2025-2026学年人教版八年级数学下学期期末压轴题训练

**基本信息** 聚焦八年级下册数学期末压轴题，以动点问题为核心，通过分类题型构建"坐标表达-几何转化-动态分析"的解题体系，强化数形结合与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点三角形|5题|坐标参数法、k型全等模型、分类讨论等腰直角存在性|一次函数与三角形性质结合，从静态计算到动态存在性判定| |动点四边形|5题|平行四边形顶点坐标关系、旋转全等|四边形性质与动点轨迹分析，渗透变换思想| |角度/面积/最值|15题|面积割补法、对称求最值、参数方程|从几何度量到动态优化，构建"几何直观-代数表达"转化链条| |线段关系|10题|构造全等三角形、建系法|通过代数推理验证几何关系，体现数学表达素养|

2025-2026学年八年级数学（下）期末压轴题训练 目录 题型一 动点三角形问题 2 题型二 动点四边形问题 5 题型三 动点角度问题 7 题型四 动点面积问题 9 题型五 线段最小值问题 12 题型六 三角形周长最值问题 14 题型七 线段数量关系问题 16 参考答案与试题解析................................................................................................19 题型一 动点三角形问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，6）两点． （1）求直线AB的函数解析式； （2）P是直线AB上一动点，且△BOP的面积是△AOP的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：y＝3上是否存在点Q，使得△ABQ是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（2，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△BCP的面积为6，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，2），点E（﹣2，a）在直线AB的上方． （1）若S△ABE＝4，求a的值； （2）是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，﹣2），直线l2：y＝﹣4x+m经过点C（1，0），且交y轴于点D，直线l2与直线l1交于点E． （1）求直线l1的解析式； （2）求△BDE的面积； （3）过点A，D作直线AD，并将直线AD向上平移3个单位后交l1于点F，连接OF，若点P是y轴上一动点，连结PF，当△POF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明）． 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； ②点E的坐标　 　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出其面积值；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，Q是直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），动点P的坐标为（n，﹣4），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　 　 .（直接写出答案即可） 题型二 动点四边形问题 6．如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标； （3）在（2）的条件下，当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（﹣2，0），点P是线段AB上的一个动点（点P与点A、点B不重合）． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在线段BC上存在一点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标． 9．如图1，直线分别交x轴，y轴于点B和点A，直线l2：y＝kx+b分别交x轴，y轴于点D和点C，l1和l2交于点E（﹣2，a），已知． （1）求直线l2的解析式； （2）如图2，连接AD，将△DAB绕点D顺时针旋转90°得到△DA′B'，边A'B'所在直线交y轴于点H，求出点H的坐标； （3）在（2）的条件下，将直线l2平移经过点B，得直线l3，将△AOB沿直线l3平移得到△A1O1B1，其中边A1B1所在直线与x轴交于点F，点G是直线l2上的一个动点，当以H、B1、F、G为顶点的四边形是以FG为边的平行四边形时，求出此时点O1的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，l2：y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线l1，l2相交于点E，OA＝OC，OB＝OD． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接OE，求线段AE，OE，CE三者之间的数量关系； （3）设线段AB的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 题型三 动点角度问题 11．如图，在平面直角坐标系中，点B（1，0），过点B的直线与y轴交于A点，直线y＝x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，且两条直线相交于点E，直线m过点B且平行于y轴，点P是直线m上的一个动点． （1）求点E的坐标； （2）若S△PAE＝4，求点P的坐标； （3）连接DP，当∠DBE+2∠PDB＝180°时，求点P的坐标． 12．如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由． （3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）分别与x轴和y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝﹣x+2与x轴和y轴分别交于C，D两点，与l1交于点G，其中A（﹣9，0）且． （1）求直线l1的解析式； （2）点P为直线l2上一个动点，连接PA，PB，当S△PAB＝9时，求点P的坐标； （3）已知点K为直线上的一个动点，若∠ABO﹣∠KGC＝45°，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 14．如图1，已知一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线AB对应的函数表达式． （2）M是x轴上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②如图2，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与直线交于点． （1）求m的值及一次函数解析式； （2）在直线l2上有一动点D，S△BCD＝3S△BCO，求点D的坐标； （3）点P是直线l2上有一动点，当∠PBA＝∠BAO时，请求出点P的坐标． 题型四 动点面积问题 16．如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C． （1）直线BC的表达式为　 　 ，并直接写出点A的坐标　 　 ，点C的坐标　 　 ； （2）若点F为直线BC上的动点，当∠FAB＝∠ABO时，请求出点F的坐标； （3）如图2，已知点D（1，0），点F在直线BC上运动，连接DF，直线DF与直线AB交于点E，当△CDF与△BEF面积相等时，求出点E的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线y＝kx+5交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，OC＝OD，两直线相交于点E． （1）求k的值与线段AB的长； （2）若F为线段AE上的动点，G为线段DE上的动点，当△ODG≌△GFO时，求点G的坐标； （3）若F为直线AB上一动点，连接FC、FD，当S△CDF＝10时，试求点F的坐标． 18．如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线yx相交于点A． （1）求A点坐标； （2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标； （3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，与正比例函数相交于点C．点D在线段OC上（不与点O，C重合），▱DEBF的顶点E，F分别在线段BC，OB上．设点D的横坐标为m． （1）求BF的长（用含m的代数式表示）； （2）求▱DEBF面积的最大值． 20．如图（1），在平面直角坐标系中，直线yx+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA． （1）求B点坐标为　 　 ；线段OA的长为　 　 ； （2）确定直线CD解析式，求出点D坐标； （3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN． ①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明； ②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积． 题型五 线段最小值问题 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E． （1）求证：四边形DMEC是矩形． （2）求线段DE的最小值． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O（0，0），A（2，2），B（4，2），C（4，0），点P是x轴上一动点，连接OB，AP． （1）求直线OB的解析式； （2）若∠PAO＝∠AOB，求点P的坐标； （3）当点P在线段OC（点P不与点C重合）上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值． 23．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问： ①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式； ②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段OB上一个动点，连接AP． （1）如图1，若点P为线段OB中点，求△PAB的面积． （2）如图2，经过点P的直线l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交x轴于点C，交直线y＝﹣2x+4于点D．当P为线段CD的中点时，求k的值． （3）如图3，以AP为边在AP的下方作等边三角形APQ，连接OQ．当OQ取最小值时，求点P的坐标． 25．如图，直线l：yx+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点C（0，1），以线段BC为边向右作正方形BCDE，正方形BCDE沿CD的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求A，B两点的坐标； （2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l上，求t的值； （3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得OP+PA有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型六 三角形周长最值问题 26．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10，点P是x轴上的动点． （1）求直线AB的解析式； （2）当S△OAP时，求点P的坐标； （3）若点P为线段OB的中点，点M是线段OA上的动点，点N是线段AB上的动点，当△PMN的周长取得最小值时，求点M和点N的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝10，点，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA匀速运动，动点Q同时从点B出发以同样的速度沿BO匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动． （1）当t＝　 　 时，△OPQ为等腰三角形； （2）如图2，当t＝1秒时，连接AQ，过点A作∠CAB＝∠AQO，且AC＝AQ，连接OC交AB于点D，求的值； （3）如图3，点E是OB的中点，连接PE，△OPE沿直线PE翻折，得△O′PE，连接AO′，直接写出△AO′P的周长的最小值． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，且OC＝2，过点A的直线y＝﹣x+3交边BC于点P． （1）求点A，点P的坐标； （2）已知点D在x轴上，且△APD为等腰直角三角形，求出点D坐标； （3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点M的坐标和△GMN周长的最小值． