7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1　离散型随机变量的均值 目 标 素 养 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握两点分布的均值;会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关的实际问题. 3.通过学习,提升直观想象和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的　平均水平　.  微思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间有什么区别? 提示:离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化. 微训练1 若随机变量X的分布列为 则E(X)=(　　) 答案:C 2.两点分布 如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p) +1×p=p. 3.均值的性质 E(aX+b)=　aE(X)+b　.  微训练2 设E(X)=10,则E(3X+5)=　　　　　.  答案:35 解析:E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35. 课堂·重难突破 一 两点分布的均值 典例剖析 1.某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的均值. 解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表: 因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6. 学以致用 1.若X的分布列为 则E(X)=(　　) 答案:A 二 离散型随机变量的均值公式及性质 典例剖析 2.已知随机变量X的分布列如下: (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y). (3)(方法一)由公式E(aX+b)=aE(X)+b, 规律总结 1.该类题目属于已知离散型随机变量的分布列求均值,求解方法是直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解. 2.对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便. 学以致用 2.已知随机变量X的分布列为 且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则a的值为　　　　　.  答案:-3 三 求离散型随机变量的均值 典例剖析 3.已知箱子中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (1)求X的分布列; (2)求X的均值E(X). 解:(1)由题意得X可以取3,4,5,6, 所以X的分布列为 规律总结 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求概率:求X取每个值的概率; (3)写分布列:写出X的分布列; (4)求均值:由均值的定义求出E(X). 其中写分布列是求解此类问题的关键. 学以致用 3.一个盒子里有1个红球,1个绿球,2个黄球,四个除颜色外完全相同的球,每次取一个,不放回,取出红球即停,设取出黄球的个数为Y,试求E(Y). 四 离散型随机变量均值的实际应用 典例剖析 4.某学校组织环保知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 规律总结 概率模型的解答步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. (3)根据实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 学以致用 4.在一次射击比赛中,运动员甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;运动员乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3.那么两名运动员获胜希望较大的是谁? 解:设这次射击比赛运动员甲得X1分,运动员乙得X2分,则分布列分别如下: 根据均值公式得E(X1)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1; E(X2)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2. 因为E(X2)>E(X1),所以这次射击比赛运动员乙得分的均值较大,所以运动员乙获胜的希望较大. X1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 X2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 随堂训练 1.设随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3,4,则E(X)的值为 (　　) A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2 答案:A 2.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值为(　　) A.0 B. C.1 D.-1 答案:A 3.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的均值E(X)=(　　) 答案:B 解析:两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,共有32=9种情况. 依题意,X的所有可能取值为0,1,2, 4.已知某离散型随机变量X的均值E(X)= ,X的分布列如下表 则a=　　　　　,b=　　　　　.  解析:根据分布列概率之和为1以及数学期望定义可列出方程组, 5.节日期间,某种鲜花进货价是2.5元/束,销售价5元/束;节日卖不出去的鲜花以1.6元/束的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X的分布列如下表所示: X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束,则利润的均值为　　　　　.  答案:706 解析:由分布列可以得到 E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340, 因此利润的均值为340×5+(500-340)×1.6-500×2.5=706. 6.预测某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图如图所示.空气质量指数小于等于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该地, 并停留2天. (1)求此人到达当日空气 质量优良的概率; (2)设X是此人停留期间空 气质量优良的天数,求X的 分布列与均值. 解:(1)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,由题图可知,在5月1日到5月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良, $