12.2 平行线及其判定导学案（课前预习）2026-2027学年人教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦平行线的定义、平行公理及推论、三种判定方法，通过回顾相交线画三线八角、观察窗框铁轨等生活实例、预习课本内容导入，承接上节相交线知识，为后续平行线性质构建“角线互推”逻辑链，以问题链、图形标注和动手操作作为学习支架。 资料特色在于生活化情境激发兴趣，问题链引导逻辑推理，分层练习兼顾不同水平，易错点分析与学法指导培养规范表达。通过观察生活实例发展几何直观，动手操作与推理训练提升推理意识，帮助学生形成数学思维习惯，提升自主学习与解决实际问题的能力。

【2026-2027学年】初中数学人教版（五四制）七年级上册——第十二章 相交线与平行线 12.2 平行线及其判定（新授课）导学案（课前预习） 【模块一 学习目标】 1. 理解平行线的定义，能在同一平面内辨别平行线，并用符号"∥"规范表示。 2. 掌握平行公理及其推论的准确表述，知道"有且只有"包含的存在性与唯一性。 3. 经历观察和操作，熟记平行线的三种判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 4. 能根据角的关系合理选择判定方法进行简单的推理说明，解决实际背景中的平行问题。 【模块二 课前预习】 第1题：回顾上一节"相交线"的内容，画出直线AB、CD被直线EF所截的图形，用不同颜色的笔标出图中所有同位角、内错角、同旁内角，并填写下表：同位角的位置特征是"在截线的同旁，被截两直线的同一方"；内错角的位置特征是；同旁内角的位置特征是。 第2题：观察家里的窗框、瓷砖缝隙或铁轨，这些物体边缘看上去怎样？如果用直尺和三角板试着画一组这样的线，说一说你的画法中关键依靠的是什么工具？由此你猜想要保证两条直线平行，什么角必须相等？ 第3题：预习课本"平行线的判定"部分，找一找：装修工人用角尺沿一块木板边缘画出的一条线，为什么就能和木板边缘平行？把你的想法简单记录下来。 【模块三 知识点梳理】 一、平行线的定义与基本事实 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。这个定义三个要点缺一不可：同一平面、直线、不相交。如果两条线段所在的直线平行，我们也说这两条线段平行。 2. 符号表达：直线a与b平行，记作a∥b，读作"a平行于b"。提醒自己，平行符号是两条短斜线，别写成等号。 3. 【注意】有人以为"两条直线不平行就必定相交"，其实是有前提的——必须在同一平面内。教室里竖直的旗杆和横梁所在的直线，它们既不相交也不平行，属于异面直线，初中阶段暂不研究。 图1 平行线示意图 教师引导思考：铁路的两条钢轨为什么可以无限延长也不相交？因为它们总是保持相等的距离。这个"距离"背后其实是角度不变。 二、平行公理及传递性 1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。"有"说明可以画出来，"只有"说明画出来的那条是唯一的，不能画第二条。它就是我们用三角板推平行线的根本依据。 2. 公理推论（平行线的传递性）：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。用符号写出来就是：若a∥c且b∥c，则a∥b。 3. 小活动：每个人在纸上画一条直线l，再画一条m∥l，然后在l外取一点P画n∥l，看m和n什么关系，小组里交换图纸验证。你发现m总是和n平行，这就是传递性在帮你的忙。 4. 【温馨提示】有些同学背公理时漏掉"直线外"三个字，直接说"过一点有且只有一条直线与已知直线平行"，这在点落在直线上时就不成立了——过直线上一点不可能做出与它平行的另一条直线。 三、平行线的三种判定方法——问题链展开 情境切入：体育课上画100米跑道，怎么保证几条跑道线互相平行？只用一把卷尺能量出来吗？其实靠的是角度——只要每条跑道线与起跑线的夹角都相同。 问题1：被截直线和截线分出的8个角里，哪些角相等能推出线平行？ 图2 三线八角图 1. 判定方法1：同位角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果一对同位角相等，那么这两条直线平行。这是最根本的判定方法，后两种都可以由它推导出来。几何语言：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。同位角的形状像字母F，可以在图形中快速定位。 2. 判定方法2：内错角相等，两直线平行。 如图，若∠2=∠3，因为∠1=∠3（对顶角相等），所以∠1=∠2，转化为同位角相等，即得a∥b。几何语言：∵∠2=∠3，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。内错角像个Z字，找角时沿截线走"之"字路线。 问题2：如果不是相等，两个角相加等于180°能不能判定平行？ 3. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。 条件是∠2+∠4=180°，因为∠1+∠4=180°，得∠1=∠2，又转成同位角相等。几何语言：∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。同旁内角像U字，位于截线同侧、两直线之间。 教师引导概括：三种判定本质上都是通过角的关系推导平行，关键一步是找对被截线和截线，然后判断角属于同位角、内错角还是同旁内角。怎么判断？看角的边：两个角共有一条边是截线，另两条边分别属于被截的两直线。 4. 课堂追问：已知∠1=∠2=72°，能直接说AB∥CD吗？别急，先看∠1和∠2是由哪条截线和哪两条被截线形成的。如果它们既不同位又不内错也不同旁内，那这俩角相等是推不出平行的。所以"对角入座"是避免踩坑的铁律。 【板书框架】 12.2 平行线及其判定 一、定义：同一平面内不相交 二、公理：一点有且只有一条 推论：a∥c, b∥c ⇒ a∥b 三、判定（角→线） 同位角相等⇒∥（F型） 内错角相等⇒∥（Z型） 同旁内角互补⇒∥（U型） 基本图形：三线八角，标注数字，强调截线与被截线 【图像说明：直线a、b被直线c所截，图上所标8个角，其中∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8是同位角；∠3与∠6、∠4与∠5是内错角；∠3与∠5、∠4与∠6是同旁内角】 【模块四 例题讲解】 例题1：如图，直线AB、CD被直线EF所截，给出四个条件：①∠1=68°，∠2=112°；②∠3=∠5；③∠4+∠6=180°；④∠2=∠8。其中能判定AB∥CD的条件有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【图像说明：AB、CD被EF所截，角按位置：∠1在AB左上方，∠2在CD右下方，∠3在AB左下方，∠4在AB右下方，∠5在CD左上方，∠6在CD右上方，∠7在AB右上方，∠8在CD左下方，编号方式使∠1与∠5为同位角，∠4与∠6为同位角，∠3与∠6为内错角，∠2与∠8为内错角，∠3与∠5为同旁内角，∠4与∠5为同旁内角。】 详细解答：逐一分析。①∠1=68°，∠2=112°，∠1+∠2=180°，它们是同旁内角（AB、CD被EF所截），所以AB∥CD，能。②∠3与∠5是内错角吗？审图：∠3在AB左下方，∠5在CD左上方，是内错角，相等就能判定，能。③∠4和∠6是同位角（都在截线右侧，∠4在AB之上，∠6在CD之右），互补意味着∠4+∠6=180°，而同旁内角才互补，同位角互补不能判定，可能未形成同旁内角关系，故不能。④∠2与∠8是内错角，相等就能判定，能。所以①②④三组，选C。 方法总结：先画圈标出每对角的位置关系，脑子里过一遍F、Z、U图，对号入座。遇到互补条件，除非明确是同旁内角，否则不着急下结论。 例题2：如图，已知∠1=47°，∠2=133°，直线a与b是否平行？请说明理由。 【图像说明：直线a、b被直线c所截，∠1在a上方位于截线左侧，∠2在b下方位于截线右侧，且∠1与∠2是同旁内角关系。】 解答：a∥b。理由：因为∠1=47°，∠2=133°，所以∠1+∠2=180°。∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b。 方法总结：看到两个角的度数，先快速求和或差，若和为180°就看是不是同旁内角，若相等就看是不是同位角或内错角。这叫"算一算，认一认，判一判"。 例题3：如图，已知AC平分∠DAB，∠1=∠2。试说明AB∥CD。 【图像说明：四边形或折线图形，点A处有射线AB、AD，AC是∠DAB的平分线，点C在CD上，∠1是∠DCA，∠2是∠CAB，且∠1与∠2被标出相等。】 解答：因为AC平分∠DAB，所以∠2=∠CAB。又已知∠1=∠2，所以∠1=∠CAB。∠1与∠CAB是直线AB、CD被AC所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，得AB∥CD。 方法总结：角平分线是个桥梁，它把大角分成两个相等的小角，再结合等量代换，往往可以搭出内错角或同位角相等的条件。遇到角平分线抓住"半角"去替换。 【模块五 课堂练习】 基础巩固第1题：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是；若三条直线两两平行，则它们的交点个数为。 基础巩固第2题：下列语句：①两条不相交的直线叫做平行线；②如果a∥b，b∥c，则a∥c；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 基础巩固第3题：如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠D=∠DCE D. ∠D+∠ACD=180° 基础巩固第4题：如图，已知直线a、b被直线c、d所截，∠1=63°，∠2=63°，∠3=117°，请找出图中所有的平行线，并说明理由。 能力提升第5题：如图，已知∠1=∠2，再添加什么条件可使AB∥CD成立？写出两个不同的条件并简单说明。 能力提升第6题：一辆汽车在笔直的公路上行驶，第一次向左拐了30°，第二次向右拐了30°，则汽车前后两次行驶的方向是否相同？如果第一次向右拐40°，第二次向右拐140°，方向呢？请画示意图说明理由。 能力提升第7题：如图，MP平分∠BMN，NQ平分∠DNF，且∠1=∠2=55°，试说明AB∥CD。 能力提升第8题：如图，已知∠BED=∠B+∠D，猜想AB与CD的位置关系并证明。（提示：过点E画一条与AB平行的辅助线） 【模块六 参考答案】 课堂练习参考答案： 基础巩固第1题：【答案】相交或平行；0 【解析】在同一平面内，两条不重合的直线只有相交和平行两种关系。三条直线两两平行，即a∥b，b∥c，a∥c，都不相交，交点个数为0。 基础巩固第2题：【答案】B 【解析】①错，没有"在同一平面内"这个前提；②正确，为平行公理的推论；③垂直公理与平行公理不同，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这句话本身正确，但题目问的是关于平行的语句，③是垂直公理，也算正确表达，但关键是题目没有限定只关于平行，故③正确；④是平行公理，正确。因此②③④正确，①错，共3个，选C。注意别因为③是垂直就排除，只要语句本身正确就可计。 基础巩固第3题：【答案】B 【解析】∠3与∠4是直线AB、CD被BD所截的内错角，内错角相等则AB∥CD。A中∠1=∠2得AD∥BC；C中∠D=∠DCE得AD∥BC；D中∠D+∠ACD=180°得AD∥BC。选B。 基础巩固第4题：【答案】a∥b，c∥d 【解析】因为∠1=63°，∠2=63°，所以∠1=∠2，它们是一组同位角（直线a、b被c所截），则a∥b。∠2=63°，∠3=117°，∠2+∠3=180°，且∠2与∠3是直线c、d被a所截的同旁内角，则c∥d。 能力提升第5题：【答案】添加条件①∠3=∠4（内错角相等，两直线平行）；②∠MBE=∠EDF（同位角相等）等，合理即可。解析：∠1和∠2不是直接判定AB、CD的角，需转化。通过等量加等量和相等或等量代换，构造出一对内错角或同位角相等。 