云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷（七）

**基本信息** 立足高考全内容，以“东数西算”国家战略、人工智能大模型等真实情境为载体，通过多题型梯度设计考查数学抽象、运算推理及数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、集合、双曲线、导数切线|基础概念与基本运算结合| |多选|3/18|复数、立体几何线面关系|多角度辨析空间想象与逻辑推理| |填空|3/15|抛物线焦点、三角函数图像变换、新定义“差扩充”|创新情境中考查知识迁移| |解答|5/77|统计回归（人工智能数据）、解三角形、导数综合、椭圆综合|综合应用与创新探究，如椭圆题融合动点轨迹与定点证明|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（     ） A． B． C． D． 7．“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 8．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．抛物线的焦点的坐标为______． 13．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 16．近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，表示 年1月份，表示年6月份，…），计算得，， ． (1)由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； (2)根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在年4月发布了1款标准化测试得分为分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； (3)现从该区域年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 17．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 18．已知函数 (1)已知在点处的切线方程为，求实数的值； (2)已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． (3)已知有两个零点，求实数的取值范围并证明． (4)比较，，三者的大小，并证明． 19．已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 2．（贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式得，再由交集的定义可得. 【详解】由，即，解得，所以. 又因为，所以. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】由条件结合投影向量公式求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，， 所以在上的投影向量为． 6．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知某实验室样品柜共有m件检测样品A，n件检测样品B，样品检测台上有2件检测样品A，现检测员从样品柜中随机拿出件样品放到样品检测台上，记此时样品检测台上检测样品A的总数为．现检测员从样品检测台上随机取一件样品是检测样品A的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据超几何分布计算得到“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”的期望，根据全概率公式计算最终结果即可. 【详解】设随机变量表示“从样品柜中拿出件样品，样品的数量”，因此随机变量服从超几何分布，即，因此， 设事件为从样品检测台上取一件样品是样品，则当时，此时从检测台上取1件是 A 的条件概率为， 为与中的最小值，则由全概率公式，可得， 因此. 7．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列-其他模型 【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可. 【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少， 根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的． 若根据数据计算量支付费用的是B公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 若根据数据计算量支付费用的是C公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司， 则，，， 解得：，，， 若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：B． 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【知识点】求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 11．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求两圆的交点坐标 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（10-11高二上·广西桂林·期中）抛物线的焦点的坐标为______． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】因为， 所以该抛物线的焦点坐标为，即焦点的坐标为. 13．（2026高一·全国·专题练习）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先由图像变换得到的解析式，再根据在单调递增求出的范围. 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 14．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 【答案】1013 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列新定义、写出等比数列的通项公式 【分析】通过该概念的性质求出为等比数列以及为等差数列并求出具体表达式，最后代入到中求解. 【详解】由题意，，， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； （2）略 16．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，表示 年1月份，表示年6月份，…），计算得，， ． (1)由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； (2)根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在年4月发布了1款标准化测试得分为分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； (3)现从该区域年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【答案】(1) (2)已知年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差， ，残差为：， ， 再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：， ，， 根据Q值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型 (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程 【分析】（1）由题意提取6个自变量，计算均值，用变形公式算出离均差平方和，代入公式求出，再用截距公式计算，写出回归直线方程； （2）分别用两个回归式算预测值，求残差，计算并对比值判断模型类型； （3）用频率估算概率，用二项分布公式计算概率． 【详解】（1），，， 表示年1月份，表示年6月份， ，，，， ，， ，根据， y关于t的线性回归方程为：． （2）略 （3）由年的数据可知，随机抽取了款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率， 多模态模型的频率为， 该区域发布的大模型是多模态模型的概率为， 设抽取的3款大模型中多模态模型有X款，则， 故． 17．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 18．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知函数 (1)已知在点处的切线方程为，求实数的值； (2)已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． (3)已知有两个零点，求实数的取值范围并证明． (4)比较，，三者的大小，并证明． 【答案】(1) (2) (3)， 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， 所以在上单调递增，故， 即成立， 所以成立. (4)， 证明：由（3）可得：， 即，又， 所以 综上可知： 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在上恒成立，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得； （4）由（3）的结论即可判断大小. 【详解】（1）因为，所以. 所以，又在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立. 即恒成立， 即，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （3） 定义域为 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在上存在一个零点（）. 当时，，所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 证明：略 （4）略 19．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据离心率的定义直接计算； （2）设，联立可得，结合基本不等式求最值即可； （3）设，，联立可得，进而得到直线，再求即可得到过定点． 【详解】（1）解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $