广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024～2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024学年下学期高一期末五校联考试卷 数学 命题学校：广东实验中学 命题人：高一数学备课组 本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1,开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填 写在答题卡指定区域内， 2。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答聚必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1. 已知集合M-2<4N=体≤a小：若a≥1，则() A.MCN B.MUN=N C.M∩N≠☑ D.M∩N-☑ 2. 若复数3+am (a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为() 1+i A.-3 B月 c D.3 3. 如图，向量a-b等于() A.-4g-2g B.e -3e e C.-26-4e D.3 4.已知函数f(x)=h小，若0<a<b,且f(a)=f(b),则下列选项正确的是() A.a>1 B.b<1 C.a+b>2 D.a+b<2 数学试题第1项（共6页） 5,现有6道题，其中4道甲类腿，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，所取的2道题都是 同一类题的概率为() B C.8 5 D. 5 6.如图，正三棱柱ABC-ABC的各棱长均为1，BC的中点为D,BC上有两个动点E,F, 且EF一分则下列结论中植送的是() E B A,AD⊥BE B.三棱锥A一BEF的体积为定值 C.EF∥平面ABC D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 7.已知a,是单位向量，a6=0.若向量c满足c-a--1,则d的最大值为() A.2-1 B.反 C.2+1 D.V2+2 8。甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分， 并且下一回合继续由其发球：若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权：比赛 最终甲乙得分相同，则为平局，已知在每回合中 各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球。则甲乙两人在比赛中平局的概举为() 1 B. 2 A. 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下选项正确的是() A.2x-)=0 B.事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B一定互斥 C。事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B一定互斥 D。“拥2次硬币出现】个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等 数学试圆第2页（共6页） 10.已知矩形ABCD,AB=2,AD=1,沿BD将△ABD折起成△4BD.若点术在平面BCD上 的射彩落在△BCD内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是() A.四面体ABCD的外接球表面积为5r B.四面体ABCD的体积的最人值为25 C.四面体A8CD的体积的最小值为 6 D.四面体ABCD的4个面中最多有3个直角三角形 11。双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，己知：双曲正弦函数 动(x)=ee、双曲余弦函数hx)。二双曲正切函数h()=。。一，且当>0时一 有th(x)<x,则下列选项正确的是() A.[ch(x)-[sh(x)=1 B.h(x)的值域为(-1,1) C.h(x)+h(x-2)>0,则x<1 D.)=-儿s(+eh,则f日f目 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分。 12.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80 件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方 法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3件，则n=— 13.函数y=am 的部分图象如图所示，则(OA+OBAB= 第13题图 14。在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际 上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的，先计算前面k个数据的平均数，和方差 可，再计算前面k+1个数据的的平均数x和方差，计算，可利用递推式 =()+g()(-,则f()g(k)= 数学试题第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题13分) 己知函数f(x)=2sinx+, 12 +sin 2x. (1)若直线x=m是函数∫(x)图像的对称轴（其中m是正实数），求m的最小值 (2)若悦角△48C满足八4=2+，5，求B的取值范围 16.(本题15分) 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元：“一带一路”共 建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长，现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观 展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间 分成[45,55)，[55,65)，，[85,95]五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值 (2)由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数 据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）： (3)展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的 方法（样本量按比例分配），从参观时间在[45,55)和[85,95]内的观展人员中抽取5人，再从中 随机挑出两人进行详细调研，求两人分别米自于观展时间在[45,55)和[85,95]的概率. 顿半 组距 0.035 0.025 0.010 O455565758595时间（分钟） 17.(本题15分) 如图，△0AB是等边三角形，∠A0C=45°，OC=V2,AB,C三点共线，D是线段BC上的 任意点（不含端点）. (1)求OBBC的值： (2)若OD=xOB+yOC x,yER,求区++山的最小值 xy 18.(本题17分) 在三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，4A=AB=AC,且D为BC的中点，D为BC的 中点。 (1)若AB=AC,求证：AD⊥平面ABC: (2)若AB=AC=2,AA=4,求直线AB与平面BCCB所成角的正弦值： (3)若BC=2√2，AA=4,求二面角4-BC-C的正弦值的最大值 C D B D八 数学试题第5页（共6页） 19.(本题17分) 已知函数f)=x+e>0),g(x)=x(x>0),p(x)=(m+1)x-2m+)(x>0. (1)对于函数f(x(x),(x),如果存在实数a,b使得(x)=a(x)+b(x),那么称 (x)为(x,(x)的生成函数.据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使(x)成为函 数f(x),g(x)的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由： (2)若f(x)=f(x)=g(x),其中x<x2,求∫(x+x)+g(x)的取值范围： (3)若xm均为正整数，求函数h(x)=g(x)p(x)的最小值p(m)(用m表示)及p(m)的最 大值 2024学年下学期高一期末五校联考试卷 数学参考答案及评分细则 【选择题、填空题答案及解析】 题号 2 3 6 7 8 答案 C 2 D D c D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 k2 ABD ABC ABD 13 6 k+1 8.【解析】设事件Q:“甲乙两人平局”，由题可知，只有0：0与1：1两种情况， 因此Q=AA,A,+AAA,P(Q)=P(AAA,)+P(AA,A)】 =P(a)P4,)P④)+P(4)P④)P④)，故甲乙两人平局的横率为 4 7 10.【解析】因BD是四面体ABCD的外接球的直径，长度为√5，故A正确： 平面ABD1平面BCD时，四面体ABCD的体积最大值为25 故B正确： 15 平面4CDL平面BCD时，四面体ABCD的体积最小值为 2,故C正确： 6 平面ACD⊥平面BCD时，四面体ABCD的四个面均为直角三角形，故D错误， 1.【解析】6=。-e-e-1-1-2 e+ee+le“+ ,“th(x)为R上递增的奇函数，易知B正确： 由th(x)>h(2-x),则x>2-x,x>1,故C错误： x>0时，th(x)<x一(x-1)e>(仁x-1)e,即f(x)>f(x),故D正确： 另解：x>0时，f(x)-f(-x)=x(e*+e)-(e*-e*)=e*+e)-thc)小>0， 可得f(x)>f(-x) 26060,所以n=13. 12.【解析】因为”=3 13.【解析】令交x-花=0→x=2,得A(2,0),令严x-=→x=3,得B3,1), 42 424 OA+0B=(2,0)+3,1)=(5,1),AB=1,1),故(OA+0BAB=6. 4.【解折】品点+-可+石0可 -艺-立-a=-司，所以)点倒=k 数学答案第1页（共6页） 【解答题参考答案及评分标准】 15.(本题13分) 解：1)f)=1-co2x+ +sin 2x..... .2分 -1-cos2xco+sin 2xsis 2 C0s2x+sin2x3分 2 .4分 直线x=m是函数∫(x)图像的对称轴，由三角函数的性质可知：2m-二=kπ+ 6分 所以加-经+管e2 7分 又：>0，m的最小值为 3 .8分 a国-m24-引125，m24}片 4引24( 9分 10分 锐角三角形中由4君可得管<B<行，可得号<28-吾<酒 6 6 6 m制 .12分 故=5m8-引1915+1 13分 16.(本题15分) 解：(1)由频率分布直方图可知：(0.01+2a+0.025+0.035)×10=1,解得a=0.015.3分 (2)观展时间在区间[45,75)的频率之和为：(0.010+0.025+0.035)×10=0.7<0.75， 观展时间在区间[45,85)的频率之和为：(0.010+0.025+0.035+0.015)×10=0.85>0.75， 所以样本数据的第75百分位数在区间[75,85)内， 设所求百分位数为x分钟，则(x75)×0.015+0.70=0.75, 解得x=235=783,所以估计样本数据的第75百分位数为78.3分钟。6分 3 估计样本的平均数x=0.01×10×50+0.035x10×60+0.025×10×70+0.015×10×80+0.015×10×90 数学答案第2页（共6页） =69分钟。… 9分 (3)由题意知，抽出的5名观展人员中，观展时间在[45.5)的有10x5=2人，设为4B, 25 度展时间在35,5]的有15×子-3人，设为a6,先从瘦展时间在[45,5)的2人中抽一人，再从 观展时间在[85,95]的3人中抽一人，… .10分 则样本空间为2={《4B),(A,a),(4A,b),(A,c),(B,ad),(B,b),(B,c),(a,b).(a,c),(b,c)}, (2）=10, ……12分 设事件M=“两人分别来自观展时间在[45,55)和[85,95]” 则M={(A,a).(A,b),(A,c)(B,a)(B,b),(B,c},(M)=6, .14分 因为抽取样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型 因此PM)-n(M_6-3 (2)105 所以两人分别来自观展时间在[45,5)和[85,95]的概率为子 …15分 17.(本题15分) 解：1)sim15°=m(450-30°)=6-5 4 42分 在△OAC中，∠OAC=120°，∠AOC=120°，∠OCA=15°， OC OA AC ,即22604 AC …4分 sinl20°sinl5°sin45 V33sim15°sin45o 2 故0A=2W6m15°-26x6-5-1-5,4c-26m45°=26x5_25 3 3 3 23 OM=8=o8=19,C=C+14 4 3 …6分 oc-6w,画-1w,o丽c-9}:}wiw-号 8分 (2)D,B,C三点共线，故可设CD=CB(0<1<1) 9分 OD=(1-A)OC+OB.OD=xOB+vOC. 故x+y=元+(1-)=1，其中0<x<1,0<y<1.… …10分 数学答案第3页（共6页） +122,0<w<,（当且仅当xy时取“=”号)…2 :区+1y+_y+++1-1+2 w 型 V ≥9… 14分 :任+1v+少的最小值为9，当且仅当x=y=)时取得。 1 X 415分 18.(本题17分) (1)证：：D为BC的中点，∠BAC=90°，÷DA=DB=DC AA=AB=AC,且A在平面ABC上的射影到点A,B,C的距离相等， A在底面ABC的射影为BC的中点D,2分 AD⊥平面ABC,又ADC平面ABC,.AD⊥AD3分 又：AB=AC,则AD⊥BC,连接DD,易知四边形AAD,D为平行四边形，AD∥AD, AD⊥BC,AD⊥AD …4分 AD,BCC平面ABC,且AD∩BC=D,∴AD⊥平面ABC.… .5分 (2)解：BC1AD,BC⊥AD,AD∩AD=D,BC⊥平面AADD.6分 :BCC平面BCCB,,·平面BCCB⊥平面AADD· 又平面BCC,B∩平面AADD=DD, 作AE上DD,垂足为E,则AE⊥平面BCCB.7分 连BE,则∠ABE为直线AB与平面BCCB所成的角.8分 易得AD=4D=5,4D=4,4B=4D40=455 .9分 DD 4 2 6 8 ·…10分 (说明：等体积法处理点到面的距离相应给分) (3)解：作AH⊥BC,垂足为H,连接DH,可证BC⊥平面ADH, 可得DH⊥BC,又B,C∥BC,DH⊥BC, 数学答案第4页（共6页）