9.4 随机事件的概率、古典概型及互斥事件 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦随机事件概率、古典概型及互斥事件，通过分层题型系统构建“概念辨析-模型计算-综合应用”的解题体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（第1、5题）|互斥与对立事件分类判断、频率与概率区分|从事件关系（互斥/对立）到概率本质（频率稳定性）| |古典概型|4题（第2、3、8、9题）|排列组合计数、枚举法、特定和值转化|基于基本事件数计算，链接排列组合知识| |概率综合|3题（第4、6、7题）|方程思想求参数、事件交并与条件概率|事件运算（∩/∪）与概率公式结合，强化应用意识| |数学期望|2题（第11、12题）|分布列构建、随机变量取值分析|从概率分布到期望计算，体现模型观念|

9.4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件 一、 单选题 1 [2025常州月考]从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出下列事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥且不对立的事件是(　　) A. ③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 2 [2025镇江期初]由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为(　　) A. B. C. D. 3 [2025安阳二模]为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(　　) A. B. C. D. 4 [2025江苏苏南十校联考]为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得a百元代金券；摸到两红球，可获得b百元代金券；摸到两白球，可获得ab百元代金券(a，b均为整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者最多获得(　　) A. 5.4百元代金券 B. 9百元代金券 C. 8百元代金券 D. 18百元代金券 二、 多选题 5 关于频率和概率，下列说法中正确的是(　　) A. 某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为 B. 数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12 000次硬币，得到正面向上的频率约为0.501 6；抛掷24 000次硬币，得到正面向上的频率为0.500 5.如果他抛掷36 000次硬币，正面向上的频率可能大于0.500 5 C. 某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2 000粒种子试种，一定会有1 806粒种子发芽 D. 将一颗均匀的骰子抛掷6 000次，则出现点数大于2的次数大约为4 000 6 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A为“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B为“抽取的两个小球标号之积大于8”，则下列结论中正确的是(　　) A. 事件A发生的概率为 B. 事件A∪B发生的概率为 C. 事件A∩B发生的概率为 D. 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 7 [2025厦门二模]某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列结论中正确的是(　　) A. P(AB)＝ B. P(B|A)＝ C. P(A)＝P(B) D. P(A∪B)＝ 三、 填空题 8 [2025池州二模]在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为________． 9 [2025八省联考]有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________． 10 [2026天津耀华中学期初]将若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其他差异)放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5∶4∶6，且其中的黑球比例依次为40%，25%，50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为________；若将所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为________． 四、 解答题 11 [2025扬州期末]已知给定两个集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a，b，c}，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合C. (1) 若A∩B＝{1}，求集合C中恰有三个元素的概率； (2) 若A∩B＝{1，3}，设集合C中元素的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望． 12 [2025常州月考]算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆(简称档)，自右向左分别表示个位、十位、百位……梁上面一粒珠子(简称上珠)代表5，梁下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上． (1) 设事件A为“表示的三位数能被5整除”，事件B为“表示的三位数能被3整除”，分别求事件A，B发生的概率； (2) 设随机变量为表示的三位数除以3的余数(能整除时记余数为0)，求随机变量的概率分布及数学期望． 9．4　随机事件的概率、古典概型及互斥事件 1. D　解析：从口袋内一次取出2个球，按照取到白球的数量分为两球都不是白球，两球恰有一个白球或两球都是白球，所以①②与事件“两球都为白球”互斥且不对立．当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥． 2. A　解析：将2，3，4组成没有重复数字的三位数，共有A＝6(种)，其中偶数有两种情况：以2为个位数的三位数，是342，432，共有2种；以4为个位数的三位数，是234，324，共有2种，所以这个三位数是偶数的情况共有2＋2＝4(种).记这个三位数是偶数为事件A，则P(A)＝＝. 3. A　解析：因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有AA＝120(种)排法．又六个节目演出，共有A＝720(种)排法，所以由古典概型的概率公式可知，所求概率为P＝＝. 4. C　解析：由题意，得摸到一红球一白球的概率为＝，摸到两红球的概率为＝，摸到两白球的概率为＝，所以a＋b＋ab＝3.2，即3a＋1.5b＋0.5ab＝16.又a，b均为正整数，所以当a＝1时，1.5b＋0.5b＝13，即b＝6.5(舍去)；当a＝2时，6＋1.5b＋b＝16，即b＝4，此时运气最好者最多获得2×4＝8(百元)代金券；当a＝3时，9＋1.5b＋1.5b＝16，即b＝(舍去)；当a＝4时，12＋1.5b＋2b＝16，即b＝(舍去)；当a＝5时，15＋1.5b＋2.5b＝16，即b＝0.25(舍去).综上，运气最好者最多获得8百元代金券． 5. BD　解析：对于A，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这三次投篮中命中的频率为，不能说明概率为，故A错误；对于B，进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B正确；对于C，只能说明可能有1 806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1 806粒种子发芽，故C错误；对于D，出现点数大于2的次数大约为4 000，故D正确．故选BD. 6. BC　解析：由题意，得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含CC＝20(个)基本事件．“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共8个基本事件，所以事件B是事件A的子事件．事件A发生的概率为，故A错误；事件A∪B包含的基本事件有11个，所以事件A∪B发生的概率为，故B正确；事件A∩B包含的基本事件有8个，所以事件A∩B发生的概率为＝，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(2，6)，共5个基本事件．故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故D错误．故选BC. 7. BCD　解析：对于A，由题意，得P(AB)＝＝＝，故A错误；对于B，由题意，得P(A)＝＝＝，所以P(B|A)＝＝，故B正确；对于C，对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，所以P(B)＝＝＝，所以P(A)＝P(B)，故C正确；对于D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故D正确．故选BCD. 8. 　解析：假设所有人拿到自己的卡，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡，相当于从4人中选两人交换自己的卡，有C＝6(种)可能，而每人随机抽取一张有A＝24(种)可能性，则相应概率为＝. 9. 　 解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种组合，所以所求事件的概率为P＝＝. 10. 　 　解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n.记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以P(A)＝××＝.记“将三个盒子混合后取出一个球，取到的球是白球”为事件B，黑球总共有2n＋n＋3n＝6n(个)，白球共有9n个，所以P(B)＝＝. 11. (1) 集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素，恰有一个是相同的，另一个是不同的， 又A∩B＝{1}， 所以集合C中恰有三个元素的概率为P＝＝. (2) 由题意，得X的可能取值为2，3，4， 则P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以随机变量X的概率分布为 X 2 3 4 P 故随机变量X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 12. (1) 将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上， 所以各位上的数字可以是1，2，5，6， 所以可以表示的三位数的个数是43＝64. 要使得组成的三位数能被5整除，则表示的三位数的个位数是5， 所以可以表示个位数是5的三位数的个数为42＝16， 所以事件A发生的概率为P(A)＝＝. 要使得组成的三位数能被3整除， 则数字组合有126，156，225，552，111，222，555，666，共8种， 所以满足条件的三位数有2A＋2A＋4＝22(个)， 所以事件B发生的概率为P(B)＝＝. (2) 记三位数除以3的余数为X，则X的可能取值为0，1，2. 由(1)知P(X＝0)＝. 当X＝1时，数字组合有256，112，115，226，556，661，共6种， 所以除以3余1的三位数有A＋5A＝21(个)， 所以P(X＝1)＝， 所以P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝， 则随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P 故数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $