宁夏回族自治区银川一中2027届高三年级数学一轮复习检测卷（一）

**基本信息** 2027届高三数学一轮复习检测卷，以基础巩固与能力提升为梯度，覆盖函数、概率、导数等主干知识，通过AI用户数据、冷鲜运输等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配一轮复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、函数性质|基础概念辨析，如集合运算、向量数量积| |多选题|3/18|统计回归、三角函数、导数应用|选项分层设计，如三角函数图象变换与零点判断| |填空题|3/15|二项式定理、三角恒等变换、函数性质|多知识点综合，如周期函数与对称性结合| |解答题|5/77|解三角形、概率分布、函数优化、数列概率、导数综合|真实情境应用，如生物细胞分裂概率模型、运输费用优化；注重逻辑推理，如导数极值点证明|

2027届高三年级一轮复习检测卷（一） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若 ，，，则 ，， 之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（    ） A．变量，正相关 B． C．可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D．当时，实际用户数量高于预测值 10．已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 11．已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 13．已知，若，，则_____． 14．已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．(本小题15分) 某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. (1)求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； (2)记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 17．(本小题15分) 年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 18．(本小题17分) 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学有A，B，C三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天就餐时选择A，B，C三个餐厅的概率分别为，，，若他在A餐厅就餐，则下一天在A，B餐厅就餐的概率均为；若他在B餐厅就餐，则下一天在A，C餐厅就餐的概率分别为，；若他在C餐厅就餐，则他下一天到A，B餐厅就餐的概率均为． (1)求小丁同学第2天在B餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第n（）天在B餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前n（）天到B餐厅就餐的天数为，求数学期望．（设为第天是否在B餐厅就餐，表示在，表示不在，则） 19．(本小题17分) 已知函数，其中． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，，求证：． 试卷第4页，共4页 高三一轮复习数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2027届高三年级一轮复习检测卷（一） 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D D A B C AC BC ABD 1．C 【解析】由复数，可得，所以 2．D 【解析】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 3．A 【解析】因为， ， 所以. 4．D 【解析】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或，即． 5．D 【解析】，，， ，即，所以. 6．A 【解析】已知A、B必须在同一组，视为一个整体，已知每组至少2人，则其余4人中可选0，1，2人加入A、B组，对应组合数为，已知两组所在地点不同，共有2种选择，故总的分配方案为：种． 7．B 【解析】当，则，所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 8．C 【解析】由两边同乘得. 设，，由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 9．AC 【解析】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 10．BC 【解析】代入点得，代入得，又因为，所以，函数解析式为. 选项A，，，因此不单调递减. 选项B，，，为对称轴. 选项C，向左平移得成立. 选项D，，，因为函数在上只有1个零点，因此只有1个零点. 11．ABD 【解析】因为，所以， 当时，；当时，． 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以，故AB正确． 方程即,令, 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， ,，所以方程有两个实根．故C错误． 设，则． 令，则，且， 所以当时，，从而，故在上单调递增，D正确． 12．240 【解析】因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或,又因为所有项的系数和为1，令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为， 令，解得，故展开式中的系数为. 13． 【解析】，， ，， ，， 又，． 14． 【解析】函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线对称 故是定义在上的偶函数， 已知对任意，， 令,可得，解得， 故，即是一个周期为8的周期函数； ，，． 15．【解析】（1）由已知， 交叉相乘得，， 所以， 整理得， 又，， 所以或（舍去）或（舍去）， 所以，解得； （2）由已知，得①， 由余弦定理，得 ②， 由①②可得， 所以的周长. 16．【解析】（1）设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为，有以下两种情况： 第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞；第1分钟末系统中有两个可分裂细胞.根据题意有. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 . 17．【解析】（1）已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时，所以司机工资为元， 装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； （2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 18．【解析】（1）设“第i天去A餐厅用餐”，“第i天去B餐厅用餐”， “第i天去C餐厅用餐”， 则，，两两互斥，，2，…，n， 由题意可得，，，， ，，， ，，， 所以 ； （2）记第（）天他去A，B，C餐厅用餐的概率分别为，，， 则，，， 由全概率公式可得 故①， 同理可得②， ③，④， 由①②可得⑤ 由④-⑤可得，即， 且， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以； （3）设为第天是否在B餐厅就餐，表示在，表示不在； 则，且；由（2）知； 故，， ， 即. 19．【解析】（1）当时，，定义域为， 所以，所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. (3)在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即， 联立解得，所以． 且， 所以． 答案第12页，共12页 高三一轮复习数学试卷答案 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $