4.1投影 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕投影展开，涵盖中心投影、平行投影及正投影的定义、特征与应用。通过“逐点导讲练—课堂小结—作业提升”流程，从生活现象（如皮影、树影）导入，逐步构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于结合生活实例（如矩形木框影子、树影测量），通过表格对比、“解题秘方”等方法，培养学生几何直观、推理意识与模型意识。讲练结合的设计让学生提升空间观念和应用能力，教师可高效落实教学目标。

1 投影 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 投影 中心投影 平行投影 正投影 学习目标 知识点 投影 知1－讲 1 类别 定义 特征 图示 投影 物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是 投影现象．影子所在的平面称为投影面 (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体影子的方向和大小会发生变化；在投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同 • ••• 感悟新知 知1－讲 特别提醒 形成投影应具备的条件： 1.要有物体存在且物体处于光源与投影面之间； 2.要有光线； 3.要有一个呈现投影的面，即投影面(投影面应是平的). 感悟新知 知1－练 例 1 下列现象不属于投影的是( ) A. 皮影 B. 树影 C. 手影 D. 素描画 D 解：皮影、树影和手影都符合“用光线照射物体在某个平面上得到的影子”，因此选项A，B，C 都属于投影，用排除法选D. 解题秘方：紧扣“投影的定义”中的三个条件进行识别. 感悟新知 知1－练 1-1. 下列现象属于投影的是( ) A. 掉在地上的一片花瓣 B. 午后公园长椅的影子 C. 小颖画了一幅日出图 D. 踩在雪上留下的鞋印 B 感悟新知 知2－讲 知识点 中心投影 2 1. 中心投影 类别 中心投影 定义 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影. 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心 确定投影中心的依据 感悟新知 知2－讲 特征 (1)在中心投影的情况下，点光源、物体边缘上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上； (2)点光源和物体所处的相对位置影响物体的中心投影，点光源或物体的相对位置改变，影子的位置也发生改变，但点光源和物体的影子始终在物体的两侧； (3)中心投影不能反映原物体的真实形状和大小 图示 这是作投影线的依据 感悟新知 知2－讲 2. 中心投影的相关结论及应用 基本图形 对应关系 物高 与影 长的 关系 等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体，它的影子短; 离点光源远的物体，它的影子长 等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长; 离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短 常见 应用 (1)已知灯的位置画物体在灯光下的影子. (2)根据灯光下两个或两个以上的物体及其影子判断灯的位置 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1.中心投影一定是投影，但投影不一定是中心投影． 2. 在中心投影下，不同物体的影长之比一般不等于物体的高度之比. 3. 在中心投影中，若不改变物体的位置，只改变投影方向，物体的影子会随着投影方向的改变而改变. 4.从一个点发出的光线是发散的，不平行的，这个“点”就是投影中心，相当于物理中学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯等． 感悟新知 知2－练 下图不是中心投影的是( ) 解题秘方：紧扣“影子的位置情况”和“投影线 的方向”进行识别. 例 2 感悟新知 知2－练 解：A选项影子在异侧，属于中心投影；B，C 选项影子在同侧，作投影线时相交于一点，属于中心投影；D 选项影子在同侧，作投影线时两直线平行，不属于中心投影. 答案：D 感悟新知 知2－练 2-1. 如图，AB，CD，EF 是垂直于地面的三个等高的标 杆， 线段BM，DN 分别表示AB，CD 在路灯灯光下的影长，请在图中作出表示EF 影长的线段。 解：如图，FG为EF的影长． 感悟新知 知3－讲 知识点 平行投影 3 1. 定义：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 . 平行投影的投影线都是平行的. • • • • 说明 平行投影 物体上各点与投影中对应点的连线互相平行或在同一条直线上 感悟新知 知3－讲 2. 平行投影的相关结论及应用 基本 图形 同地点，同时刻 等高的物体垂直于地面放置时，太阳光下的影长相等 等长的物体平行于地面放置时，太阳光下的影长相等 不等高的物体垂直于地面放置时，它们在太阳光下的物高与影长成比例，即= 感悟新知 知3－讲 基本图形 不同时刻 (1)一天之中，影子的长度变化：长→短→最短→短→长； (2)北半球(北回归线以北地区)一天之中影子的方向变化：正西→西北→正北→东北→正东 感悟新知 知3－讲 常见应用 (1)根据太阳光下物体影子长短、位置的变化判断时刻的不同； (2)已知一物体及其在太阳光下的影长，求同一时刻另一物体在太阳光下的影长； (3)根据物高与影长成比例求物高或影长 感悟新知 知3－讲 3. 平行投影与中心投影的区别与联系 关系 平行投影 中心投影 示例 感悟新知 知3－讲 关系 平行投影 中心投影 区别 光源 平行光源(如太阳等) 点光源(如台灯等) 投影线 平行 相交于一点 投影方向 同一时刻，同一地点相 同 由点光源与物体的相对位 置确定 对应点连 线的位置 关系 物体上的每个点与其影 子上的对应点的连线互 相平行(或在同一直线 上) 物体上的每个点与其影子 上的对应点的连线所在的 直线交于一点，且交点是 光源所在的位置 感悟新知 知3－讲 关系 平行投影 中心投影 区别 影响影子 长度的因 素 同一时刻，同一地点的 影子长度与物体长度、 物体的摆放方式有关， 与物体和光源之间的距 离无关 同一时刻，同一地点的影 子长度不但与物体长度、 物体的摆放方式有关，而 且与物体和光源之间的距 离也有关 物体的高 度与影长 的关系 同一时刻，同一地点， 物体的影长都与物体高 度成比例 同一时刻，同一地点，物 体的影长与物体高度不一 定成比例 感悟新知 知3－讲 关系 平行投影 中心投影 联系 (1)都是物体在光线下形成的投影； (2)若光线一定，投影随着物体位置的变化而变化； (3)影子的长度与物体的高度(长度)有关 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 平行投影中对应点的连线是互相平行的(或在同一直线上)；若物体与其投影的对应点的连线互相平行，则是平行投影。 2. 在不同时刻的太阳光下，同一物体在同一位置的影子长度不同。 3. 区分平行投影与中心投影的方法： 从投射光线来判断：分别作两组物体上的点与相应影子上的对应点的连线，两条光线平行→平行投影；两条光线相交→中心投影。 感悟新知 知3－练 小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的影子不可能是的( ) 例3 感悟新知 知3－练 解题秘方：紧扣“同一时刻，平行的边的平行投影是平行或重合的”这一特征解答. 解：矩形木框在地面上形成的影子应是矩形或平行四边形或一条线段，不会是梯形. 答案：A 感悟新知 知3－练 解法提醒：在平行投影中，不同位置、不同时刻，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状及其与光线的夹角而定；平行且相等的边的投影也平行且相等，也可能互相重合. 感悟新知 知3－练 3-1. 下面四幅图是同一天四个不同时刻的影子， 其时间由早到晚的顺序是( ) A. ①②③④ B. ④③①② C. ③④②① D. ④②③① B 感悟新知 知3－练 如图4-1-1，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱， AB=5 m，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC=3 m. 例 4 解题秘方：紧扣“平行投影的特征”中投影线、影子、物高的特征解答. 感悟新知 知3－练 (1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影(用线段EF表示)； 解：如图4 -1-2，连接AC，过点D 作DF ∥ AC， 交直线BE 于点F，则线段EF 就是DE 在阳光下的投影. 感悟新知 知3－练 (2)在测量AB 的投影长时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE 的长. 解：∵在阳光下同一时刻物高与影长成正比， ∴ = . ∵AB=5 m，BC=3 m，EF=6 m， ∴ DE= =10 m. 感悟新知 知3－练 方法点拨 画物体的平行投影的方法: 先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的顶端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与投影面相交，从而确定其影子. 感悟新知 知3－练 4-1. 小明和小丽要利用树影来测量树高，小明在某一时刻测得长为1 m 的标杆的影长为0.9 m，同时小丽测量树影， 但因树靠近一幢建筑物， 影子不全落在地面上， 有一部分影子在墙上(如图所示)， 她 先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测 得地面上的影长为2.7 m， 那么树高是 多少米？ 感悟新知 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 正投影 4 1. 正投影：如果平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影. 平行投影与正投影如图4 -1- 3 所示. 感悟新知 2. 线段、平面图形、几何体的正投影规律 知4－讲 线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影 规 律 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 图 示 感悟新知 34 知4－讲 特别解读 1.正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影； 2.正投影是光线与投影面之间的关系，与物体的位置无关； 3.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，它分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况. 感悟新知 35 知4－练 把一个正六棱柱如图4-1-4摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( ) 例 5 感悟新知 知4－练 答案：A 解题秘方：紧扣“几何体的正投影”的特征进行识别，物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关. 解：由题可知该正六棱柱的底面平行于投影面，所以它的正投影是与它的底面全等的正六边形. 感悟新知 知4－练 5-1. 如图，水杯的杯口与投影面平行， 平行光线的方向如箭头所示， 则它的正投影是( ) D 感悟新知 投影 投影线 的特征 平行投影 正投影 中心投影 投影线垂直物体于投影面 物体的投影 课堂小结 解：过点D作DH⊥AB于点H， 则易得DH＝AC＝2.7 m，AH＝CD＝1.2 m。 由同一时刻太阳光下影长与物高成比例， 得＝，所以BH＝3 m。 故AB＝3＋1.2＝4.2(m)。所以，树高是4.2 m。 $