精品解析：吉林长春市第八十七中学2025-2026学年下学期八年级数学期末自我检测（1-13班）

长春市第87中学2025-2026学年度 八年级下学期期末自我检测（1-13） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟悉形如的一元二次方程，若它的两个根为、，则有：，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴对比选项，选项符合题意． 故选：． 3. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 4. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律，即可进行解答． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 8. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则△ABC的面积为： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点 ∴OA=2，OB=4 又∵∠1=∠2 ∴∠BAO=∠OCA ∴△OAC∽△OAB 则OC：OA=OA：OB=1：2 ∴OC=1，BC=3， ∴S△ABC=0.5 ×2×3=3 故选C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据所给方程确定a、b、c的值，再根据进行计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出二次函数对称轴为y轴，再推出A、B关于y轴对称，进而求出点B的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵线段轴，且A、B在二次函数图象上， ∴A、B关于y轴对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性求出点B的横坐标是解题的关键． 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，再利用对应边成比例，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 14. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点F，连接，分析下列五个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】过点作交于点，根据矩形的性质可证明①正确；证明，结合相似三角形的性质可证明②正确；证明，结合可说明③错误；由相似三角形的性质和三角形、矩形的面积可证明④． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得， ∴， 又∵ ， ∴，故④正确， 综上所述，正确结论的序号是①②④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和完全平方公式是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用完全平方式将变形为：，再开方解出即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或． 【小问2详解】 ， ， ， 或， 解得：或． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在长，宽的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成为长，宽为的矩形，根据草坪的面积达到（即余下的部分的面积为），可列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，则： ， 解得：，（舍） 答：道路的宽应为． 18. 如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据，可得，由对顶角相等得，则，根据相似三角形的性质即可求解，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】首先求得，，再利用求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 故 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角可得出，即可得出，即可求出答案． （2）由勾股定理求出，再根据等面积法求出，再根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 【答案】（1） 解：边上的中线如图所示： （2） 解：点如图所示： （3） 解：点如图所示： 【解析】 【分析】（1）结合网格特征，先找出边上的中点，再连接，即可作答． （2）结合网格特征，得，再结合，即，即可在边上找到一点，使得是等腰直角三角形，进行作答． （3）结合网格特征，证明，故，连接，得，即可作答． 本题考查了网格作图，中线，特殊角的正切值，相似三角形的判定与性质，中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ； （3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可得到的值，从而得解； （2）根据关于轴对称的点的坐标规律—横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；根据点、的坐标求出的长度，以及点到的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）设点到的距离为，根据三角形的面积公式求出，再分两种情况讨论：①当点在下面时；②当点在的上面时；分别求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 点关于轴的对称点的坐标为， ， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：设点到的距离为， 则， ， ， 解得：， 分两种情况讨论： ①当点在下面时， 点的纵坐标为：， 此时，， 解得：，， 点的坐标为或； ②当点在的上面时， 点的纵坐标为：， 此时，， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握三角形的面积公式并运用分类讨论思想是解题的关键． 23. （1）如图1，直线：l1l2，直线m和直线n分别与直线l1和直线l2相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E．填空：= ； （2）如图2，在ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，点D在边BC上(不与点B，点C重合)，连接AD，点E在边AB上，∠EDB=∠ADC． ①求证：； ②当时，请求出AD的长； ③点H在射线AC上，连接EH交线段AD于点G，当CH=1，且∠AEH=∠BED时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①见详解；②；③或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质证，即可求解； （2）①过点E作，证明及，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； ②根据①中结论，利用，先求出BF的长度，再求出CD的长度，利用勾股定理即可求解； ③分两种情况讨论，H在线段AC或H在线段AC延长线上，过A作AM∥BC，延长DE交AM于P，过D作DN⊥AM于N，先证明△AEP≌△AEH，得PE=EH，再证明AD=DP，N是AP中点，得到CD、DE的长度，代入求值即可． 