25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，核心内容包括求根公式推导、根的判别式应用及解题步骤。课堂导入通过复习方程化为一般形式，衔接配方法，以“能否用配方法解一般形式方程”设问，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动推导求根公式，培养数学思维中的推理能力，结合雕像长度问题渗透模型意识与应用意识。例题覆盖判别式三种情况，当堂检测分层设计，助力学生掌握方法并解决实际问题，为教师提供完整高效的教学流程。

25.2.2 公式法 22051 1.理解并掌握公式法的一般步骤，熟练应用公式法解一元二次方程. 2.会用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 学习目标 22051 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： （≠ ） 能否用配方法解得此方程？ 将下列一元二次方程写成一般形式 (1) 3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1) (2) (x＋2)2＝2x＋12 解：(1) 原方程可化为: x2－9x＋2＝0. (2)原方程可化为: x2＋2x－8＝0. 复习导入 22051 探究 能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？ 分析：我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题. 将ax 2 + bx + c = 0 移项，得：ax 2 + bx = - c 二次项系数化为1，得： 配方，得： 即： ① 新知讲解 22051 因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况： (1) b2-4ac > 0 这时 ，由①得 方程有两个不等的实数根 新知讲解 22051 (2) b2-4ac = 0 这时 ，由①得，方程有两个相等的实数根 (3) b2-4ac ＜ 0 这时 ，由①可知 ，而 x 取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 式子b2-4ac 的值有以下三种情况： 新知讲解 22051 思考：不难发现，我们是通过式子 b2 - 4ac来判断ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解，是如何通过b2 - 4ac来判断的呢？ 一般地，式子 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ= b2-4ac. 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 归纳小结 22051 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，当Δ ≥ 0时，它的实数根可写为 . 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 求根公式 注意：①首先要将方程化为一般式； ②判定b2 - 4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解. 归纳小结 22051 例1 用公式法解下列方程： (1) x2 - 4x - 7 ＝ 0 解：(1)a = 1， b= - 4，c = - 7 . Δ= b2 - 4ac= ( - 4 )2 - 4 × 1 × ( - 7 ) = 44 ＞ 0 ， 方程有两个不等的实数根 即 例题讲解 22051 (2) 2x2－ ＋1 = 0； 解：(2)a = 2， b= ，c = 1 . Δ = b2 - 4ac= - 4×2×1 = 0 ， 方程有两个相等的实数根 (3) 5x2－3x＝x＋1； (3)方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ = b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36 > 0. 方程有两个不等的实数根 即 例题讲解 22051 (4) x2＋17＝8x. 解：(4)方程化为x2－8x＋17＝0. a ＝ 1，b＝-8，c＝17. Δ = b2－4ac＝(-8)2－4×1×17 ＝ - 4 < 0. 方程无实数根． 你能总结公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 例题讲解 22051 公式法解一元二次方程的一般步骤 1.把方程化成一般式，并写出a，b，c的值； 2.求出∆的值； 若∆≥0 3.代入求根公式； 4.写出方程的根. 若∆＜0 方程无实数根 归纳小结 22051 引言问题：雕像腰部以下长x满足方程 x2+5x-25＝0 用公式法解这个方程. 如果结果保留小数点后两位，那么 x1 ≈ 3.09，x2 ≈ -8.09. 这两个根中，只有x1 ≈ 3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09 m. 解：a＝1，b＝ 5，c＝ - 25. Δ = b2－4ac＝52 - 4×1×(-25)＝125＞0. 即 小试牛刀 22051 一般地，式子 b2－4 ac 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)根的判别式. 判别式与一元 二次方程根的 情况的关系 公式法 一元二次方程 根的判别式 求根公式 课堂小结 22051 1.不解方程，判别下列方程的根的情况. (1)-x2-6x+1=0 (2)x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-3)2+5=0 解：(1)Δ=(-6)2-4×(-1)×1=40＞0∴方程有两个不相等的实数根. (2)Δ=(-1)2-4×1×2=-7＜0∴方程无实数根. (3)Δ=(-4)2-4×1×4=0∴方程有两个相等的实数根. (4)原方程可化为(x-3)2=-5＜0∴方程无实数根. 当堂检测 基础 22051 2.若关于x的一元二次方程x2-4x＋5=a有实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 D 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根， 方程转化为(x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0， 解得a≥1，所以a的取值范围为 a≥1 ． 当堂检测 基础 22051 3.用公式法解下列方程： (1)3x2+x-4=0 (2)-2x2-2x=-4 解：(1) a=3，b=1，c=-4. Δ=b2-4ac=12-4×3×(-4)=49＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=-，x2=. (2)方程化为-2x2-2x+4=0. a=-2，b=-2，c=4. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×(-2)×4=36＞0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=，x2=. 当堂检测 基础 22051 4.关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 分析：对Δ的应用，由方程有实数根可得Δ≥0. 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1， ∵m为正整数，∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1． 不要忽略等于0的情况 当堂检测 提升 22051 $