精品解析：2026年四川省泸州市中考数学试题

**基本信息** 泸州市2026中考数学卷立足基础，融合时代情境与创新应用，如以2026高考人数考科学记数法，设计“倒数点”新定义题，梯度覆盖数与式、图形与几何等核心知识，适配中考选拔要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|整数概念、科学记数法、立体图形视图等|结合社会热点（如高考人数），考查空间观念与抽象能力| |填空题|5/20|因式分解、函数自变量范围、中点四边形等|第15题以矩形中点四边形考几何直观，第16题用卡片概率考数据意识| |解答题|8/102|统计分析、购物促销应用、函数与几何综合等|21题购物促销体现模型意识，25题二次函数综合三问梯度提升，考查推理能力与创新意识|

泸州市二〇二六年初中学业水平考试 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选择其他答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，是整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整数包括正整数、零、负整数．根据整数的定义对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中是正整数，符合整数的定义， 选项B中是分数，不属于整数， 选项C中是开方开不尽的无理数，不属于整数， 选项D中是有限小数，属于分数，不属于整数． 2. 据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值 【详解】解：根据科学记数法要求，先确定的值，需满足，可得. 的整数位数为， ， 3. 下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形，分别得出各选项中几何体的左视图，即可得出答案． 【详解】解：A．左视图是正方形，故该选项不符合题意， B．左视图是三角形，故该选项符合题意， C．左视图是矩形，中间带一条竖的实线，故该选项不符合题意， D．左视图是梯形，故该选项不符合题意， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项A错误； B．，故选项B错误； C． ，故选项C错误； D． ，故选项D正确． 5. 如图，直线，直线分别交，于点，，，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形两锐角互余求出，利用邻补角求出，最后根据角平分线定义求解． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． ， ． 平分， ． 6. 的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】平行四边形的对角线性质为互相平分，根据平行四边形的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项 只有矩形的对角线才满足，普通平行四边形不成立，A错误． B选项 只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足，B错误． C选项 对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C错误． D选项 根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得，，D成立． 7. 不等式组的所有整数解的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集内的所有整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，即， ∴不等式组的解集为， ∴该范围内的整数解为和， ∴所有整数解的和为． 8. 若方程的解是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式方程得到x的值，再将x代入一元一次方程求解a，解分式方程后需要检验． 【详解】解：解分式方程， ∵方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项解得， 检验：把代入，得， ∴是原分式方程的解， ∵是方程的解， 将代入方程得， 解得． 9. 如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 11. 如图，在中，，点在上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出  与  的关系，进而证得 ，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ，， ，， ， ， 设，，则，， ， 即， 等式两边同时除以 ， 得： ， 解得 （负值舍去），  与  在  边上的高相等， ， ． 故选 B． 12. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 14. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 15. 已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理得到所得四边形各边与原矩形对角线的数量关系，再结合矩形对角线相等计算所得四边形的周长． 【详解】解：设原矩形为，矩形对角线相等，故，，，，分别为，，，的中点， 根据三角形中位线定理，可得： ， ， ， ， 因此所得四边形的周长为． 16. 张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字，，，．从中随机抽取张，抽取的两张卡片上的数字之和是的整数倍的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，.由树状图可知，随机抽取张卡片，两张卡片上数字之和共有种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上的数字之和是的整数倍的结果有种，根据概率公式可知两张卡片上的数字之和是的整数倍的概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，随机抽取张卡片，两张卡片上数字之和共有种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上的数字之和是的整数倍的结果有种，分别为、、、，对应和为、、、，根据概率公式，两张卡片上的数字之和是的整数倍的概率为． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点，，分别是边，，的中点，与交于点，与，分别交于点，．则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质证明，得出，等积法求出的长，勾股定理求出的长，证明，推出，连接，易得四边形为平行四边形，得到，证明，推出，进而得到，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】解四边形是正方形，边长为， ，，，， 、、分别是、、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 连接， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在中，， . 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质分别化简每一项，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，再约分计算即可． 【详解】解： ． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题： 运动员 平均数 中位数 众数 甲 m n 8 乙 7.3 7.5 t （1）_________，_________； （2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出的值； （3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？ 【答案】（1）， （2）乙的设第三次成绩为环，的值为 （3）次 【解析】 【分析】（1）根据平均数与中位数的含义求解即可； （2）根据平均数的含义建立方程求解第三次的成绩，再根据众数的含义求解； （3）根据样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： （环）， ∵第个，第个数据为，， ∴（环）． 【小问2详解】 解：设第三次成绩为， ∴乙的成绩为，，，，，，，，，， ∴， 解得， ∴乙的设第三次成绩为环． ∵出现的次数最多，为次， ∴（环）． 【小问3详解】 解：∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有次， （次）， ∴甲运动员射击80次的优秀次数为次． 21. 某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． （1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ （2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 【答案】（1） 购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元. （2） 当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算. 【解析】 【分析】（1）根据购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元列出方程组，解方程组即可； （2）分别用的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可. 【小问1详解】 解：设购买1份A材料的费用为元，购买1份B材料的费用为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元； 【小问2详解】 解：在甲超市购买的费用为（元），在乙超市购买的费用为（元）， 当甲超市费用高于乙超市费用时，， 解得， ∴当时，选择乙超市购买更合算； 当甲超市费用和乙超市费用一样多时，， 解得， ∴当时，选择两家超市购买费用相同； 当甲超市费用低于乙超市费用时，， 解得， 又， ∴， ∴当时，选择甲超市购买更合算； 综上，当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． （1）求反比例函数的解析式； （2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求解，过作于点，过作轴于点，证明，可得，求解，可得，求解直线为，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． ∴，，即， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点A向上平移4个单位长度得到点B， ∴， 如图，过作于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，， ∴． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． （1）求该轮船的航行速度； （2）求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】（1）该轮船的航行速度为 （2）点，间的距离为. 【解析】 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【小问1详解】 解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； 【小问2详解】 解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 24. 如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵过点作的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，即：， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，切线的性质得到，圆周角定理得到，根据等边对等角，以及等角的余角相等，即可得出结论； （2）设的半径为，在中，根据，求出的值，进而求出的长，延长交于点，根据平行线的性质，垂径定理，推出，，证明，求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再证明，推出，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 25. 已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； （3）当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据可得，则有该二次函数的对称轴范围为，进而根据二次函数的性质分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∵该二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则有， 令，则有，即， ∴， 设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，不妨设， 当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根， ∴根据根与系数的关系可得：， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的右侧， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的左侧， ∵是等腰三角形， ∴， 同理可得：； 综上所述：的面积为； 【小问3详解】 解：当时，则有， ∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴当时，即，此时二次函数在上，y随x的增大而增大， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴， 当时，即， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述：最大值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市二〇二六年初中学业水平考试 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选择其他答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，是整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别交，于点，，，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 不等式组的所有整数解的和为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的解是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，点在上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 分解因式：_________． 14. 函数的自变量的取值范围是____________． 15. 已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为___________． 16. 张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字，，，．从中随机抽取张，抽取的两张卡片上的数字之和是的整数倍的概率是___________． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点，，分别是边，，的中点，与交于点，与，分别交于点，．则的长为__________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算：． 19. 化简：． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题： 运动员 平均数 中位数 众数 甲 m n 8 乙 7.3 7.5 t （1）_________，_________； （2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出的值； （3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？ 21. 某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． （1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ （2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． （1）求反比例函数的解析式； （2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． （1）求该轮船的航行速度； （2）求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 24. 如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； （3）当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $