6.3.3 余角和补角 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕余角、补角的概念及性质，结合方位角知识展开。通过“测量围墙角”的情境导入，引导学生从实际问题出发，经历概念探究、性质推导到应用的学习支架，衔接角的度量与几何推理的知识脉络。 资料特色在于以情境激发数学眼光，通过合作探究培养推理意识，错误诊所与中考链接强化应用能力。典型例题与分层检测帮助学生深化理解，数学文化渗透提升学习兴趣，适合自主学习与教师教学评估，有效发展数学思维与应用意识。

6.3.3 余角和补角 一、学习目标 1. 理解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质。 2. 会用余角、补角的性质进行简单的推理和计算。 3. 了解方位角的概念，能根据方位角画出图形并解决相关问题。 二、学习重难点 重点：余角和补角的概念及性质。 难点：运用余角、补角的性质进行几何推理。 三、情境导入 如图，要测量两堵围墙所形成的角∠AOB的度数，但人不能进入围墙，只能站在墙外。你有什么办法测量这个角的度数吗？ 学完今天的知识，你就能用简单的方法测出这个角的度数了！ 四、合作探究 探究点1：余角和补角的概念 观察下面两组角，你发现了什么？ 定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即其中每一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即其中每一个角是另一个角的补角。 注意：互余和互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 探究点2：余角和补角的性质 思考：如果∠1与∠2互余，∠1与∠3也互余，那么∠2和∠3有什么关系？为什么？ 因为∠1与∠2互余，所以∠1 + ∠2 = 90°，即∠2 = 90° - ∠1； 因为∠1与∠3互余，所以∠1 + ∠3 = 90°，即∠3 = 90° - ∠1； 所以∠2 = ∠3。 性质1：同角（等角）的余角相等。 性质2：同角（等角）的补角相等。 探究点3：方位角 在日常生活中，我们经常需要描述方向。比如东北方向、南偏西30°等。我们把这种表示方向的角叫做方位角。 注意：方位角是以正北、正南方向为基准，来描述物体所处的方向。如北偏东30°，南偏西45°（也叫西南方向）等。 五、典型例题 例1（2024·四川广安改编）已知∠α = 62°，求∠α的余角和补角的度数。 解：∠α的余角 = 90° - 62° = 28° ∠α的补角 = 180° - 62° = 118° 方法点拨：一个角的余角等于90°减去这个角，一个角的补角等于180°减去这个角。 例2（2024·江苏苏州改编）如图，灯塔A处观测到轮船B在北偏东60°方向，轮船C在南偏西30°方向。求∠BAC的度数。 分析：由题意可知，∠1 = 60°（北偏东），所以东偏北为30°。 ∠2 = 30°（南偏西），所以西偏南为60°。 解：根据方位角的意义： ∠BAC = 90° - 60° + 90° + 30° = 150° 六、错误诊所 【错题示例】判断：若∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3互为补角。（ ） 【错解】√ 【错因分析】互为补角是两个角之间的数量关系，即只有两个角才能说互补，三个角的和为180°不能说它们互为补角。 【正解】× 七、达标检测 1. （2024·甘肃）35°的余角是（ ） A. 55° B. 65° C. 145° D. 165° 2. （2024·北京改编）若∠A = 40°，则∠A的补角为（ ） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 3. （2024·河南）如图，点O在直线AB上，∠AOC = 55°，则∠BOC的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 125° D. 135° 第3题图 4. 已知∠α = 36°，则∠α的余角是______°，补角是______°。 5. 若∠1与∠2互余，∠1 = 38°，则∠2 = ______°。 6. 若∠A与∠B互补，且∠A = ∠B，则∠A = ______°。 7. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC。试说明∠DOE = 90°。 8. 一个角的余角比它的补角的一半还少20°，求这个角的度数。 八、中考链接 1.（2024·甘肃）如图，点O在直线AB上，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2的度数是（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 2.（2024·湖北武汉）一个角的余角比这个角小10°，则这个角的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 3.（2024·湖南长沙）如图，∠AOB = 90°，∠BOC = 40°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 4.（2024·山东济南）若一个角的补角是它的3倍，则这个角的度数为______°。 5.（2024·四川成都）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOD = 120°，求∠BOE的度数。 九、数学文化 余角和补角的概念在古代几何中就有应用。我国古代数学著作《九章算术》中就有关于角度测量的记载，古人利用余角和补角的关系来间接测量难以直接测量的角度，这体现了古代劳动人民的智慧。 在航海中，方位角有着非常重要的应用。古代航海家利用方位角和罗盘来确定航行方向，这是古代导航技术的重要基础。今天，方位角在地理、军事、航空、航海等领域仍然有着广泛的应用。 十、小结与反思 1. 本节课学习了哪些主要内容？ 2. 余角和补角有什么性质？ 3. 运用余角、补角解决问题时需要注意什么？ 参考答案 【达标检测】 1. A 2. D 3. C 4. 54，144 5. 52 6. 90 7. 解：因为OD平分∠AOC，所以∠DOC = ∠AOC / 2 因为OE平分∠BOC，所以∠EOC = ∠BOC / 2 所以∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = (∠AOC + ∠BOC) / 2 = ∠AOB / 2 因为点O在直线AB上，所以∠AOB = 180° 所以∠DOE = 180° / 2 = 90° 8. 解：设这个角的度数为x°，则它的余角为(90 - x)°，补角为(180 - x)°。 根据题意，得 90 - x = (180 - x) / 2 - 20 解这个方程，得 x = 40 答：这个角的度数为40°。 【中考链接】 1. D 2. C 3. B 4. 45 5. 解：因为∠AOD = 120°，所以∠AOC = 180° - 120° = 60° 因为OE平分∠AOC，所以∠AOE = ∠AOC / 2 = 30° 所以∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 30° = 150° 学科网（北京）股份有限公司 $