云南省2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷（八）

**基本信息** 融合AI算法优化、传统文化等真实情境，梯度设计覆盖复数、函数、几何等高考核心内容，综合题突出创新应用与数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、函数对称轴、抛物线|第7题AI算法模型（科技前沿），第8题"温良恭俭让"文化传承| |多选|3/18|直线与圆、等比数列、双曲线|第11题结合双曲线几何性质考查逻辑推理| |填空|3/15|数列递推、切线方程、翻折外接球|第14题正三角形翻折体现空间观念| |解答|5/77|三角恒等变换、立体几何、导数、类心脏曲线|第19题融合椭圆与圆创新情境，第18题导数应用分层设问发展理性思维|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限. 2．（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 3．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集定义计算即可. 【详解】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 4．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线的方程求参数 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 5．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 6．（2026·山东济宁·三模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 7．（贵州省部分学校2025-2026学年高二下学期6月学科素养训练数学试题）工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2） 【分析】已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，可以计算出常数；再令准确率提升倍数时，计算出. 【详解】根据该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数， 又已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，那么 ，故， 令，得 ， ，，故C正确. 8．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、排列组合综合 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（25-26高二上·江西宜春·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由圆的一般方程确定圆心和半径、直线斜率的定义、由斜率判断两条直线平行 【分析】当直线斜率不存在时可判断A，利用圆的标准方程可判断B，利用两点式直线方程可判断C，利用直线的斜率和截距满足的条件可判断D. 【详解】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时，或 B． C．当时，为等差数列 D． 【答案】ABD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、正项等比数列的对数成等差数列的应用 【分析】由，可得，从而判断B；当时，由，可得或，从而判断A；根据等差数列的定义判断C；由基本不等式判断D. 【详解】公比为的等比数列的前项积为， 由，可得， 则，故B正确； 当时，， 所以，故或，故A正确； ， 当时，， 则不为常数，故不是等差数列，故C不正确； ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 11．（2026·陕西西安·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时，面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 又，则，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是，同理， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以， 因为，所以双曲线的渐近线方程为， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据已知递推公式，从首项开始逐步计算得到. 【详解】 ， ， ，. 13．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】翻折问题中，长度、垂直关系、长度始终不变，是解题基础，先判定底面等腰梯形的外接圆圆心为点与半径，确定球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上，再利用外接球半径处处相等的性质，联立方程得到球心距与翻折角的关系式，通过三角换元简化函数，结合定义域求取最小值，利用分式特性即可求出外接球半径最小值. 【详解】由题意，正边长为，分别是的中点， 由三角形中位线性质得， 故四边形为等腰梯形，且 取中点，中点，连接， 则为等腰梯形的对称轴，梯形高， 易证： 因此点为底面等腰梯形的外接圆圆心，底面外接圆半径， 沿翻折为，翻折过程中边长与垂直关系不变： 即翻折时，动点在垂直于直线的平面内，以定点为圆心、为半径的圆上运动， 设四棱锥的外接球球心为，半径为， 由外接球性质：球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上， 设，由线面垂直得底面，故， 由勾股定理得外接球半径核心关系： ① 过点作平面，则 设翻折角 ，在中，， 则 由 ② 由①②得到 得到， 代入①得到， 令，则 当，即，此时. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·上海·期中）设常数，，． (1)求此函数值域． (2)若是奇函数，求实数的值． (3)设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由，知，再对进行检验，即可； （3）结合题意，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解． 【详解】（1）由题意知 ，其中为辅助角，， 由于，故， 即的值域为; （2）由题意， 检验：， 对任意都有， 是奇函数， . （3）由于，所以， 则，整理得， A是三角形的内角，，所以， ， 由，，结合余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，， 当时，， 则的面积为，或. 16．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 (2)存在点E， 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）略. （2）存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 17．（25-26高二下·广东汕头·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为． 【知识点】求超几何分布的概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列 【分析】(1)分析摸出3个球得分大于3分的随机事件所包含的基本事件，利用超几何分布的概率公式计算即可； (2)随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式计算X不同的取值对应的概率，列出分布列，代入期望和方差公式计算即可． 【详解】（1）Y表示取出中白球的个数，事件A表示摸出3个球得分大于3分； 则， 其中，，互斥； 故, ， ， 故； （2）由题意知，，X的取值为：0，1，2，3， ； ； ； ； 故X的分布列： 0 1 2 3 ； ； 故期望为，方差为． 18．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）(1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】 (1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）证明：对求导得， 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 计算得，，， 由方程在内有两个不等实根，得，且. 要证，即证. 由得，且在上单调递增，故只需证. 由，故只需证，即对恒成立. 构造函数，， 代入展开化简得： 由得，故，即， 因此，则，即， 结合在上单调递增，可得，即，原不等式得证. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）先确定函数定义域，求导后对导函数因式分解，根据参数的不同取值分类讨论导函数的符号，进而得到函数的单调区间. （2）将函数在区间上单调递减转化为导函数非正恒成立，通过分离参数将问题转化为求函数在区间上的最小值，进而得到参数的取值范围. （3）先分析函数的单调性与极值，确定两根的分布区间，将待证不等式转化为函数值大小比较，构造对称差函数并化简，通过分析差函数的符号完成极值点偏移的证明. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得. 由得，故的符号由决定. 当时，对任意恒成立，即， 因此在上单调递减. 当时，令，解得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）函数的定义域为，求导得， 因在上为减函数，则对任意恒成立. 即对恒成立， 整理得对恒成立. 令，， 因在上单调递增且恒为正数， 故在上单调递增， 则， 故，即实数的取值范围是. （3）略 19．（2026·陕西商洛·模拟预测）由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． (1)求半椭圆的方程和离心率； (2)若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； (3)如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 【答案】(1)， (2)最大值． (3)5 【知识点】求椭圆中的最值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率； （2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解； （3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可. 【详解】（1）设半椭圆的方程为（，且）． 由半圆的半径为1，得，， 故，，，，所以，， 所以，解得， 所以半椭圆的方程为， 所以半椭圆的离心率． （2）如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方， 由，得，解得或， 所以，则直线的方程为， 又等于半径1，所以． 显然，当点S在半圆上且时，的面积最大． 因为点到直线的距离， 所以点S到直线的距离， 故， 所以面积的最大值． （3）由题意知，． 因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长． 设，且与椭圆交于点和． 由，得，则， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 7．工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 8．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 10．设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时，或 B． C．当时，为等差数列 D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列满足，（），则__________． 13．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 14．如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．设常数，，． (1)求此函数值域． (2)若是奇函数，求实数的值． (3)设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 16．如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 18．(1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 19．由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． (1)求半椭圆的方程和离心率； (2)若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； (3)如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $