精品解析：四川成都外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

成都外国语学校2025－2026学年度上期期末考试 高二数学试卷 考试说明 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题部分）和第Ⅱ卷（非选择题两部分）； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用2B铅笔准确填涂考号； 4.缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一般式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角． 【详解】解：设直线的倾斜角为， 则由直线知，． 所以． 所以． 故选：． 2. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，进而可得答案. 【详解】由双曲线可得 ， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：B 3. 已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可． 【详解】由中点坐标公式可得的中点为， 又直线的斜率，线段的垂直平分线的斜率， 所求直线的方程为：，即. 故选：B. 4. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 5. 为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求．已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（ ）小时． A. 7.5 B. 8 C. 8.3 D. 8.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算公式可求平均数. 【详解】由题意可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人， 则. 故选：C. 6. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8. 四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为5，方差为2.4 C. 中位数为4，众数为5 D. 中位数为4，方差为2.8 【答案】B 【解析】 【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可． 【详解】解：对于选项，1，2，5，6，6符合条件，故错， 对于选项，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为，故对， 对于选项，1，2，4，5，5符合条件，故错， 对于选项，1，4，4，5，6，平均数为，方差，符合条件，故错， 故选：． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不共面来确定基底可判断A，利用四点共面的性质可判断B，利用向量法来确定线面关系可判断C，利用投影向量公式可判断D． 【详解】因为为空间的一组基底，所以不共面， 而在确定的平面内，所以也与不共面， 即也是空间的一组基底，故A正确； 若四点共面，为该平面外一点，且，则，故B正确； 因为，所以，则直线在平面内或，故C错误； 由空间向量在方向上的投影向量的模长，故D正确； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 【答案】BC 【解析】 【分析】根据概率公式，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D. 【详解】对A，因为事件A与事件B相互独立，， 所以， 则，A错误； 对B，因为样本数据的方差为10， 所以数据的方差为，B正确； 对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球， 所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白）， 此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确； 对D，因为，所以上四分位数是该组数据的第个数，即，D错误. 故选：BC 11. 设曲线：，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形的面积大于5 C. 曲线的周长为 D. 曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点关于直线对称的点代入曲线的方程判断A；当，得曲线为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，讨论不同象限的符号可画出曲线图形，结合图形利用圆的几何性质可判断BCD. 【详解】A选项，将点关于直线对称的点代入曲线：得， 即点满足曲线方程，故曲线：关于直线对称，A正确； C选项，当时，满足曲线：，故原点在曲线上， 当，得曲线：， 对应的图形为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，此圆弧的长度为，同理可得， 曲线在第二象限的图形为圆心为，半径为的圆在第二象限的半圆部分； 曲线在第三象限的图形为圆心为，半径为的圆在第三象限的半圆部分； 曲线在第四象限的图形为圆心为，半径为的圆在第四象限的半圆部分； 曲线：对应的图形如下： 故曲线的周长为，C错误； B选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故B正确； D选项，其中圆心与，直线与曲线交于点，， 则即为曲线上的两点之间距离的最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据方程特征，分四个象限讨论曲线的形状，并利用圆的几何性质结合图形进行解答.数形结合思想是高中数学一种重要的数学思想，一定要熟练掌握并应用于解题当中. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点差法列式求解得，再利用替换，即可得离心率. 【详解】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即. 故答案为： 14. 抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故 的最小值是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 在甲､乙两位选手以往的比赛中随机抽取10局比赛，胜负情况依次如下： 第i局比赛() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 胜者 乙 乙 甲 乙 甲 乙 乙 甲 甲 甲 （1）从上表中第5局到第10局的六局比赛中任选两局，求甲至少有一局获胜的概率； （2）甲､乙两位选手将要进行一场比赛赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负若以甲､乙两位选手上表中10局比赛的结果作为样本，视样本频率为概率，求甲2：0获胜的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）列出所有的基本事件，找出甲两次都没有获胜包含的基本事件的个数，计算出甲两次都没有获胜的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解； （2）若视样本频率为概率，可以求出每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若甲以获胜，则甲前两局都获胜，即可求解. 【详解】（1）从第5局到第10局的六局比赛中任选两局，所有可能的基本事件如下： ，，，，，，，，，，，，，.基本事件共15个， 其中甲均没有取胜的基本事件有1个， 所以，甲至少获胜一局的概率为. （2）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 若甲以获胜，则甲前两局都获胜， 所以甲以获胜的概率为. 【点睛】方法点睛：古典概型概率问题 （1）针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性； （2）求出基本事件的总数，和事件中包含的基本事件的个数 ； （3）利用即可求概率. 16. 已知圆与圆. （1）若圆与圆相外切，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据两圆外切可知，由此可构造方程求得的值； （2）根据垂径定理，利用弦长可直接构造方程求得的值. 【小问1详解】 圆的方程可整理为：， 圆心，半径；其中, 由圆方程知：圆心，半径； 圆与圆相外切，，解得：. 【小问2详解】 由（1）知：圆心，半径， 圆心到直线的距离， ，解得：或. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明； （2）以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 【小问1详解】 连接，由，为中点，得， 又∵四边形为直角梯形，，， 所以，则四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， 则，则， 又平面，平面，， ∴平面， 又平面，∴． 【小问2详解】 由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，， 方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系． ，，，，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，， ∴， 故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右焦点和上顶点构成边长为的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为，且（为椭圆的右顶点），求直线的方程； （3）关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点在直线上，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）或. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出、，可求出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理求出的值，即可得出直线的方程； （3）设、、，写出切线、的方程，再将点的坐标代入两切线的方程，可得出两个等式，进而可得出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 由已知，，所以，故 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，、， 易知，联立，消去并整理得， ，解得， 由韦达定理得，， 因为，且，， 即， 整理得， 因为，，所以， 即，解得或，均合乎题意， 则直线的方程为或. 【小问3详解】 设、、，则切线的方程为， 同理可知直线的方程为， 因为点为直线、的交点，所以， 所以点、的坐标都满足方程， 故直线的方程为，由可得， 所以直线过定点. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为下底面上过点的一条动弦（与不重合），点在下底面椭圆上（与点，不重合），是在上底面的投影． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积的取值范围； （3）设平面与平面的夹角为，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接， 由题意得，，则，，， 所以，，所以且， 则四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2） （3）32 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行来证明线面平行，即证明． （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出四面体体积的表达式的范围. （3）利用坐标的方法将平面与平面的法向量求出来，然后根据向量夹角的余弦公式表示出，进而得到，最后求出所求表达式的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 下底面椭圆方程为， 设，，：，联立 得，且， 所以，． 所以，令， 则， 因为在上单调递增， 所以， 由题可得 【小问3详解】 解：，，， 设， 则且， ，． 易得平面的一个法向量是， 设平面的法向量是， 则 令，得， 则， 所以， 所以． 又，， 所以， ，其中． 令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025－2026学年度上期期末考试 高二数学试卷 考试说明 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题部分）和第Ⅱ卷（非选择题两部分）； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用2B铅笔准确填涂考号； 4.缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求．已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（ ）小时． A. 7.5 B. 8 C. 8.3 D. 8.5 6. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为5，方差为2.4 C. 中位数为4，众数为5 D. 中位数为4，方差为2.8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 11. 设曲线：，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形的面积大于5 C. 曲线的周长为 D. 曲线上的两点之间距离不大于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则实数的值为______. 13. 已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________. 14. 抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 在甲､乙两位选手以往的比赛中随机抽取10局比赛，胜负情况依次如下： 第i局比赛() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 胜者 乙 乙 甲 乙 甲 乙 乙 甲 甲 甲 （1）从上表中第5局到第10局的六局比赛中任选两局，求甲至少有一局获胜的概率； （2）甲､乙两位选手将要进行一场比赛赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负若以甲､乙两位选手上表中10局比赛的结果作为样本，视样本频率为概率，求甲2：0获胜的概率. 16. 已知圆与圆. （1）若圆与圆相外切，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右焦点和上顶点构成边长为的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为，且（为椭圆的右顶点），求直线的方程； （3）关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点在直线上，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，求证：直线过定点. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为下底面上过点的一条动弦（与不重合），点在下底面椭圆上（与点，不重合），是在上底面的投影． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积的取值范围； （3）设平面与平面的夹角为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $