8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，以直线与圆、圆与圆位置关系为核心，通过几何直观与代数运算结合，系统提炼切线方程、弦长计算、轨迹转化等方法，构建“概念-判定-应用”逻辑链条，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空8-9|切线方程用点斜式+距离公式；两圆位置关系用圆心距与半径关系|从位置关系定义（相切、外切）到数量关系计算（距离、半径），体现判定定理的直接应用| |综合应用|多选5-7、填空10|弦长计算用垂径定理；动点最值用轨迹法+点线距离|结合圆的性质（半径、圆心）与直线方程，实现几何条件向代数关系转化，培养逻辑推理| |拓展探究|解答题11-12|轨迹问题用几何条件转化；存在性问题用圆与圆位置关系|综合方程求解与性质应用，构建“问题情境-数学模型-求解验证”完整链条，发展应用意识|

8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 一、 单选题 1 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y－7＝0 C. x－2y－5＝0 D. x－2y－7＝0 2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m的值为(　　) A. 21 B. 19 C. 9 D. －11 3 [2025三明二中期中]已知A，B为圆(x－6)2＋y2＝16上两点，AB＝4，P为线段AB的中点，Q为直线x－y＋4＝0上的动点，则PQ的最小值为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 3 4 过原点O的直线l：y＝kx与圆M：x2－6x＋y2－6y＋16＝0交于A，B两点，且OA＝AB，则k等于(　　) A. 1 B. 2 C. D. 二、 多选题 5 [2026扬州中学月考]过定点A的动直线l1：x＋my－4m－1＝0和过定点B的动直线l2：mx－y－m＋3＝0，P为两直线的交点，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4，则下列说法中正确的是(　　) A. 对任意实数m，圆C上恒有4个点到直线l1的距离为1 B. 直线l2与圆C相交且最短弦长为2 C. PA2＋PB2为定值 D. 当m＝1时，圆C上存在无数对点关于直线l2对称 6 [2025镇江期初]已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则下列说法中正确的是(　　) A. 存在点M，使得MP＝1 B. ∠MQP的最大值为 C. 存在点M，使得MP＝MQ D. MQ＝MP 7 [2026赣榆高级中学月考]已知A，B是圆C：(x－2)2＋y2＝1上的两个动点，圆C1：x2＋y2＝1，P是直线l：x＋y＝0上的动点，且·＝0，·＝0，则下列说法中正确的是(　　) A. 直线x＝1是圆C与圆C1的公切线 B. PA的最小值为－1 C. 四边形ACBP面积的最小值为2 D. 直线AB恒过定点 三、 填空题 8 已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有3条公切线，则a的值为________． 9 [2025曲阳第一高级中学月考]已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，当∠PBA最小时，PB＝________． 10 已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1上存在点P满足·＝3，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 11 [2026常州西夏墅高级中学学情调研]已知圆C经过点(1，0)，圆心C在射线y＝3x(x≥0)上，且直线x－y＝0被圆C截得的弦长为2. (1) 求圆C的方程； (2) 过点N(－2，－1)作圆C的切线，求切线的方程． 12 [2026扬州红桥高级中学月考]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1. (1) 若直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点． ①求实数k的取值范围； ②求证：直线OA与直线OB(O为坐标原点)的斜率之和为定值； (2) 若直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆C的周长四等分，求|a－b|的值． 8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系 1. B　解析：由题意，得点(3，1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，即圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3，1)的切线方程为2x＋y－7＝0. 2. C　解析：由题意，得圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1.因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m<25)，所以C1C2＝＝5.由两圆外切，得C1C2＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9. 3. A　解析：由题意，得圆(x－6)2＋y2＝16的圆心为C(6，0)，半径R＝4.因为P为线段AB的中点，AB＝4，所以CP＝＝＝2，所以点P的轨迹是以C(6，0)为圆心，r＝2为半径的圆．由点Q在直线x－y＋4＝0上，得圆心C(6，0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5，所以PQ的最小值为d－r＝5－2＝3. 4. A　解析：由题意，得圆M：x2－6x＋y2－6y＋16＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝2，则圆心为M(3，3).设圆心M到直线l：y＝kx的距离为d，且AB的中点为C.因为OA＝AB，所以OC＝3AC.又因为OM＝＝3，所以OC＝＝.因为AC＝，所以＝3，解得d＝0，所以直线l经过圆心M(3，3)，所以k＝＝1. 5. BCD　解析：由圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4，得其圆心为C(2，4)，半径r＝2.对于A，直线l1的方程可化为m(y－4)＋x－1＝0，由得x＝1，y＝4，所以直线l1过定点A(1，4)，当m＝0时，直线l1的方程为x＝1，此时圆C上到直线x＝1的距离等于1的点只有三个，故A错误；对于B，直线l2的方程可化为y－3＝m(x－1)，所以直线l2过定点B(1，3)，易知圆心C到直线l2的距离d≤BC，当且仅当直线l2垂直于BC时，等号成立．因为BC＝＝，所以直线l2截圆C的弦长的最小值为2＝2＝2，故B正确；对于C，因为1×m＋m×(－1)＝0，所以直线l1与直线l2垂直，所以PA2＋PB2＝AB2＝＝1，故C正确；对于D，当m＝1时，直线l2的方程为x－y＋2＝0.因为2－4＋2＝0，所以直线l2过圆心C，所以圆C上存在无数对点关于直线l2对称，故D正确．故选BCD. 6. AD　解析：由x2＋y2＋2x－3＝0，得(x＋1)2＋y2＝4，则该圆的圆心为C(－1，0)，半径r＝2.又P(0，1)，所以CP＝.因为点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，所以MP∈[2－，2＋]，所以存在点M，使得MP＝1，故A正确；因为(1＋1)2＋22＝8>4，所以点Q在圆外．又CP＝<r＝2，所以点P在圆内，所以当QM与圆C相切时，∠MQP取最大值，如图，易知∠MQP＝，所以∠MQP≤，故B错误；对于D，设点M的坐标为(x，y).若MQ＝MP，则MQ2＝2MP2，即(x－1)2＋(y－2)2＝2[x2＋(y－1)2]，整理，得x2＋y2＋2x－3＝0.又点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，所以MQ＝MP一定成立，故D正确，C错误．故选AD. 7. AD　解析：对于A，连接C1C.因为C1C＝2，圆C1，圆C的半径均为1，所以圆C1，圆C外切，结合草图可知，圆C1，圆C的公切线方程为y＝1，y＝－1，x＝1，故A正确；对于B，因为·＝0，·＝0，所以PA⊥CA，PB⊥CB.如图，连接CP，则PA＝＝，所以当CP最小时，PA最小．当CP⊥l，即CP为圆心C(2，0)到直线l的距离时，CP最小，CPmin＝，所以PAmin＝＝1，故B错误；对于C，由题意，得PA＝PB，所以四边形ACBP的面积S＝S△ACP＋S△BCP＝2××AP×AC＝AP，由B可知，Smin＝1，故C错误；对于D，设点P的坐标为(t，－t).因为PA，PB是圆C的切线，所以点A，B在以PC为直径的圆上．因为C(2，0)，所以以PC为直径的圆的方程为(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，整理，得x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，与圆C的方程(x－2)2＋y2＝1相减，得直线AB的方程为(x－2)(t－2)＋y(－t)＝1，化简，得2x－3－t(x－y－2)＝0.由得即直线AB恒过定点，故D正确．故选AD. 8. ±　解析：由题意，得圆M：x2＋(y－a)2＝4，圆心为(0，a)，半径为2；圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，故圆心距MN＝＝3，解得a＝±. 9. 3　解析：设圆心为M(5，5)，半径为4，如图，当∠PBA最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，则PM⊥PB，BM＝＝.又MP＝4，由勾股定理，得PB＝＝3，所以当∠PBA最小时，PB＝3. 10. ∪　解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).由·＝3，得(－1－x)·(1－x)＋y2＝3，整理，得x2＋y2＝4，即点P的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆．由点P在圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1上，得圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．又圆(x－a)2＋(y－2a)2＝1的圆心为(a，2a)，半径为1，所以1≤≤3，解得－≤a≤－或≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，－]∪[，]. 11. (1) 设C(x0，3x0)，x0≥0，圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－3x0)2＝r2，r>0. 因为圆C经过点(1，0)， 所以(1－x0)2＋(－3x0)2＝r2，化简，得10x－2x0＋1＝r2. 又圆心C到直线x－y＝0的距离d＝＝x0，且该直线被圆C截得的弦长为2， 所以由垂径定理及勾股定理，得()2＋(x0)2＝r2， 化简，得7＋2x＝r2. 由解得 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9. (2) 因为点N距离圆心C的距离为d1＝＝5>r， 所以点N在圆C外． 过点N作一平行于y轴的直线x＋2＝0， 则圆心C到该直线的距离为3， 所以此直线是圆C的一条切线． 过点N作圆C的另一条切线，设其方程为y＝k(x＋2)－1，即kx－y＋2k－1＝0. 因为圆心C到该直线的距离为3， 所以＝3，解得k＝， 所以该切线方程为x－y－＝0，即7x－24y－10＝0. 综上，过点N作圆C的切线方程为7x－24y－10＝0或x＋2＝0. 12. (1) 将直线l的方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0. ①因为直线与圆有两个交点， 所以Δ＝(4k－2)2－16(k2＋1)>0，解得k<－， 即实数k的取值范围是. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由根与系数的关系，得 所以kOA＋kOB＝＋＝＋＝＋2k＝＋2k＝1， 即直线OA，OB的斜率之和为定值． (2) 设直线y＝x＋a和圆C交于点E，F，直线y＝x＋b与圆C交于点M，N. 因为直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆(x－1)2＋y2＝1的周长四等分， 所以圆心位于两直线之间． 连接CE，CF，CM，CN，则∠ECF＝∠MCN＝， 所以△ECF为等腰直角三角形， 所以圆心C到直线y＝x＋a的距离为， 同理可得圆心C到直线y＝x＋b的距离为， 故直线y＝x＋a和直线y＝x＋b间的距离为， 所以＝，即|a－b|＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $