25.3 课时1 几何问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”中的几何应用，通过复习列方程解应用题的“审设列解验答”步骤搭建基础，以直角三角形边长问题、矩形围合问题为载体，逐步引导学生掌握几何问题中数量关系的分析与方程构建。 其亮点在于通过多样化设元方法（从周长、面积、对称性设元）的对比归纳，培养学生数学思维（推理能力）与模型意识，如矩形围合问题中三种设元思路的解析及方程形式特点总结。课堂小结系统梳理步骤与应用类型，助力学生形成解决几何问题的结构化认知，教师使用可提升教学的逻辑性与学生的探究能力。

25.3 实际问题与一元二次方程 课时1 几何问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程. 2.会运用一元二次方程解决与几何图形相关的实际问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？ ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； 设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； 根据题中的等量关系列方程； 求出所列方程的解； “检验”，即验证是否符合题意； 回答题目中要解决的问题. 复习导入 BY YUSHEN 22051 问题1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 , 其中 为正整数. 由勾股定理，得 解方程，得 (不符合题意，舍去) 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长为 . 新知探究 BY YUSHEN 22051 一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长. 解：设直角三角形的一边长为 ，那么另一直角边的长为 根据题意，得 解方程，得 因此，这两条直角边的长分别为 ，. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形的一边长为 , 由周长为，可用含 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 新知探究 BY YUSHEN 22051 解：设矩形的一边长为 ，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的面积为 ，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：对于问题2，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： （1）可设一边长为 ，那么其邻边长为 （2）可设一边长为 , 那么其邻边长为 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解问题2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 （1）可设一边长为 ，那么其邻边长为 根据题意，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 从面积出发 问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 （2）可设一边长为 , 那么其邻边长为 根据题意，得 解方程，得 当=2 时,=12,=8；当=2 时,=8,=12. 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 利用对称性 问题2：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 设法 设元思路 方程形式 特点 从周长出发 从面积出发 利用对称性 利用半周长关系设元，面积关系列一元二次方程，思路最直接，最通用 利用面积关系设元，周长关系列方程，方程含有分式，需先转化为整式方程；需强调的隐含条件 利用长宽和为定值设元，面积关系列方程，可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性 归纳 BY YUSHEN 22051 例1：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m. 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885. 解得 x1=105(舍去），x2=1. 注意：结果应符合实际意义 典型例题 BY YUSHEN 22051 变式训练：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 1m 住房墙 新知探究 BY YUSHEN 22051 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25-2x+1)=80 解得 x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26-2x=10<12 答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 1m 住房墙 12m 新知探究 BY YUSHEN 22051 利用一元二次方程解决问题 列方程步骤： 应用类型 几何问题 数字问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 解: 设较多的钱为 x，则较少的为(20-x). 由题意，可得 x(20- x)＝96. 解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)． 所以，赛义德得到的钱数为12. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 (x－2)，这个两位数字是 10 (x－2) + x. 根据题意，得10 (x－2) +x=3x (x－2)， 整理，得3x2－17x + 20=0， 解得， x1=4，x2= (不合题意，舍去)， 当 x=4时，x－2=2，∴这个两位数是24. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ 解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m， 则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m， 根据题意，得 x(72－2x)＝640， 化简，得 x2－36x＋320＝0， 解得 x1＝16，x2＝20， 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 3.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (2)不能. 理由如下： 由题意，得 x(72－2x)＝650. 化简，得 x2－36x＋325＝0. ∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4 < 0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $