第三章 一元二次方程 章末复习 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过“结构必知-核心必读-专题分类”的框架将实际问题转化、方程求解、模型应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于专题化复习策略，如“解法专题”通过一题多解（配方法、公式法）培养运算能力，“应用专题”结合增长率、利润问题强化模型意识，中考链接题和分层例题设计让不同学生提升，助力教师精准复习，有效巩固知识。

第三章 一元二次方程 章末复习 结构必知 结构必知 1. 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠ 0). 2. 一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法 . 核心必读 3. 一元二次方程根的判别式 Δ=b2 - 4ac，一元二次方程根的情况有三种： (1)方程有两个不相等的实数根 b2 -4ac> 0； (2)方程有两个相等的实数根 b2 -4ac= 0； (3)方程无实数根 b2 -4ac<0. 4. 设 一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a ≠ 0 且 b2 -4ac ≥ 0)的 两 根为 x1，x2，则 x1+x2=- ，x1x2= . 核心必读 专题一 一元二次方程的解法 链接中考 >> 一元二次方程的解法是本章的核心，也是本章的基础.一般的考查方式是选择题，给出一个一元二次方程，选择它正确的解，只关注结果；有时作为解答题考查，方法不限，注重对过程的考查. 知识必学 [一题多解 中考·徐州]解方程：x2+2x-1=0. 例1 解题秘方：根据方程的特点选择合适的方法 . 知识必学 解：方法一 配方，得 x2+2x+1-1-1=0，因此(x+1)2=2． 所以 x+1= 或 x+1=- ，解得 x1= -1，x2=- -1. 方法二 这里 a=1，b=2，c=-1， 所以 Δ=b2 -4ac=22 -4×1×(-1)=8>0. 所以 x ===-1± . 所以 x1=-1+ ，x2=-1- . 知识必学 专题二 一元二次方程的根 链接中考 >> 涉及一元二次方程的根的问题有根的定义、根的判别式和根与系数的关系，单独考查时一般以填空题、选择题的形式出现，综合考查时常以解答题的形式出现. 知识必学 类型1 一元二次方程的根的判别式 [中考·广州] 关于x 的方程x2- 2x+4-m=0 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)化简：÷·. 例2 知识必学 解：(1)因为关于x 的方程x2 -2x+4-m=0 有两个不相等的实数根，所以Δ=(-2)2 -4×1×(4-m)>0，解得m>3． (2)因为m>3，所以÷·=- ·· =-2. 知识必学 类型2 一元二次方程的根和根与系数的关系 [中考·内江] 已知关于x 的一元二次方程x2-px+1=0(p 为常数)有两个不相等的实数根x1 和x2． (1)填空：x1+x2=______，x1x2= ______； (2)求+，； (3)已知x12+x22=2p+1，求p 的值. 例3 知识必学 解：(1)p；1 (2)因为x1+x2=p，x1x2=1，所以+==p. 因为x1 是关于x 的一元二次方程x2 -px+1= 0 的实数 根，所以x12-px1+1=0.易知x1 ≠ 0， 所以x1-p+= 0，即x1+=p. 知识必学 (3)因为x1+x2=p，x1x2=1，x12+x22=2p+1， 所以(x1+x2)2 -2x1x2=2p+1，即p2 -2=2p+1. 整理，得p2 -2p-3= 0，解得p=-1 或p=3. 当p=-1 时，一元二次方程为x2+x+1=0， Δ=12 -4×1×1=-3<0，不合题意，舍去； 当p=3 时，一元二次方程为x2 -3x+1=0， Δ=(-3)2 -4×1×1=5>0，符合题意.所以p=3. 知识必学 专题三 一元二次方程的应用 链接中考 >> 一元二次方程的应用是本章重点考查的知识点，它是学习一元二次方程解法的真正目的，解决有关一元二次方程的应用题，关键就是建立一元二次方程模型. 有从实际生活中建立的一元二次方程模型，也有从几何图形中建立的一元二次方程模型. 考查的形式以解答题为主. 知识必学 [模拟·永州] 某商场将进货价为30元的玩具以40 元售出，1 月份销售400 个，2 月份和3 月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3 月份的销售量达到576 个. 例4 知识必学 (1)求2月份、3月份这两个月的销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35 元至40 元范围内，这种玩具的售价每降价0.5 元，其销售量增加6 个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4 800元，则这种玩具应降价多少元？ 知识必学 解：(1)设2月份、3月份这两个月的销售量的月平均增长率为x． 根据题意，得40 0(1+x)2=576， 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不符合题意，舍去)． 答：2 月份、3 月份这两个月的销售量的月平均增长率为20% . 知识必学 (2)因为这种玩具的售价每降价0.5 元，其销售量增加6 个，所以每降价1 元，其销售量增加12 个. 设这种玩具每个降价y 元时，商场4 月份 销售这种玩具获利4800 元. 根据题意，得(40-y-30)(576+12y)=4 800， 整理，得y2+38y-80= 0， 解得y1=2，y2=-40(不符合题意，舍去). 答：这种玩具应降价2 元. 知识必学 专题四 整体代入法 专题解读 >>整体代入法就是在解决问题时，不是着眼于局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的. 在本章中主要体现在求与根有关的式子的值的问题上. 知识必学 [一题多解] 已知x1，x2 是方程3x2-2x-4=0 的两个实数根，不解方程求3x12+2x2 的值. 例5 解题秘方：根据根的定义及根与系数的关系整体代入求值. 知识必学 解：方法一 因为x1 是方程3x2-2x-4=0的根， 所以3x12-2x1-4= 0，即3x12=2x1+4 . 根据根与系数的关系可知x1+x2 =， 所以3x12+2x2 =2x1+4+2x2 =2(x1+x2)+4=. 知识必学 方法二 根据根与系数的关系可知x1+x2 = ，x1x2=- . 因为x2 是方程3x2 -2x-4= 0 的根， 所以3x22 -2x2 -4= 0，即2 x2 =3x22 -4 . 所以3x12+2x2 =3x12+3x22 -4=3(x12+x22)-4= 3[(x1+x2)2 -2x1x2]-4=3×()2-2×(- )]-4= . 知识必学 专题五 分类讨论思想 专题解读 >>分类讨论思想是一种常见的数学思想方 法, 分类讨论思想就是把包含多种可能情况的问题, 按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决, 从而达到解决整个问题的目的. 方法必会 [新考法 数形结合法]已知△ ABC 的两边AB，AC 的长是关于x 的一元二次方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0 的两个根，第三边BC 的长是10. (1)求证：无论n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n 为何值时，△ ABC为等腰三角形？并求△ ABC的周长． (3)当n 为何值时，△ ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 例6 方法必会 (1)证明：因为Δ= [-2(n-1)]2 -4(n2 -2n)=4> 0， 所以无论n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根. 方法必会 (2)解：由(1)得，无论n 取何值，此方程 总有两个不相等的实数根， 因为第三边BC 的长是10， 所以当△ ABC 为等腰三角形时，x =10 为一元二次方程的一个根， 所以当x=10 时，100-20(n-1)+n2-2n=0， 解得n=12 或n=10. 方法必会 ①当n=12 时，原方程为x2 -22x+120=0， 设等腰三角形的底边长为m， 根据根与系数的关系，得m+10=22，解得m=12， 所以△ ABC 的周长为10 +10+12=32； 方法必会 ②当n=10 时，原方程为x2 -18x+80= 0， 设等腰三角形的底边长为t， 根据根与系数的关系，得10 +t =18，解得t = 8， 所以△ ABC 的周长为10 +10+8=28； 综上，当n=12 时，△ ABC 是等腰三角形， 此时△ ABC 的周长为32；当n=10 时，△ ABC 是等腰三角 形，此时△ ABC 的周长为2 8 . 方法必会 (3)解：因为△ ABC 的两边AB，AC 的长是关于x 的一元二次方程x2 -2(n-1)x+n2 -2n= 0 的两个根， 所以AB+AC=2(n-1)，AB•AC=n2 -2n. 因为△ ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且BC=10， 所以AB2+AC2 =BC2，即(AB+AC)2 -2AB·AC=BC2， 即4(n-1)2 -2(n2 -2n)=10 0，解得n=8 或n=- 6， 当n= 8 时，AB+AC=2×(8-1)=14， 符合题意； 当n=- 6 时，AB+AC=2×(- 6-1)=-14，不符合题意，舍去. 综上，当n= 8 时，△ ABC 是以BC 为斜边的直角三角形． 方法必会 类型一 巧解方程 方法1 换元法 1. 解方程：x2+-2(x+)-1=0. 好题必解 解：设x+=y，则x2+=y2-2. 所以原方程为y2-2y-3=0，解得y1=3，y2=-1. 当y=3时，x+=3，所以x1=，x2=； 当y=-1时，x+=-1，易知此方程无实数根. 经检验，x1=，x2=都是原方程的根. 因此，原方程的根为x1=，x2=. 好题必解 方法2 特殊值法 2. 解方程：(x-2 026)(x-2 027)=2 028×2 029. 解：由题可得的解一定是原方程的解，解得x=4 055.的解也一定是原方程的解，解得x=-2.因为原方程是一元二次方程，所以最多有两个实数根，所以原方程的根为 x1=4055，x2=-2. 好题必解 类型二 巧用一元二次方程的根求式子的值 3. 已知三个关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0 恰有一个公共实数根，则++的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 好题必解 类型三 巧用根与系数的关系求式子的值 4. [黄冈中学自主招生] 已知x1，x2，x3，(x1<x2<x3) 为关于x 的方程x3-3x2+(m+2)x -m =0 的三个实数根，则x32-x12-x22+4x1=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A 好题必解 5. [华师一附中自主招生] 已知关于x 的方程m2x2+(2m+3)x +1=0 的两个实数根α，β 互为倒数， 关于x 的方程x2+2(a+m)x+2a-m2+6m-4=0 有大于0 且小于2 的根. (1) 求α2-β2的值； 好题必解 解：由α，β互为倒数，得αβ=1.因为α，β是关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0的两个实数根，所以αβ=，所以= 1，所以m=±1.因为方程有实数根，所以(2m+3)2-4m2>0，解得m>-，所以m=1.所以方程为x2+5x+1=0，所以α+β= -5，因为αβ=1，所以α<0，β<0，所以α-β的正负不能确 定，所以α2-β2=(α+β)(α-β)=(α+β)×［±］=(α+β)×［±］=±5. 好题必解 (2)求a 的取值范围. 解：由(1)知m=1，所以第2个方程化为x2+2(a+1)x+2a+1=0，解得x1=-1，x2=-(2a+1)， 所以 解得-<a<-. 好题必解 类型四 巧用一元二次方程解几何问题 6. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12 m. 计划建造车棚的面积为80 m2，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26 m. 好题必解 (1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2 m宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ 解：设与墙垂直的一面长为x m，则与墙平行的一面长为(26-2x+2)m.根据题意，得x(26-2x+2)=80. 整理，得x2-14x+40=0，解得x=4或x=10. 当x=4时，26-2x+2=20＞12，不符合题意，舍去； 当x=10时，26-2x+2=8＜12，符合题意. 答：这个车棚的长为10 m，宽为8 m. 好题必解 (2)如图，在(1)的条件下为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54 m2，那么小路的宽度是多少米？ 好题必解 解：设小路的宽度是a m. 根据题意，得(8-2a)(10-a)=54. 整理，得a2-14a+13=0， 解得a1=13(不合题意，舍去)，a2=1. 答：小路的宽度是1 m. 好题必解 7. [新视角 动点探究题]如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm，BC=6 cm，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2 cm/s 的速度移动．点P，Q 分别从点A，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点都停止运动. 设运动时间为t s(t>0). 好题必解 (1)当t 为何值时，PQ的长度等于5 cm ？ 解：由题意知AP=t cm，BQ=2t cm，则PB=(5-t)cm. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 在Rt△PBQ中，由勾股定理得BQ2+PB2=PQ2， 即(2t)2+(5-t)2=52，解得t1=0(舍去)，t2=2. 故当t=2时，PQ的长度等于5 cm. 好题必解 (2)是否存在t 的值，使得△ PBQ的面积等于4 cm2 ？若存 在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在．由题意知·2t·(5-t)=4， 解得t1=1，t2=4(舍去).故存在t的值，使得△PBQ的面积等于4 cm2，此时t的值为1. 好题必解 类型五 巧用一元二次方程解实际问题 8. [情境题 保护环境]每年10 月23 日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估 计，约60% 的雪豹栖息在中国境内. 随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事在网上广泛流传，雪豹玩偶深受欢迎. 某商家7 月10 日销售玩偶共200个，11 日，12 日销售量持续增长，12 日销售量达到338 个. 好题必解 (1)求7 月11 日，12 日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率. 解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为x.根据题意，得200×(1+x)2=338， 解得x1=0.3=30%，x2=-2.3(不合题意，舍去). 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为30%. 好题必解 (2)为刺激消费，商家决定开展优惠活动. 已知玩偶每个成本30 元，售价为每个50 元时，日销售量可达320个；每降价1 元，日销售量可增加5 个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5 940 元？ 好题必解 解：设每个玩偶降价y元时，当日总利润可达到5 940元. 根据题意，得(50-30-y)(320+5y)=5 940， 化简得y2+44y-92=0， 解得y1=2，y2=-46(不合题意，舍去). 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5 940元. 好题必解 $