25.2.1配方法解一元二次方程作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦配方法解一元二次方程，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|配方步骤与变形|直接考查配方过程，如单选题1-4直接变形方程| |提升|几何意义与新运算|结合几何图解（如单选题5）、新运算定义（填空题8）| |综合|最值与实际应用|通过矩形面积（解答题14）、海伦公式（填空题11）考查模型应用|

25.2.1配方法解一元二次方程 一、单选题 1．关于x的一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可化为（      ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 5．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题 6．方程的解是______． 7．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 8．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 9．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，  ．若，则的值为________． 10．已知点在一次函数图象上，则的最小值为______． 11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________． 三、解答题 12．解方程：． 13．用配方法解方程：． 14．阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 15．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 1．C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．B 【分析】先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行配方，本题属于基础题型． 3．B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 5．A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，对比即可得出结论． 【详解】解：配方得， 解得，， 线段长度必须为正数， 该方程符合几何意义的解为， 在中，， ，， 由勾股定理得， 在斜边上截取， ． 线段的长表示方程的一个解． 6．， 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 7．3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 8．4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 9． 【分析】根据题意得到，，求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， ． 10． 【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11． 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 12．， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，． 13．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用配方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ，． 14．(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 15．(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $