训练50 直线与圆的位置关系-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练50 直线与圆的位置关系 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.(2025·四川内江摸拟)已知集合A={(x,y) 7.(2024·辽宁大连模拟)已知直线x+y-4=0与 x2+y2=4},集合B={(x,y)|y=-x},则A∩ 圆O:x2+y2=r2(r>0)有公共点，则x可以是 B的真子集的个数为 ( () A.3 B.4 C.7 D.8 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·河北名校联盟测试)已知直线l:y=k.x十 8.平面内到两个定点A,B的距离的比值为定值 1与圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0),则“Vk∈R, 入（入>0，入≠1）的点P的轨迹是一个圆，此圆被 直线1与圆C有公共点”是“r>√2”的 () 称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点 A.充分不必要条件 A1,0),B(4.0),00,0),动点P满足PA B.必要不充分条件 PBI C.充要条件 2,记点P的轨迹为x,则下列说法正确的是() D.既不充分也不必要条件 A.点P的轨迹x的方程是x2十y2=4 3.当圆x2+y2=4截直线1：x-my+m-1=0(m∈ B.过点N(1,1)的直线被点P的轨迹x所截得的 R)所得的弦最长时，m的值为 ) 弦的长度的最小值是2√3 A.-√2 B.-1 C.直线l:x一y+4=0与点P的轨迹x相离 C.1 D.√2 D.已知点M是直线1：x一y十4=0上的动点，过 4.(2025·河北石家庄二中月考)已知圆的方程为 点M作点P的轨迹x的两条切线，切点为C, x2十y2一6x一8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦 D,则四边形OCMD面积的最小值是4 和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面 9.(2025·山东实验中学调研)过线段x十y=4(0≤ 积为 ( ) x≤4)上一点P作圆O:x2十y2=4的两条切线， A.10√6 B.20√6C.30√6 D.40√6 切点分别为A,B,直线AB与x,y轴分别交于点 5.已知直线l:m.x十y+1-2m=0(m∈R)和圆C: M,N,则 () x2+y2一2x+4y+1=0,则“m=0”是“圆C上 A.点O恒在以线段AB为直径的圆上 恰有三个不同的点到直线1的距离为1”的 B.四边形PAOB面积的最小值为4 ( C.|AB|的最小值为2√2 A.充分不必要条件 D.|OMI+|ON|的最小值为4 B.必要不充分条件 三、填空题（每小题5分，共15分） C.充要条件 10.(2025·湖南怀化高三摸拟)过点P(1,1)的直线 D.既不充分也不必要条件 1与圆C:x2一4x+y2=0相交于A,B两点，则 6.(2025·河北衡水高三月考)若直线x十ay-a IAB|的最小值是 得分 2=0与圆C:(x一2)2+y2=4交于A,B两点，当 11.过点P(4,-1)作圆C:x2+y2+2x-4y-4 |ABI最小时，AB的长为 0的两条切线，切点分别为A,B,则过切点A,B A号 B号 D.π 的直线方程为 得分 (横线下方不可作答) 359 第八章 平面解析几何 12.已知点P为直线y=√5上一动点，过点P作圆 14.(21分)已知圆O的方程为x2+y2=1. x2+y2=4的切线，切点分别为A,B,且 得分 ∠APB≥90°，则动点P的轨迹的长度为 (1)若点M(xo,yo)为圆O上一点，过点M作圆 得分 O的切线，求该切线的方程. 四、解答题（共37分） (2)若点M(xoy)为圆O外一点，过点M作圆 13.(16分)已知以点A(一1,2)为圆心的圆与 O的两条切线，切点分别为A,B. ,过点B(一2,0)的动直线1与圆A相交 ①求直线AB的方程. 于M,N两点，从①直线x十2y十7=0相切， ②若M(xo,yo)为直线l:x+y-3=0上的一个 ②圆(x-3)2+y2=20关于直线2x-y-1=0 动点，试讨论直线AB是否恒过定点.若是，求出 对称这2个条件中任选一个，补充在上面问题的 定点坐标；若不是，请说明理由. 横线上并回答下列问题， 得分 (1)求圆A的方程； (2)当|MN|=2√19时，求直线l的方程. 红对勾·讲与练360] 高三数学·基础版 ■由题意得水面跨度|AB|=37,4m, 圆拱高CD=7.2m,AC= 2 AB=18.7m 在Rt△ACO中，R2=18.72+(R一 7.2)2,解得R≈27.9m, 故圆拱所在的圆的方程为x十 y2=27.92 (2)如图，水面下降了4.1m后，圆拱 高DE=7.2十4.1=11.3(m), 则0E=27.9-11.3=16.6(m), y D M 那么当y=16.6时，x2十16.6= 27.9,解得x≈士22.4，即MN≈ 44.8,所以水面跨度约增大到44.8米. 训练50 直线与圆的位置关系 1.A由{红十y=4解得杠=E, y=一x, y=-2 或r=2,所以A∩B=W2, y=√2， -√2)，(-√2，√2)，则A∩B中有2 个元素，所以A∩B的真子集的个数 为22一1=3.故选A. 2.B易知圆C:(x十1)2+y2=r2(r> 0)的圆心为C(一1,0)，半径为r,直线 1与圆C有公共点时，1一≤r恒 √/1十k四 成立，即(r2-1)k2十2k十r2-1≥0恒 成立，则r2-1>0且△=4-4(r2 1)2≤0，解得r≥√瓦或r≤-√2（舍 去)，所以“日k∈R,直线l与圆C有公 共，点”是“r>√2”的必要不充分条件 故选B. 3.C要使圆截直线所得弦最长，则直线 必过圆心(0,0)，所以m一1=0，可得 m=1.故选C. 4.B圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心 到点(3,5)的距离为1，所以，点(3,5)在 圆内，最长弦为圆的直径，由垂径定理 得，最短弦BD和最长弦（即圆的直 径)AC垂直，故最短弦的长为BD 2×√5-1严=4√6，最长弦的长为 AC=10,所以四边形ABCD的面 1AcBD=3X10X 积为2 4√6=20√6.故选B. 5.C圆C的方程x2十y2-2x十4y+ 1=0可化为(x-1)2十(y十2)=4， 其圆心坐标为(1，一2)，半径r=2,当 m=0时，直线1：y=-1,圆心到直线 的距离d=1=r一1，此时圆C上恰有 三个不同的点到直线！的距离为1，故 充分性成立；当圆C上恰有三个不同的 点到直线l的距离为1时，圆心到直线 的距离d=m-2+1-2m ，=r w√m2+12 1=1,解得=0，故必要性成立.所以 “m=0”是“圆C上恰有三个不同的点 5604对构·讲与练·高三数学· 到直线（的距离为1”的充要条件，故 选C. 6.B直线方程 x+ay-a-2= 0可化为x一2+ a(y-1)=0,当 x-2=0且y 1=0,即x=2 且y=1时，等式 恒成立，所以直线恒过定，点M(2,1),由圆 的方程知，圆心为C(2,0),半径r=2,当 MC⊥直线AB时，AB|取得最小值， 且最小值为2√P-MC下= 2X√4一1=2√3，如图，此时弦AB 所对的圆心角一半的正切值为√3，故 孩AB所对的圆心角为2严，所以AB的 长为号×2=经故选B 31 7.CD圆x2十y2=r2的圆心坐标为 (0,0),半径为r,由于直线x十y-4= 0与圆x2十y=r2有公共点，所以 -4 -≤r,解得r≥2√2，故符合条件 √2 的选项为C,D.故选CD. 8.ACD对于A,设点P(x,y),则 PA W/(x-1)2+y2 1 PB= √(x-4)'+y2 理可得x2十y2=4,故A正确；对于B, 由P的轨迹方程是x2十y2=4,可知 其是圆，且圆心是O,半径”=2，且 |ON=√+1=√2<2，可知点 N(1,1)在圆O内，过点N(1,1)的直 线被圆O所截得的弦最短时，，点V(1, 1)是弦的中，点，根据垂径定理得弦长 的最小值是2√-ON下=2√2， 故B错误；对于C,圆心到直线l:x 4 y十4=0的距离d= =22>2, √2 所以直线与圆相离，故C正确；对于D, 因为四边形OCMD的面积S= 2Saw=2×2×2CM= 2√JOM2-4,如图，当OM⊥1时， |OM取到最小值d=2√2， M D八O 所以四边形OCMD面积的最小值为 2X√(2√2)2一4=4，故D正确.故选 ACD. 9.BCD设P(a, 4-a),因为直 线AB与x,y轴 均相交，所以 0<a<4,连接 OA,OB,如图， 设线段l:x十 y=4(0≤x≤ 4),则O,A,P, B四点共圆，且此圆以线段OP为直 基础版 径，而以线段OP为直径的圆的方程为 x(x-a)十y(y-4十a)=0,整理得 到x2十y2-ax-(4-a)y=0,故直 线AB的方程为4-ax-(4-a)y= 0,整理得到ax十(4-a)y-4=0.对 于A,若O在以线段AB为直径的圆 上，则∠AOB=90°，由O,A,P,B四 点共圆可得∠APB=90°，而∠PAO= ∠PBO=90°，AO=BO=2,故 四边形OAPB为正方形，故OP= 2√2，但P为动点且OP长度变化，故O 不恒在以线段AB为直径的圆上，故A 错误：对于B,四边形PAOB的面 积S=2X2X0A×AP= 2√TOP-4,而0p≥-4 √2 2√2，当且仅当OP⊥l,即P(2,2)时 等号成立，故S的最小值为4，故B正 确；对于C,因为直线AB的方程为 ax十（4一a)y-4=0,所以a(x一 》十-4=0合话，4二0解将 {红=1·故直线AB过定点Q(1,1),设 y=1, O到直线AB的距离为d,则d 1OQ=2,故|AB=2√4-d≥ 2√2，当且仅当d=√2，即OQ⊥AB时 等号成立，故AB|的最小值为2W2, 故C正确；对于D,由直线AB的方程 ax+4-ay-4=0可得M(年0）， Noa)oM+oN=吾+ a 4 16 4-a =-a-2》+40<a<4,而 0<-(a-2)2+4≤4，故|OM |ON≥4，当且仅当a=2时等号成 立，故OM十ON|的最小值为4，故 D正确.故选BCD. 10.2√2 解析：由圆C:x2一4x十y2= 0台(x一2)2十y2=4,得圆心C(2, 0),半径r=2,所以当过点P(1,1)的直 线l垂直于PC时，弦长AB取得最小 值，此时P℃C12=(2-1)2十(0-1)= 2,即|AB|m=2√r-PC下= 2×W4-2=22」 11.5x-3y+2=0 解析：如图，圆 C的圆心坐标 为(-1,2)，且 A,B在以线段 PC为直径的 圆上，由圆的 直径式方程， B 得以线段PC 为直径的圆的方程为(x十1)(x 4)+(y-2)(y十1)=0→x2+y2 3x一y一6=0，则直线AB的方程为 (x2+y2+2x-4y-4)-(x2+y2 3x-y-6)=0→5x-3y+2=0. 12.2√3 解析：如图，因为∠APB≥90°，所 以∠APO≥45°，所以sin∠APO= 0n00≥m5=9解 OA 2 得OP≤22，设点P的坐标为(x, √5)，所以√x十5≤2√2，解得 一≤x≤√，所以动，点P的轨迹 的长度为2√3 3 B =√5 2-10 3 2x2+y2=4 13.解：(1)选①，因为圆A与直线x十 2y十7=0相切，所以圆A的半径为 -1+2×2+7=2W5, √/12+2 因此圆A的方程为(x十1)十(y 2)2=20. 选②，因为圆A与圆(x-3)2十y2= 20关于直线2x一y一1=0对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的 半径为2√5， 所以圆A的方程为(x十1)2十(y 2)2=20. (2)由(1)知圆A的方程为(x+1)2+ (y-2)2=20. 当过点B(一2,0)的动直线1斜率不 存在时，直线方程为x=一2， 把x=-2代入(x十1)2十(y 2)2=20,得y=2±√19， 显然2+√19一(2一/19)=219 符合题意； 当过点B(一2,0)的动直线1斜率存 在时，设其为k, 直线l的方程为y=k(x十2)→kx一 y十2k=0,圆心到直线1的距离为 1-k-2+2k= k-2 √k+1 √“+1 因为MN=2√19， 所以（ k-2 k2+1 ）+(×2) 20→k= 3 41 即直线1的方程为3x-4y十6=0. 综上所述，直线1的方程为3x-4y+ 6=0或x=一2 14.