精品解析：广东省深圳市南山区中国科学院深圳先进技术研究院实验学校 2026年 九年级中考前质量检测卷数学

2026年中科实验学校九年级三模质量检测卷 数学 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极地加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 8. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 分解因式：______． 10. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 11. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 12. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 17. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 18. 为提升居民的生活质量，某小区计划购买A，B两种型号室外健身器．已知A型室外健身器比B型室外健身器的单价少0.3万元，且用15万元购买A型室外健身器与用20万元购买B型室外健身器的数量相等． （1）A，B两种型号室外健身器的单价各是多少？ （2）某小区计划共购买25台A，B型室外健身器，购买总费用不超过26万元，且B型室外健身器的购买数量不少于A型室外健身器购买数量的．共有几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 19. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 20. 已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． （1）对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； （3）已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中科实验学校九年级三模质量检测卷 数学 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 3. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极地加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，乘法公式，合并同类项，先根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”判断A，再根据单项式乘以单项式计算判断B，然后根据平方差公式计算判断C，最后根据“合并同类项法则”计算判断D． 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 6. 如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦的长为， 故选：D． 8. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 作，根据解直角三角形求出，，继而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作， ， ，， ，， 米， ，， ， 小车过山洞的平均速度为米/秒， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正六边形、正五边形的性质求出它的内角的度数，进而求出的圆心角的度数，由弧长公式进行计算即可． 【详解】解：正六边形和正五边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 11. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 12. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 【详解】解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过作辅助线，证明得出，通过角度关系证明，然后证明进而求解的值． 【详解】解：过F点作，交于点O， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟记运算法则是解本题的关键；先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 【答案】（1）甲，95.5 （2）95分 （3）建议选甲参加市小数学家评比，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策． （1）根据折线的波动程度可判断成绩更稳定的学生，运用中位数定义即可求出平均数； （2）运用平均数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议． 【小问1详解】 解：由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小， 成绩更稳定的学生是甲． 将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位分别是95和96， 甲的中位数为：（分）； 故答案为：甲；95.5； 【小问2详解】 解：乙成绩的平均分为：（分）； 【小问3详解】 解：建议选甲参加市小数学家评比，理由如下： 两人是平均数相同，但甲6次测试成绩的方差比乙小，且甲每次的成绩稳中有进，所以建议选甲参加市小数学家评比．（答案不唯一） 17. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 【答案】（1） 解：如图1所示，即为所作． （2） 证明：如图2，连接． ∵直线l与相切于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线、切线的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作垂线即可； （2）由切线的性质以及（1）的作图可得即，再根据等边对等角以及等量代换可得即可证明结论； （3）设的半径为r，则，然后运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，，， ∴，解得：， ∴的半径为3． 18. 为提升居民的生活质量，某小区计划购买A，B两种型号室外健身器．已知A型室外健身器比B型室外健身器的单价少0.3万元，且用15万元购买A型室外健身器与用20万元购买B型室外健身器的数量相等． （1）A，B两种型号室外健身器的单价各是多少？ （2）某小区计划共购买25台A，B型室外健身器，购买总费用不超过26万元，且B型室外健身器的购买数量不少于A型室外健身器购买数量的．共有几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型号室外健身器单价为0.9万元，B型号室外健身器单价为1.2万元 （2）共有3种购买方案，购买A型号室外健身器个，购买B型号室外健身器个，所需购买总费用最少 【解析】 【分析】（1）设A型号室外健身器单价为万元，则B型号室外健身器单价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A型号室外健身器台，则购买B型号室外健身器台，根据题意列出一元一次不等式组，求解并结合为正整数得出或或，即共有3种购买方案，设小区购买室外健身器的总花费为万元，则，再由一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设A型号室外健身器单价为万元，则B型号室外健身器单价为万元， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴（万元）， ∴A型号室外健身器单价为0.9万元，B型号室外健身器单价为1.2万元； 【小问2详解】 解：设购买A型号室外健身器台，则购买B型号室外健身器台， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案：方案一，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案二，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案三，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台； 设小区购买室外健身器的总花费为万元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， ∴购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台，所需购买总费用最少． 19. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 【答案】（1）成立； （2）证明：如图2， ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可； （2）根据正方形性质得出即可； （3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可． 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴, ∴ ∵, ∴, 故结论成立； （2）略 （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴, ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴cm， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 20. 已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． （1）对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； （3）已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为6，最小值为，存在， 【解析】 【分析】（1）①先求出，根据平移的规律解答即可；②由步移关联函数的定义解答即可； （2）由题意得，，，，且，根据将四边形面积分为两部分，得到 ，即可求解； （3）①当时，先求出 ，新函数的表达式为：，即可求解；②由步移关联函数的定义，得，利用二次函数的性质画出示意图，即可解答． 【小问1详解】 解：①由题意得，， 则点B纵坐标： ； ②对于函数上任意一点， 点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到点， 令，则， 代入点的纵坐标得： ， 的“步移关联函数”的表达式为：； 【小问2详解】 解：轴于，轴于，，， ，，，，且， 将四边形面积分为两部分， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：①当时，对于上任意一点， 平移后得到点． 令，则， ． 由题意得，新函数的表达式为：， 当时，，时，取得最小值； 时，； 时，． ∴此范围内的最大值为6，最小值为． 当时，， 时，取得最小值， 时，取得最大值． ∴此范围内的最大值为2，最小值为． 综上：在最大值为6，最小值为． ②由步移关联函数的定义，得， ， 在上， 时，取得最小值，时，取得最大值 ，时， ，即 ，且函数图象随的增大先减小再增大，如图： ∴当时，直线与的图象有2个交点；其他情况，直线与的图象1个交点， 在上， ， 在上，直线与的图象最多有1个交点，如图： 要使直线与的图象有且只有3个不同交点，需满足： 直线与有2个交点，且与有1个交点， 即与有公共部分，如图： ， 解得：． 综上：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $