第6讲 三角函数（一）课件-湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数专题，覆盖角度制与弧度制、三角函数化简与求值、正余弦正切函数性质等核心考点，依据考情动态明确“掌握”级要求。通过知识梳理构建定义公式体系，分析考点权重，归纳角的概念推广、扇形计算等常考题型，对接高考评价体系，备考针对性强。 课件以“考情分析-知识梳理-考点探究-达标训练”为复习链，亮点在于考点探究结合变式训练，如三角函数化简求值运用平方关系推理，培养学生数学思维。达标训练分层设计选择填空解答题，帮助学生掌握解题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第6讲 三角函数（一） 必修第一册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 任意角的三角函数 √ 角度制与弧度制 √ 三角函数的化简与求值 √ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 √ 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 √ 知识梳理 知识梳理 1.任意角的三角函数 纵坐标y sin α 横坐标x cos α tan α(x≠0) 2π 360° π 180° αR 平方和 1 1 tan α 正切 (0，0) (π，0) (2π，0) 图象 2π 奇函数 偶函数 考点探究 探究点一：角的概念的推广 C 【变式题】 C 探究点二：扇形的弧长、面积 【变式题】 B 探究点三：三角函数的概念 C 【变式题】 C B 探究点四：三角函数的化简与求值 A 3 4 【变式题】 D C A 探究点五：三角函数的图象与性质 C D 【变式题】 A C 巩固练习 一、选择题 B B D B A D C A D A C D 2 二、填空题 4 二 三、解答题 本课结束！ 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的①____________叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝②____________ 余弦 点P的③_____________叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝④____________ 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝⑤____________ 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R;余弦函数y＝cos x，x∈R;正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 2.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝⑥ rad 2π rad＝⑦ 180°＝⑧ rad π rad＝⑨ 1°＝eq \f(π,180) rad≈0.01745 rad 1 rad＝(eq \f(180,π))°≈57.30° 度数×eq \f(π,180)＝弧度数 弧度数×(eq \f(180,π))°＝度数 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝⑩ . (2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2. 3.同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝⑪ 同一个角α的正弦、余弦的⑫ 等于⑬ 商数关系 eq \f(sin α,cos α)＝⑭ (α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的⑮ 4.诱导公式 公式一：sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α， tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z. 公式二：sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α. 公式三：sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α. 公式四：sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α. 公式五：sin ( eq \f(π,2)－α)＝cos α，cos ( eq \f(π,2)－α)＝sin α. 公式六：sin ( eq \f(π,2)＋α)＝cos α，cos ( eq \f(π,2)＋α)＝－sin α. 5.正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ⑯_______，(eq \f(π,2)，1)，⑰_______，(eq \f(3π,2)，－1)，⑱____________ (0，1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1) 正(余)弦曲线 正(余)弦函数的⑲________叫做正(余)弦曲线 6.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π ⑳ 奇偶性 eq \o(○,\s\up1(21)) eq \o(○,\s\up1(22)) 函数 y＝sin x y＝cos x 单调性 在[2kπ－ eq \f(π,2)，2kπ＋ eq \f(π,2)](k∈Z)上是增函数，在[2kπ＋ eq \f(π,2)，2kπ＋ eq \f(3π,2)](k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 对称性 对称中心(kπ，0)(k∈Z)， 对称轴x＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z) 对称中心(kπ＋ eq \f(π,2)，0)(k∈Z)， 对称轴x＝kπ(k∈Z) 7.正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 {x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z} 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上都单调递增 对称性 对称中心(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z) 【例1】 (2024·湖南省学考模拟)200°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】 因为180°<200°<270°，故200°为第三象限角．故选C. 若角α的终边在直线y＝x上，则角α的取值集合为( ) A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－135°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} 【解析】 由题意知角α的终边在直线y＝x上，故α＝k·360°＋45°，k∈Z或α＝k·360°＋225°，k∈Z，即α＝(2k＋1)·180°－135°，k∈Z或α＝(2k＋2)·180°－135°，k∈Z， 故角α的取值集合为{α|α＝k·180°－135°，k∈Z}．故选C. 【例2】 已知某扇形的半径为π，圆心角为2，则该扇形的弧长为 ，该扇形的面积为 . 【解析】 扇形的半径r＝π，圆心角为α＝2， 则该扇形的弧长l＝αr＝2π， 该扇形的面积S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)×2π2＝π2. 【答案】 2π　π2 若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则( ) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 【解析】 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l， 则由计算公式α＝ eq \f(l,r)及S＝ eq \f(1,2)lr可知， 此时扇形的圆心角不变，面积增大到原来的4倍， 故选B. 【答案】 B 【例3】 (2023·湖南省学考)设角α的终边与单位圆的交点坐标为( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))，则sin α＝( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．1 【解析】 因为x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(\r(3),2)，r＝1，由任意角的三角函数的定义知，sin α＝ eq \f(y,r)＝ eq \f(\r(3),2)，故选C. 【答案】 C (1)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则cos α＝( ) A． eq \f(\r(5),5) B．－ eq \f(\r(5),5) C． eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(2\r(5),5) 【答案】 C 【解析】 因为角α的终边经过点P(2，－1)，则r＝ eq \r(22＋(－1)2)＝ eq \r(5)，所以cos α＝ eq \f(2,r)＝ eq \f(2,\r(5))＝ eq \f(2\r(5),5).故选C. (2)(2024·福建省学考)若sin θ>0，tan θ<0，则θ是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】 B 【解析】 由正弦大于0，得到θ为第一、第二象限角或终边在y轴正半轴上，由正切小于0，得到θ为第二、第四象限角，故θ为第二象限角． 【例4】 (1)(2023·吉林省学考)sin 150°＝( ) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 【解析】 sin 150°＝sin (180°－30°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2).故选A. 【答案】 A (2)(2024·湖南省学考)若sin α＝3cos α，则tan α的值为 . 【解析】 因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3. 【答案】 3 (3)已知tan α＝2，则 eq \f(sin α＋2cos α,sin α－cos α)＝ . 【解析】 eq \f(sin α＋2cos α,sin α－cos α)＝ eq \f(tan α＋2,tan α－1)＝ eq \f(2＋2,2－1)＝4. 【答案】 4 (1)cos eq \f(5π,3)＝( ) A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2) 【解析】 由诱导公式可得cos eq \f(5π,3)＝cos (2π－ eq \f(π,3))＝cos eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)，故选D. 【答案】 D (2)(2025·陕西省学考模拟)已知sin α＝－ eq \f(4,5)，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) A．－ eq \f(4,3) B．－ eq \f(3,4) C． eq \f(4,3) D． eq \f(3,4) 【解析】 因为sin α＝－ eq \f(4,5)，且α为第三象限角， 所以cos α＝－ eq \r(1－sin2α)＝－ eq \f(3,5)， 所以tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(4,3).故选C. 【答案】 C (3)(2025·辽宁省学考) 已知sin 2α＝ eq \f(1,3)，则(sin α＋cos α)2的值是( ) A． eq \f(4,3) B． eq \f(5,3) C． eq \f(7,3) D． eq \f(8,3) 【解析】 (sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α＝1＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(4,3).故选A. 【答案】 A 【例5】 (1)已知函数y＝cos x的部分图象如图所示，那么它的一条对称轴方程可以是( ) A．x＝1 B．x＝ eq \f(π,2) C．x＝π D．x＝ eq \f(3π,2) 【解析】 由图易知x＝π为y＝cos x的一条对称轴．故选C. (2)下列函数中，周期为π的是( ) A．f(x)＝sin |x| B．f(x)＝2cos x C．f(x)＝cos eq \f(x,2) D．f(x)＝|tan x| 【解析】 根据三角函数的性质可得f(x)＝sin|x|为偶函数，不具有周期性； f(x)＝2cos x的周期为2π； f(x)＝cos eq \f(x,2)的周期为 eq \f(2π,\f(1,2))＝4π； f(x)＝|tan x|的周期为π. 故选D. 【答案】 D (1)(2023·湖南省学考)函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是( ) 【解析】 由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在 (－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))上单调递增，图象为A，故选A. 【答案】 A 【解析】 由图可知，函数y＝2sin ωx(ω>0)的周期为π，所以 eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，故选C. 【答案】 C (2)已知函数y＝2sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝( ) A． eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4 1．下列命题为真命题的是( ) A．小于90°的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角 2．(2025·黑龙江省学考) 已知sin α＝ eq \f(1,2)，cos α＝ eq \f(\r(3),2)，则tan α＝( ) A．0 B． eq \f(\r(3),3) C．1 D． eq \r(6) 3．(2024·安徽省学考模拟)与30°角终边相同的角是( ) A．－390° B．120° D． eq \f(π,3) D．－ eq \f(11π,6) 4．(2024·云南省学考)已知sin α＝ eq \f(\r(3),4)，则sin (π＋α)＝( ) A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(\r(3),4) C． eq \f(1,4) D． eq \f(\r(3),4) 5．若角α的终边落在射线y＝2x(x>0)上，则cos α的值为( ) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5) C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 6．(2023·湖南省学考)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos x D．y＝cos 2x 【解析】 y＝sin x，y＝sin 2x为奇函数，排除A，B；y＝cos x，y＝cos 2x为偶函数，而y＝cos x的最小正周期为2π，y＝cos 2x的最小正周期为π，排除C，故选D. 7．已知扇形的半径为3，面积为 eq \f(3π,2)，则该扇形的圆心角的大小为( ) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(3π,4) 【解析】 扇形的半径为3，面积为 eq \f(3π,2)，由扇形的面积公式S＝ eq \f(1,2)αr2得α＝2S÷r2＝ eq \f(π,3).故选C. 8．(2025·湖南省学考)“A＝ eq \f(π,3)”是“sin A＝ eq \f(\r(3),2)”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．cos eq \f(19π,6)＝( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) 【解析】 cos eq \f(19π,6)＝cos (2π＋ eq \f(7π,6))＝cos eq \f(7π,6)＝cos (π＋ eq \f(π,6))＝－cos eq \f(π,6)＝－ eq \f(\r(3),2)，故选D. 10．在[0，2π]上满足cos x≤ eq \f(1,2)的x的取值范围是( ) A．[0， eq \f(π,3)] B．[ eq \f(π,3)， eq \f(5π,3)] C．[ eq \f(π,6)， eq \f(11π,6)] D．[ eq \f(5π,3)，2π] 11．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0， eq \f(π,2))上为增函数的是( ) A．y＝sin x B．y＝cos 2x C．y＝tan x D．y＝sin eq \f(x,2) 【解析】 对于A，y＝sin x的周期为2π，故A不符合题意； 对于B，在区间(0， eq \f(π,2))上，2x∈(0，π)，y＝cos 2x单调递减，故B不符合题意； 对于C，在区间(0， eq \f(π,2))上，y＝tan x单调递增，且其最小正周期为π，故C符合题意； 对于D，y＝sin eq \f(x,2)的周期为 eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故D不符合题意．故选C. 12．下列不等式成立的是( ) A．sin 60°<sin 50°<sin 40° B．tan 60°<tan 50°<tan 40° C．cos 60°>cos 50°>cos 40° D．cos 80°<sin 80°<tan 80° 【解析】 对于A，因为y＝sin x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，且60°>50°>40°， 所以有sin 60°>sin 50°>sin 40°，故A错误； 对于B，因为y＝tan x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，且60°>50°>40°， 所以有tan 60°>tan 50°>tan 40°，故B错误； 对于C，因为y＝cos x在(0， eq \f(π,2))上单调递减，且60°>50°>40°， 所以有cos 60°<cos 50°<cos 40°，故C错误； 对于D，因为y＝sin x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，且80°>10°， 所以1＝sin 90°>sin 80°>sin 10°＝cos 80°， 由y＝tan x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，且80°>45°， 所以tan 80°>tan 45°＝1， 所以cos 80°<sin 80°<tan 80°，故D正确． 故选D. 13．(2025·湖南省学考)函数y＝2cos x的最大值为 . 14．已知函数f(x)＝cos ωx，x∈R(其中ω>0)的最小正周期为 eq \f(π,2)，则ω＝ . 15．已知θ是第四象限角，则点P(sin θ，cos θ)在第 象限． 【解析】 由于θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，所以P(sin θ，cos θ)在第二象限． 16．已知 eq \f(3sin α＋cos α,2cos α－sin α)＝2，则tan α＝ . 【解析】 依题意有2＝ eq \f(3sin α＋cos α,2cos α－sin α)＝ eq \f(3tan α＋1,2－tan α)，解得tan α＝ eq \f(3,5). eq \f(3,5) 17．在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，2). (1)求sin α和tan α的值； (2)若f(α)＝ eq \f(sin (\f(π,2)＋α)tan (π＋α)＋2cos (π－α),sin α＋cos (－α))，化简并求值． 【解析】 (1)因为OP＝ eq \r(5)， 由三角函数的定义得sin α＝ eq \f(2\r(5),5)，tan α＝－2. (2)因为f(α)＝ eq \f(sin (\f(π,2)＋α)tan (π＋α)＋2cos (π－α),sin α＋cos (－α)) ＝ eq \f(cos α·\f(sin α,cos α)－2cos α,sin α＋cos α)＝ eq \f(sin α－2cos α,sin α＋cos α)， 所以f(α)＝ eq \f(tan α－2,tan α＋1)＝ eq \f(－2－2,－2＋1)＝4. 18．已知－ eq \f(π,2)<x<0，sin x＋cos x＝ eq \f(1,5). (1)求sin x cos x的值； (2)求sin x－cos x的值； (3)求 eq \f(1,cos2x－sin2x)的值． 【解析】 (1)将sinx＋cos x＝ eq \f(1,5)，两边平方得(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝ eq \f(1,25)，故可得sin x cos x＝－ eq \f(12,25). (2)因为－ eq \f(π,2)<x<0，可得sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0， 又因为(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝1－(－ eq \f(24,25))＝ eq \f(49,25)， 所以sin x－cos x＝－ eq \f(7,5). (3) eq \f(1,cos2x－sin2x)＝ eq \f(1,(cosx－sin x)(cos x＋sin x))＝ eq \f(1,\f(7,5)×\f(1,5))＝ eq \f(25,7). 19．解不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,2cos x－1>0.)) 【解析】 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,2cos x－1>0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,cos x>\f(1,2)．)) 在直角坐标系中作单位圆，如图所示， 由三角函数的性质可得： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,2kπ－\f(π,3)<x<2kπ＋\f(π,3)，k∈Z，)) 解集恰好为图中阴影重叠的部分， 故原不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋ eq \f(π,3)，k∈Z}． $