解：(1)圆0：x2十y2=1的圆心 O(0,0),由点M(xoyo)在圆O上， 得x。十yó=1， 设过点M的圆O的切线上任意一点 P(x,y),当P与M不重合时，OM M,有OM.M币=0， 当P与M重合时，OM.M正=0也成 立，而OM=(x0,y),M=(x To,y-yo), 因此xo(x-xo)十yo(y-yo)=0, 整理得xox十yoy=1, 所以所求切线的方程为xx十 yoy 1. (2)①设切点A(x1,y1),B(x2y2), 由(1)知切线MA,MB的方程分别为 x1x+y1y=1,x2x+y2y=1, 于是十二1显然点 x2x0十y2y0=1, A(x1y1),B(x2y2)的坐标满足方 程xox十yoy=1,所以直线AB的方 程为xox十yoy=1. ②是 如图，由①知，直线AB的方程为 xox十yoy=1,而点M(xoyo)在直 线l:x十y-3=0上，即y0=3一 x。,则直线AB:xox十(3-x。)y= 1,即(x-y)x。+3y-1=0, 由后，1二8解得=y=合因 此直线AB过定点（兮，） 八 B 训练51 圆与圆的位置关系 1.C由题知圆C的圆心C1(1,一2)，半径 为r,圆C2的圆心C2(4,2),半径为4，则 |C1C2=/(1-4)2+(-2-2)2= 5,因为圆C1和圆C2有公共点，所以 r一4C1Cgr十4，解得1≤ r≤9.故选C. 2.B因为两圆相交，两圆方程作差得到 y=一1，即公共弦AB所在的直线方 程为y=-1,又圆x2+y2+2x 4y-5=0,即(x+1)2+(y-2)2=10 的圆心(-1,2)到y=-1的距离为3， 所以公共弦AB的长为2×√/10一32= 2.故选B. 3.B圆C1:(x十1)2+(y十1)”=4，则 圆心C1(-1,一1)，半径r1=2,圆C2: (x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C2(2, 1),半径r2=2,则两圆的圆心距为 |CC2=√(-1-2+(-1-1)y= √13，则r1-2<|CC2<r1十r2, 故两圆相交，两圆的公切线有且仅有2 条.故选B. 4.D由题意可知，两圆圆心所在直线即 为线段AB的垂直平分线，圆x2十y2 2x=0的圆心为(1,0)，圆x2十y2十 2x一4y一4=0的圆心为（一1,2），则过两 国国心的症线为号中红一 y一1=0.故选D. 5.A圆C的圆心坐标为(0,0)，半径r1 为1，圆D的圆心坐标为(7,0)，半径r2 为2，所以两圆的圆心距d=7一0= 7>r1十r2,两圆外离，所以|PQm= 7一r1一r2=4.故选A 6B如国.由国G+(-匹)- 8得国心为C(0,0),半径为 2 9 r1=2,设圆C,C的半径分别为 r2r,由题意知圆C2C3与C1需外 切，否则圆C2,C3无公切线或公切线 (倾斜角为钝角)与圆C1无交点，由题 意知|CC2= +() 2,即n+= 1 2十2= 1 22=1 CC1=A4+（-2 N 9 即十n=之十 =号，=2 故圆C2:(x+2)2+y2=1,圆C3: (x-4)”+y2=4,设圆C2,C3的公切 线方程为y=kx十b(k<0),则 (-2k+b=1, √/1+k2 4k+b 解得k= 3'即 =2, b=0. J1+k2 ,故c(o,)到直线 y一3 √105 2 y= 3x的距离为d= 3√/35 4 ,故1AB=2√-d= -(3压) 2×人4 三故选B 0 7.ABC由题知C1(2,3),C2(-2,-1),两 圆半径r1=r2=22,所以CC2= √[2-(-2)Y+[3-(-1)了=4w2= x1十r2,故圆C1与圆C2外切，则两圆 有三条公切线，如图， C(23) 1 kG0.1) 3 C(-2,1) C1C2的中点为两圆切点G(0,1),当直 线l过C1C2的中，点，且与C1C2垂直 时，国为5=《仁》 =1,所以 直线l的方程为y-1=-x,即x十y 1=0:当直线l与C1C2平行时，设直线l 的方程为x一y十m=0,因为C到l的 距离为22，所以2-3+m=22. √1+1 解得m=一3或m=5,所以直线1的 方程为x-y十5=0或x-y-3= 0.故选ABC. 参考答案561