能力提升第6题：【答案】第一次左拐30°，再右拐30°，方向相同。相当于先偏30°左，又回正，最终与原来方向一致。第二次右拐40°后再右拐140°，总共右拐180°，汽车掉头反向，方向不同。画示意图略。 能力提升第7题：【答案】因为∠1=∠2=55°，且MP平分∠BMN，NQ平分∠DNF，所以∠BMN=2∠1=110°，∠DNF=2∠2=110°，得∠BMN=∠DNF。且∠BMN与∠DNF是直线AB、CD被MN所截的同位角，因此AB∥CD。 能力提升第8题：【答案】AB∥CD。证明：过E作EF∥AB，则∠B=∠BEF。因为∠BED=∠B+∠D，所以∠FED=∠BED-∠BEF=∠D，从而EF∥CD（内错角相等）。由AB∥EF，EF∥CD，根据平行公理推论得AB∥CD。 课后巩固参考答案： （对应模块七） 课后巩固第1题：【答案】合格，理由是∠ABC+∠DCB=30°+150°=180°，且∠ABC和∠DCB是AB、CD被BC所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB∥CD。 课后巩固第2题：【答案】a∥b，a∥c，b∥c。理由：∠1=65°，∠2=115°，∠1+∠2=180°，且它们是同旁内角（a、b被d所截），得a∥b。∠3=65°，∠1=∠3，它们是同位角（a、c被d所截），得a∥c。再由传递性得b∥c。 课后巩固第3题：【答案】AB∥CD。证明：设∠1的对顶角为∠5，∠2的对顶角为∠6，则∠1=∠5，∠2=∠6。已知∠1=∠2，所以∠5=∠6。因为∠3=∠4，所以∠3+∠5=∠4+∠6，即∠AEF=∠EFD，它们是内错角，所以AB∥CD。另法：利用三角形内角和或外角也能证。 【模块七 课后巩固】 课后巩固第1题（本题8分）：某零件设计图纸上要求AB∥CD，检验员用角尺测得∠ABC=30°，∠DCB=150°，立即判断零件合格，请写出他的判断依据。 课后巩固第2题（本题10分）：如图，直线a、b、c被直线d所截，已知∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°，请找出图中存在的所有平行线，并用箭头和文字逐一说明理由。 课后巩固第3题（本题12分）：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，请你探究AB与CD是否平行，写出完整的推理过程。可适当添加辅助线或字母。 【模块八 易错点分析与学法指导】 【易错点1】混淆平行线定义的前提。错误表现：看到两条线段没画相交，就说它们平行。正确做法：必须说清楚"在同一平面内"且"直线无限延伸"都不相交。线段平行要看它们所在的直线。 【易错点2】平行公理条件丢失。错误表现：常说"过一点有且只有一条直线与已知直线平行"。正确做法：牢牢记住"直线外"三个字，如果点就在直线上，画不出来平行线。记忆口诀：线外一点画平行，有且只有定乾坤。 【易错点3】判定时角的位置关系判断错误。错误表现：明明∠1和∠2是被两条不同的截线所截出的角，硬当作内错角来推平行。正确做法：先确定你想证哪两条直线平行，就把它们看作被截线，再找第三条直线作为截线，截线一确定，8个角的位置关系就固定了，然后再看你想用的那两个角是不是同位角、内错角或同旁内角。 【学法建议1】动手摆一摆。用三根小棒或笔模拟三线八角，手动改变截线的斜度，观察角的大小变化，看线什么时候平行。这比死记图形管用得多。 【学法建议2】几何推理起步阶段，每一步都要在括号里写上理由，如"（同位角相等，两直线平行）"。开始不习惯，但这是规范说理的基础，考试按步给分，这个分必须拿到。 【学法建议3】把知识串成链：先有平行线定义→到平行公理→再到判定定理。判定定理是反过来用角推平行，与后面要学的平行线性质（由平行推角）正好互逆，对比学习不易混淆。 知识网络描述：本节向上承接"相交线与垂线""三线八角"的识别，平行为相交的特例反方。向下连接"平行线的性质"，形成"角线互推"的逻辑闭环，并为三角形、四边形中角的转化提供核心工具。本章在几何证明中占枢纽地位。 学科网（北京）股份有限公司 $