7.4.1 二项分布（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学教学设计聚焦二项分布核心知识，以伯努利抛硬币故事导入，结合学生已掌握的概率统计基础，通过实例判断n重伯努利试验类型搭建学习支架，梳理从具体试验到抽象概率模型的认知脉络。 其亮点在于生活化情境激发兴趣，问题探究采用特殊到一般方法引导学生归纳二项分布模型，培养数学抽象与逻辑推理素养，针对艺术班学情降低例题难度，助力学生理解模型构建，为教师提供清晰教学流程与分层教学支持。

《二项分布》（第1课时）公开课教学设计 【教学内容】 本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。 【教学目标】 1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布； 2.学生通过独立思考，相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养； 3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，体会在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。 【重点难点】 教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用； 教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题. 【学情分析】 通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件的概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从摸球的试验中归纳出二项分布的概率模型。 另外，艺术班学生数学基础较弱，在教学中要更多的去鼓励和帮助，降低例题难度，尽量能让大多数同学融入课堂。 【教学过程】 （一）情境引入 【情境】向学生介绍伯努利抛硬币的故事，通过故事情境引入“伯努利试验”和“n重伯努利试验的”定义. 【学生活动】练习:判断下列随机试验是否是n重伯努利试验. （1）投掷一枚质地均匀的硬币100次，观其向上的是正面还是反面; （2）10位水平不一的选手对同一目标依次射击一枪，统计中靶次数； （3）在美苑班某次研究概率的活动课上，俞老师在盒子里放置了除颜色外均 相同的2个黑球和1个红球，依次让班里的10名同学摸出一个球并放回，若摸到 的是红球则奖励一根棒棒糖. 【设计意图】通过例子引出概念，为了让学生更好的理解n重伯努利概型的特征，提供更多生活实例引导学生思考，问题中的伯努利试验是什么？事件A发生的概率是多少，重复试验的次数是多少,各次试验的结果是否相互独立等。 （二）问题探究 探究一：在美苑班某次研究概率的活动课上，俞老师在盒子里放置了除颜色外均 相同的2个黑球和1个红球，依次让班里的10名同学摸出一个球并放回，若摸到 的是红球则奖励一根棒棒糖. 问题一：每次摸球，摸到红球的概率是多少？ 问题二：记得到棒棒糖的人数为X,当X分别取0,1,2,3时，求P(X). 问题三：求恰有K人摸到红球的概率P(X=k)(k=0,1,2，…10）. 问题四：写出随机变量X的分布列. （三）抽象概念 探究二：在n重伯努利试验中，事件A发生的概率是p,用X表示事件A发生的次数， 请写出X的分布列. 【设计意图】采用有特殊到一般，由具体到抽象的数学方法，层层深入，引导学生逐步构建出二项分布的模型，并在推导的过程中通过文字语言和符号语言的相互转化，发展学生的数学抽象的核心素养。 （四）概念生成 定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 追问：你能解释二项分布定义中的五个量n,p,1-p,k,n-k的含义吗？ 【设计意图】设计意图通过复述理解二项分布定义中各个量的含义，加深对二项分布中各个量的含义的理解. （五）概念理解 思考一：对比二项分布与两点分布，你能看出他们之间的联系吗？ 【设计意图】回顾二项式定理及其展开式的通项，引导学生对比找到二者之间的关系，从而更深入的帮助学生理解二项分布的概念以及概率和等于1的性质。 思考二：对比二项分布与两点分布，你能看出他们之间的联系吗？ 【设计意图】回顾二项式定理和两点分布的概率模型，引导学生对比两点分布和二项分布两个模型的区别与联系，掌握两点分布式二项分布的特例，二项分布是两点分布的一般情况，进一步加深对两个模型的理解。 （六）概念应用 例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 【归纳方法】二项分布是用于求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的思路和步骤是： 第一步：根据题意设出随机变量 ；第二步：分析出随机变量服从二项分布 第三步：找到参数n,p ； 第四步：写出二项分布的分布列 ；第五步：将k值代入求解概率. 【学生活动】练习1：某气象站天气预报的准确率为2/3，设随机变量X表示预报准确的次数，求： （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率. 【归纳方法】二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质就是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件间接的求概率. （七）课堂小结 1.通过今天这节课的学习我们学习到了什么知识？ 2.我们通过什么样的方法构建了二项分布的概率模型？体现了怎样的数学思想? 3.确定一个模型是二项分布的模型的一般步骤是什么？ （八）课后作业 1.《分层训练》P140.P142.P144. 2.课本P81.T5（写在作业本上） 学科网（北京）股份有限公司 $