【详解】解：（1）∵l1l2， , , , , ∴， 故答案为：； （2）①过点E作， ， ∵∠EDB=∠ADC， ， ， ， ， ， ； ②由①可知， ， ， ， ， ， ， ， ． ③分两种情况讨论， 当H在线段AC上时，过A作AM∥BC，延长DE交AM于P，过D作DN⊥AM于N，如图所示， ∵∠AEH=∠BED，∠BED=∠AEP， ∴∠AEH=∠AEP， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=∠CAB=45°， ∵AM∥BC， ∴∠PAE=∠B=∠CAB=45°， ∵AE=AE， ∴△AEP≌△AEH， ∴AP=AH， ∵CH=1，AC=BC=3， ∴AH=AP=2， ∵AM∥BC， ∴∠PAD=∠ADC，∠APD=∠PDB， ∵∠ADC=∠BDE， ∴∠PAD=∠APD， ∴AD=DP， ∵DN⊥AP， ∴N是AP中点，AN=1， 由上知四边形ACDN为矩形， ∴AN=CD=1，BD=2=AP， ∴△AEP≌△BED， ∴DE=PE， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==DP， ∴DE=， ∴； 当H在线段AC延长线上时，过A作AM∥BC，延长DE交AM于P，过D作DN⊥AM于N，如图所示， 同理，知△APE≌△AHE，则AP=AH=4， 又四边形ACDN为矩形，N为AP中点， ∴CD=AN=2，BD=1， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==PD， ∵AM∥BC， ∴, ∴， 解得：DE=， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查三角形相似的综合应用、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质等知识点，正确构造辅助线，分析符合题意的不同情况是解题的关键． 24. 图，在中，，，，D为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点B运动，连接，当点P不与点C重合时，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长． （2）当点Q在内部时，求t的取值范围． （3）连接，在运动过程中，当时，求平行四边形的面积． （4）当点P在边上时，作点C关于直线的对称点，当与的直角边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2），且 （3）平行四边形的面积为12或； （4）t的值为或或． 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时来分别求解； （2）根据当时，此时Q在上，当时，此时Q在上时两种情况来求解； （3）分两种情况讨论，利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质来求解； （4）分三种情况讨论，画出相应图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当点P在A点时，， 当点P在C点时，，则， 当点P在B点时，， 当点P在上运动时，，的取值范围为； 当点P在上运动时，，的取值范围为． 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时，此时Q在上，点P继续向C点运动，Q会在内部， 此时P为中点，，运动时间为， 当时，此时Q在上时，点P继续向B点运动，Q会离开内部， 此时P为中点，运动距离为，运动时间为， ∴的取值范围为，且； 【小问3详解】 解：当点在边上时， 在中， ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴P为中点，即是的中位线， ∴，， ∴； 当点在边上时，作于点， ∵， ∴， ∴， 同理，，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴； 综上，平行四边形的面积为12或； 【小问4详解】 解：当时，如图， 此时，点与点重合， 由对称的性质知， ∴； 当时， 当点在的右边时，如图，作于点， 同理，，， 由对称的性质知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图，作于点， 同理，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第87中学2025-2026学年度 八年级下学期期末自我检测（1-13） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则△ABC的面积为： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 10. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 11. 已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则的长度为___________． 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 13. 如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为_____________． 14. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点F，连接，分析下列五个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在长，宽的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 18. 如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 19. 如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ； （3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标． 23. （1）如图1，直线：l1l2，直线m和直线n分别与直线l1和直线l2相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E．填空：= ； （2）如图2，在ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，点D在边BC上(不与点B，点C重合)，连接AD，点E在边AB上，∠EDB=∠ADC． ①求证：； ②当时，请求出AD的长； ③点H在射线AC上，连接EH交线段AD于点G，当CH=1，且∠AEH=∠BED时，直接写出的值． 24. 图，在中，，，，D为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点B运动，连接，当点P不与点C重合时，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长． （2）当点Q在内部时，求t的取值范围． （3）连接，在运动过程中，当时，求平行四边形的面积． （4）当点P在边上时，作点C关于直线的对称点，当与的直角边垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $