平均数为2，方差为2.4             丁．中位数为3，方差为2.8 14．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 16．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 17．为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 19．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $