云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷（十）

**基本信息** 本卷为高二期末模拟卷，覆盖高考全部内容，通过基础题（如集合、复数）、综合题（如教育政策情境排列组合）及创新题（正四面体切球问题），梯度考查数学眼光、思维与语言，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计、集合、复数等|第8题正四面体切球结合空间观念，体现数学眼光| |多选|3/18|解析几何、立体几何命题等|第11题蒙日圆联系椭圆性质，考查推理能力| |填空|3/15|抛物线、数列不等式等|第13题数列与不等式存在性问题，培养模型观念| |解答|5/77|三角、立体几何、排列组合等|17题以教育政策为情境，19题函数导数综合，突出数学思维与语言表达|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．这一组数据：的中位数为（  ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 4．随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 7．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 10．下列命题中，正确的命题是（     ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 11．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 13．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 14．已知函数，若函数的最大值为1，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． (1)当为线段的中点时，证明：平面平面； (2)当时，求多面体体积的最小值． 17．为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”，推进县域义务教育优质均衡发展，某省教育厅组织名优秀教师（名银龄教师和甲、乙、丙等名青年骨干教师，且这名青年骨干教师不是银龄教师），按照以下要求将其分配到省内个乡村振兴重点帮扶县的三所新建乡村学校任教． (1)要求分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名青年骨干教师给校，问共有多少种不同的分配方案？ (2)要求至少分配名教师给每所学校，且至少分配名银龄教师给每所学校，青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，问共有多少种不同的分配方案？ (3)要求三所学校中，其中分配名教师（含名银龄教师）给所学校，各分配名教师给另外所学校，问共有多少种不同的分配方案？ 18．已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 19．设函数，且关于的方程有两个不相等的根，． (1)证明：无极值． (2)求的取值范围． (3)证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·湖南长沙·三模）这一组数据：的中位数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】要找这组数据的中位数，首先需要把数据从小到大排序： ， 这组数据一共有7个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， 也就是． 2．（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【详解】由，，得， 所以． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】，所以的虚部为2. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、计算古典概型问题的概率 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得出，再根据古典概型概率公式即可求解． 【详解】由，， 得． 要使，即． 由于，独立且均等可能取，1，共有4种等可能情况：，，，． 满足和为0的有2种，所以所求概率为． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【详解】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 6．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性、函数图像的识别 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 8．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（2026·山西忻州·模拟预测）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【知识点】基本不等式求积的最大值、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 10．（25-26高一下·河北唐山·期中）下列命题中，正确的命题是（     ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 【答案】CD 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【详解】对选项A：∵ 若直线平面，则与内直线的位置关系为平行或异面，并非和内所有直线都平行，∴ A错误. 对选项B：∵ 若，，则的位置关系可能为平行、相交或异面，∴ B错误. 对选项C：∵ ，由线面平行的性质可知，存在直线，满足， 又，故，结合，，根据线面平行的判定定理，可得，∴ C正确. 对选项D：过分别作平面的垂线，垂足分别为， 由在同侧，且到的距离相等，得且， ∴ 四边形为平行四边形，故， 又，，故，∴ D正确. 11．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、圆的弦长与中点弦、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，准线， 准线与轴交点， 设抛物线上点，由得， 为线段的垂直平分线，则， 即，的横坐标，则， 则， 解得，此时，， 圆心到轴的距离， 由弦长公式得：． 13．（25-26高二下·天津·期中）已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意求出数列的通项公式，代入不等式转化为求最值问题即可. 【详解】由于数列的前项和满足， 当时，，解得； 当时，有和，两式相减得， 由于，代入后化简得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即， 令，则有， 由于， 因为当时，，当时，，当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 因此数列的最大值为，所以， 则实数的取值范围是. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若函数的最大值为1，则________. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数单调性求出函数在不同区间内的范围，然后结合函数单调性和存在最大值求解. 【详解】由在上是增函数，可得在上的最大值为. 由在上是减函数，可得在上. ①若，即，此时，但该值无法取到，故函数无最大值，与题设矛盾； ②若，即，此时在上的最大值大于，不符合要求； ③若，即，此时在上的最大值为1，在上满足， 符合题意，故. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【详解】（1）根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. （2），. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 16．（2026·山东济南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． (1)当为线段的中点时，证明：平面平面； (2)当时，求多面体体积的最小值． 【答案】(1)证明：如图所示， 因为底面，平面，所以 又因为底面为正方形，所以， 且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）设，得到，根据，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为底面为正方形，底面，且， 在直角中，可得, 因为，设，则， 又由 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时多面体的体积取得最小值，最小值为. 17．（25-26高二下·广东韶关·期中）为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”，推进县域义务教育优质均衡发展，某省教育厅组织名优秀教师（名银龄教师和甲、乙、丙等名青年骨干教师，且这名青年骨干教师不是银龄教师），按照以下要求将其分配到省内个乡村振兴重点帮扶县的三所新建乡村学校任教． (1)要求分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名青年骨干教师给校，问共有多少种不同的分配方案？ (2)要求至少分配名教师给每所学校，且至少分配名银龄教师给每所学校，青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，问共有多少种不同的分配方案？ (3)要求三所学校中，其中分配名教师（含名银龄教师）给所学校，各分配名教师给另外所学校，问共有多少种不同的分配方案？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题、排列组合综合 【分析】（1）利用分步乘法计数原理即可求解； （2）先安排银龄教师，再将甲、乙、丙合并为一组，与剩余人形成三组，最后分配求解； （3）先将名教师按人数分为三组，再分配即可. 【详解】（1）分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，有种分配方案， 再从剩下的教师中分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，有种分配方案， 最后剩余的名青年骨干教师都被分到校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． （2）解法一：至少分配名银龄教师给每所学校，有种分配方案， 青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，剩余的名青年骨干教师分别被分到另外所学校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． 解法二：将这名优秀教师分成三组，名银龄教师与甲、乙、丙为一组，剩余名银龄教师与名青年骨干教师分为两组， 每组各名银龄教师与名青年骨干教师，有种分组方案， 再将这组分配到所学校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． （3）名教师按人数分为三组，其中人组中包含名银龄教师和名青年骨干教师，有种分组方案， 所以共有种分配方案． 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养． 18．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. （2）（i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 19．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）设函数，且关于的方程有两个不相等的根，． (1)证明：无极值． (2)求的取值范围． (3)证明：． 【答案】(1)由求导得， 当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，无极值. (2) (3)由题意，不妨设，要证，即证， 因为，则需证，即， 因为在上单调递减， 所以只需证明，又因为， 即证：， 令，， 令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增， 故，所以，所以，所以， 即，故. 【知识点】利用导数证明不等式、函数极值的辨析、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数导函数，再解关于导函数的不等式，结合极值的定义即可证明； （2）分和讨论，令，先求函数导数，得到的单调性和最值，即可求出的取值范围； （3）构造函数，，要证，即证，利用导数易得函数单调递增，即得结论. 【详解】（1）略 （2）由方程可得：， 所以， 当时，； 当时，， 令，则， 因为，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近负无穷时，趋近，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 如下图： 要使关于的方程有两个不相等的根，需使， 即，故的取值范围为. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $