第09讲 角的平分线（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第09讲 角的平分线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型1 角平分线的性质直接应用】 【例1】如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-1】如图，，平分交于，于，的延长线交的延长线于．求证：． 【变式1-2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【变式1-3】如图，在中，为的平分线，于，于，面积是，，，求的长． 【题型2 作一边的垂线】 【例2】如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【变式2-1】如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 【变式2-2】如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【变式2-3】如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【题型3 作两边的垂线】 【例3】如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【变式3-3】已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【题型4 尺规作角平分线】 【例4】尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 【变式4-1】如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【变式4-2】如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 【变式4-3】如图，在中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作．（保留作图痕迹，不要求写作图过程） 【题型5 证角平分线】 【例5】如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 【变式5-1】如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【变式5-2】如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【变式5-3】如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【题型6 角平分线的判定与性质综合】 【例6】如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【变式6-1】如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接． (1)若，求的度数； (2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）． 【变式6-2】如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式6-3】如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 1．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 2．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 5．如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 7．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 8．如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    9．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 10．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 11．如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 12．如图，四边形中，平分，，于点，，，则求线段的长为多少？ 13．如图，点D为外一点，G为的中点，于点E，交的延长线于点F，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 15．教材呈现： 我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理． 定理证明： （1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 已知： 求证： 证明： 知识应用： （2）如图（2）在四边形中，，点在边上，平分，平分． ①求证：； ②若四边形的周长为20，面积为26，，则的边上高的长度为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 角的平分线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型1 角平分线的性质直接应用】 【例1】如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图，，平分交于，于，的延长线交的延长线于．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可求得，则可证得，再利用全等三角形的性质可证得结论，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，为的平分线，于，于，面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ， ， ∵的面积是， ， 解得：． 【题型2 作一边的垂线】 【例2】如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 过F作于G，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：过F作于G， ∵平分，，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴为的边上在中线， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式2-2】如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P作于Q，根据角平分线的性质可得出，根据证明，得出，同理得出，则，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵平行，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式2-3】如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）过点作，根据角平分线的性质可得，先根据证，再根据证明，即可证明； （2）由（1）可知，则，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：10． 【题型3 作两边的垂线】 【例3】如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式3-1】如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键． 如图，过点作于，于，，，，由中点得到，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于， 平分，，， ， ， ， ， ， 是的中线，， ， ∴， 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 【变式3-3】已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 【题型4 尺规作角平分线】 【例4】尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据直线的定义求解即可； （2）尺规作出的平分线与交于点P即为所求． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； 【变式4-1】如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 【变式4-2】如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识． （1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论； （3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2） 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作．（保留作图痕迹，不要求写作图过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角，先作的角平分线，得出，再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程，得，故，即可作答． 【详解】解：如图，即为所求． 【题型5 证角平分线】 【例5】如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 过M作于E，根据角平分线性质求出，再根据角平分线的判定即可． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式5-1】如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 【变式5-2】如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式5-3】如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为G，证明，得到，进而得出，即可得到结论； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 令与的交点为G，如图， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【题型6 角平分线的判定与性质综合】 【例6】如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 【变式6-1】如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接． (1)若，求的度数； (2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）过点作，，垂足分别为，．根据角平分线的性质得出，进而可得平分，即可求解； (2)证明得出．同理可得．，．根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）过点作，，垂足分别为，． 平分，平分，， ，． ． 平分． ， （2）平分， ． ，， ． ， ． ． 同理可得．，． ，． 【变式6-2】如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； 过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； 根据三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ，， ， 由可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， 1．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 3．如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法． 如图，过作于，利用角平分线的性质可以证明，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， 平分，于点． ， 又，， 的面积为： 故选：D． 4．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 5．如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作于，先利用角平分线的性质得到，由三角形中线可知，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， 是线段的中点， ∴ ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：C． 6．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 8．如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 9．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 10．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 11．如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等． （1）根据题意以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，即为的平分线； （2）根据题意利用角平分线定义可得，后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，如下图即为的平分线： ； （2）解：根据题意画图如下： ，， ， ． ， ． ， ． ， ． 12．如图，四边形中，平分，，于点，，，则求线段的长为多少？ 【答案】． 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F， ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，点D为外一点，G为的中点，于点E，交的延长线于点F，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明，是解题的关键． （1）连接，证明，在直角三角形中利用可证，得到，利用角平分线的判定定理，得到点D在的平分线上，即平分； （2）证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中点，， ∴，， 又∵，， ∴， 在与中：，， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）解：在和中， ，． ∴． ∴， ∵，，， ∴． 即， 解得． 14．如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定． 因为，是的角平分线，过点作，，的垂线段，分别交于点、、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； 首先过点作的垂线段，交的延长线于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证、，等量代换可证． 【详解】（1）证明：如图所示， 过点作，，的垂线段，分别交于点、、， ，是的角平分线， ，， ， 点在的角平分线上； （2）证明：如图所示， 过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 即． 15．教材呈现： 我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理． 定理证明： （1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 已知： 求证： 证明： 知识应用： （2）如图（2）在四边形中，，点在边上，平分，平分． ①求证：； ②若四边形的周长为20，面积为26，，则的边上高的长度为 ． 【答案】（1）射线是的角平分线，于，于；；见解析；（2）①见解析；②3.25 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出； （2）证明，得出，同理，由①得出，得出，设，，，由四边形的周长得出，由四边形的面积得出，求出即可． 【详解】（1）已知：是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别是点D和E； 求证：； 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：过E作于F，于G，于H， ∵平分，平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②解：由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 由①得：， ∴， 设，，， ∵四边形的周长为20，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为30， ∴， 整理得：，即， ∴， 即的边的高的长为3.25． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$