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l2：y＝kx+4分别与x轴正半轴，y轴相交于C，D两点，与直线l1相交于点E． （1）求点D的坐标及∠BAO的度数； （2）当△ACE是以CE为腰的等腰三角形时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段AE进行平移得到线段FG，其中点A，E的对应点分别为点F，G，且点F在△ACE的内部，连接AF，CF，CG，EG，EF，当S四边形CFEG＝3S△ACF时，求△ACF的周长的最小值． 题型七 线段数量关系问题 31．定义：我们把称为y＝ax+b（a≠0，b，c为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出y＝2x﹣3的其中一个互倒一次函数　 　 ； （2）如图1，y＝3x与是一对互倒一次函数，点A是y＝3x在第一象限图象上的任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，交于点C．求证：△AOB∽△OCB； （3）如图2，与（d≠0）相交于点Q，与y轴相交于点P，请判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 32．如图1，在平面直角坐标系xOyxOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，连接AB，OB，OA＝OB，过点A作AC∥OB交x轴负半轴于点C，∠BOC＝150°． （1）求证：△OAB是等边三角形． （2）若OB所在的直线方程为，且点B的纵坐标为2，求直线AC的表达式． （3）过点B作BD⊥BO，且BD＝BO，连接OD，BE是OD边上的中线，连接AD交BE于点F（如图2），请探究AF，BF与DF之间的数量关系，并证明你的结论． 33．已知在平面直角坐标系中，A（2，0），点B是直线y＝x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序． （1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标； （2）当点B不与原点重合时， ①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论； ②过点C作CH⊥y轴，垂足为H，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 34．如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OA的中点． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若P是x轴正半轴上一点，过点P作PD⊥BC于点D，且PD＝BC，依题意补全图1，并求点P的坐标； （3）如图2，若Q是AB上一点，且∠QCA＝∠BCO，连接OQ，CQ，用等式表示线段OQ，CQ，BC之间的数量关系，并证明． 35．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线BC为x轴，直线AB为y轴，点B为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点A坐标为（0，6），点G坐标为（6，4），点F坐标为　 　 ，点H坐标为（12，0）； ③由点A和点H的坐标求出直线AH的表达式为　 　 ． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线AH上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，得到线段GM和线段FN的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为　 　 ． 【迁移探究】如图3，长方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，AB∥CD，点E是边AD上的一点，AE＝AB，BE交AC于点F． （1）请用“建系法”求四边形EFCD的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点F的直线与x轴、y轴分别交于点M、N，当△MBN面积最小时，求出直线MN的表达式； （3）在（2）的条件下，G为线段BM上的一个动点，H点在y轴的负半轴上，若GM+BH＝GH，则∠GFH的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 参考答案与试题解析 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，6）两点． （1）求直线AB的函数解析式； （2）P是直线AB上一动点，且△BOP的面积是△AOP的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：y＝3上是否存在点Q，使得△ABQ是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）设P（t，﹣2t+6），当P在第一象限时，求出S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•yP3（﹣2t+6）＝﹣3t+9，故3t＝2（﹣3t+9），可得P（2，2）；当P在第四象限时，S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•（﹣yP）3（2t﹣6）＝3t﹣9，故3t＝2（3t﹣9），可得P（6，﹣6）； （3）设Q（m，3），求出AB2＝45，AQ2＝（m﹣3）2+9，BQ2＝m2+9，①当AB＝AQ时，45＝（m﹣3）2+9，解得m＝﹣3或m＝9，再根据勾股定理得m＝9符合条件，此时Q（9，3）；②当AB＝BQ时，45＝m2+9，解得m＝6或m＝﹣6，由勾股定理知m＝﹣6符合条件，此时Q﹣69，3），③当AQ＝BQ时，（m﹣3）2+9＝m2+9，解得m，此时BQ2+AQ2≠AB2，故△ABQ不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，6）代入得：， 解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）设P（t，﹣2t+6）， 当P在第一象限时，如图： ∵S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•yP3（﹣2t+6）＝﹣3t+9， ∴3t＝2（﹣3t+9）， 解得t＝2， ∴P（2，2）； 当P在第四象限时，如图： ∵S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•（﹣yP）3（2t﹣6）＝3t﹣9， ∴3t＝2（3t﹣9）， 解得t＝6， ∴P（6，﹣6）； 综上所述，P的坐标为（2，2）或（6，﹣6）； （3）设Q（m，3）， ∵A（3，0），B（0，6）， ∴AB2＝45，AQ2＝（m﹣3）2+9，BQ2＝m2+9， ①当AB＝AQ时，45＝（m﹣3）2+9， 解得m＝﹣3或m＝9， 若m＝﹣3，则AB2＝45＝AQ2，BQ2＝（﹣3）2+9＝18， ∴AB2+AQ2≠BQ2，△ABQ是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若m＝9，则AB2＝45＝AQ2，BQ2＝92+9＝90， ∴AB2+AQ2＝BQ2，△ABQ是等腰直角三角形，此时Q（9，3）； ②当AB＝BQ时，45＝m2+9， 解得m＝6或m＝﹣6， 当m＝6时，AB2＝45＝BQ2，AQ2＝（6﹣3）2+9＝18， ∴AB2+BQ2≠AQ2，△ABQ是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当m＝﹣6时，AB2＝45＝BQ2，AQ2＝（﹣6﹣3）2+9＝90， ∴AB2+BQ2＝AQ2，△ABQ是等腰直角三角形，此时Q（﹣6，3）； ③当AQ＝BQ时，（m﹣3）2+9＝m2+9， 解得m， ∴BQ2+AQ2＝（9）+（3）2+9， 而AB2＝45， ∴BQ2+AQ2≠AB2， ∴△ABQ不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为（9，3）或（﹣6，3）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（2，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△BCP的面积为6，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把C（2，m）代入y1＝x+1得：m＝2+1＝3，故C（2，3），把C（2，3）代入y2＝﹣x+b得：3＝﹣1+b，解得：b＝4； （2）①过P作PK∥AB交y轴于K，连接CK，求出B（0，1），C（2，3），由PK∥AB，知S△BCK＝S△BCP＝6，设K（0，k），即可得（1﹣k）×2＝6，解得k＝﹣5，K（0，﹣5），故直线PK解析式为y＝x﹣5，可得P（5，0），而D（8，0），从而可求t的值为3； ②求出A（﹣1，0），P（8﹣t，0），故AC2＝18，AP2＝（8﹣t+1）2＝（9﹣t）2，CP2＝（8﹣t﹣2）2+9＝（6﹣t）2+9，分三种情况列方程即可解得答案． 【解答】解：（1）把C（2，m）代入y1＝x+1得：m＝2+1＝3， ∴m的值为3； ∴C（2，3）， 把C（2，3）代入y2x+b得：3＝﹣1+b， 解得：b＝4， ∴b的值为4； （2）①过P作PK∥AB交y轴于K，连接CK，如图： 在y1＝x+1中，令x＝0得y＝1， ∴B（0，1）， 联立，解得， ∴C（2，3）， ∵PK∥AB， ∴S△BCK＝S△BCP＝6， ∴BK•xC＝6， 设K（0，k）， ∴BK＝1﹣k， ∴（1﹣k）×2＝6， 解得k＝﹣5， ∴K（0，﹣5）， ∴直线PK解析式为y＝x﹣5， 令y＝0得x＝5， ∴P（5，0）， 在yx+4中，令y＝0得x＝8， ∴D（8，0）， ∴PD＝8﹣5＝3， ∵动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动， ∴t＝PD÷1＝3÷1＝3， ∴t的值为3； ②存在t的值，使△ACP为等腰三角形，理由如下： 在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，D（8，0）， ∴P（8﹣t，0）， ∵C（2，3）， ∴AC2＝18，AP2＝（8﹣t+1）2＝（9﹣t）2，CP2＝（8﹣t﹣2）2+9＝（6﹣t）2+9， 当AC＝AP时，18＝（9﹣t）2， 解得t＝9﹣3或t＝9+3； 当AC＝CP时，18＝（6﹣t）2+9， 解得t＝3或t＝9（此时P，A重合，舍去）， 当AP＝CP时，（9﹣t）2＝（6﹣t）2+9， 解得t＝6； 综上所述，t的值为9﹣3或9+3或3或6． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．如图，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，2），点E（﹣2，a）在直线AB的上方． （1）若S△ABE＝4，求a的值； （2）是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过E作EM∥y轴交AB于M，用待定系数法求出直线AB解析式为yx+2，可得M（﹣2，1），EM＝a﹣1，根据S△ABE＝4，有（a﹣1）×4＝4，即可解得a的值为3； （2）求出AB2＝20，AE2＝4+a2，BE2＝4+（a﹣2）2，①当AB为斜边时，20＝4+a2+4+（a﹣2）2，②当AE为斜边时，20+4+（a﹣2）2＝4+a2，③BE为斜边时，20+4+a2＝4+（a﹣2）2，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）过E作EM∥y轴交AB于M，如图： 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A（﹣4，0），B（0，2）代入得：， 解得， ∴直线AB解析式为yx+2， 令x＝﹣2得y＝﹣1+2＝1， ∴M（﹣2，1）， ∵E（﹣2，a）， ∴EM＝a﹣1， ∵S△ABE＝4， ∴EM•|xA﹣xB|＝4，即（a﹣1）×4＝4， 解得a＝3， ∴a的值为3； （2）存在点E，使得△ABE是直角三角形，理由如下： ∵A（﹣4，0），B（0，2），E（﹣2，a）， ∴AB2＝20，AE2＝4+a2，BE2＝4+（a﹣2）2， ①当AB为斜边时，20＝4+a2+4+（a﹣2）2， 解得a1或a1， ∵点E在直线AB的上方， ∴E（﹣2，1）； ②当AE为斜边时，20+4+（a﹣2）2＝4+a2， 解得a＝6， ∴E（﹣2，6）； ③BE为斜边时，20+4+a2＝4+（a﹣2）2， 解得a＝﹣4（舍去）， 综上所述，E的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，6）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理的逆定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，﹣2），直线l2：y＝﹣4x+m经过点C（1，0），且交y轴于点D，直线l2与直线l1交于点E． （1）求直线l1的解析式； （2）求△BDE的面积； （3）过点A，D作直线AD，并将直线AD向上平移3个单位后交l1于点F，连接OF，若点P是y轴上一动点，连结PF，当△POF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）设待定系数法可得直线l1的解析式为yx﹣2； （2）把C（1，0）代入y＝﹣4x+m得：0＝﹣4+m，可得直线l2解析式为y＝﹣4x+4，求出点，D（0，4），用三角形面积公式可得△BDE的面积为4； （3）由A（4，0），D（0，4）得yAD＝﹣x+4，将直线AD向上平移3个单位得y＝﹣x+7，可得F（6，1），设P（0，m），则OP2＝m2，OF2＝37，PF＝36+（m﹣1）2，分三种情况列方程可解得答案． 【解答】解：（1）设直线l1：y＝kx+b（k≠0）， 把点A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝kx+b（k≠0）得： ∴， 解得：， ∴直线l1的解析式为yx﹣2； （2）∵y＝﹣4x+m的图象经过点C（1，0）， ∴把C（1，0）代入y＝﹣4x+m得：0＝﹣4+m， 解得：m＝4， ∴直线l2解析式为y＝﹣4x+4， 联立， 解得：， ∴点， 在y＝﹣4x+4中，当x＝0时y＝4， ∴D（0，4）， ∴， ∴△BDE的面积为4； （3）由A（4，0），D（0，4）得yAD＝﹣x+4， 将直线AD向上平移3个单位得y＝﹣x+7， 联立， 解得：， ∴F（6，1）， 设P（0，m）， ∴OP2＝m2，OF2＝37，PF＝36+（m﹣1）2， ①当OP＝OF时，m2＝37， 解得m＝±， ∴P（0，）或（0，）； ②当OP＝PF时，m2＝36+（m﹣1）2， 解得m， ∴P（0，）； ③当OF＝PF时，37＝36+（m﹣1）2， 解得m＝0（舍去）或m＝2， ∴P（0，2）； 综上所述，P的坐标为（0，）或（0，）或（0，）或（0，2）． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明）． 【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE＝90°； ①直接写出OA＝　8　 ，OB＝　6　 ； ②点E的坐标　（6，14）　 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出其面积值；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，Q是直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（10，0），动点P的坐标为（n，﹣4），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是　或（8，﹣6）　 .（直接写出答案即可） 【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A（8，0），B（0，6）两点，即可求解；②过点E作EF⊥y轴，垂足为F，证明△AOB≌△BFE，由全等三角形的性质可得BF＝AO＝8，EF＝BO＝6，即可求解； （2）当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，过点N作NK⊥y轴，垂足为K，证明△AOB≌△BKN，由全等三角形的性质得NK＝BO＝6，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，进而可得点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入求得n的值，即可求解． 【解答】解：（1）①OA＝8，OB＝6；理由如下： 当时，直线AB解析式为， 令x＝0，则y＝6，即B（0，6）， 令y＝0，则有， 解得x＝8，即A（8，0）， OA＝8，OB＝6． 故答案为：8，6； ②过点E作EF⊥y轴，垂足为F，如图2， ∵△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°， ∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°， 又∵∠EBF+∠BEF＝90°， ∴∠ABO＝∠BEF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AO＝8，EF＝BO＝6， ∴OF＝OB+BF＝8+6＝14， ∴E（6，14）． 故答案为：（6，14）； （2）△OBN的面积不发生变化；理由如下： 如图，过点N作NK⊥y轴，垂足为K， 则∠AOB＝∠BKN＝90°， ∵BN⊥AB，BN＝AB， ∴∠ABO+∠NBK＝90°， 又∵∠NBK+∠BNK＝90°， ∴∠ABO＝∠BNK， 在△AOB和△BKN中， ， ∴△AOB≌△BKN（AAS）， ∴NK＝BO＝6， ∴， ∴当k的取值变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝18； （3）点Q的坐标是或（8，﹣6）；理由如下： 当n＜10时，如图4，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠2+∠3＝90°， 又∵∠CPQ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵PC＝PQ，∠CAP＝∠PTQ＝90°， ∴△PCS≌△QPT（AAS）． ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝10﹣n， ∴ST＝14﹣n， ∴点Q的坐标为（4+n，n﹣14）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当n＞10时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T， ∴∠CSP＝∠PTQ＝90°， ∵∠CPS+∠3＝90°， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠CPS+∠PQT＝90°， ∴∠PQT＝∠PCS， 又∵PC＝PQ，∠CAP＝∠PTQ＝90°， ∴△PCS≌△QPT（AAS）， ∴QT＝PS＝4，PT＝SC＝n﹣10， ∴ST＝n﹣6， ∴点Q的坐标为（n﹣4，6﹣n）， ∵， ∴直线，将点Q的坐标代入， 可得， 解得n＝12， ∴n﹣4＝8，6﹣n＝﹣6， ∴点Q的坐标为（8，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为或（8，﹣6）， 故答案为：或（8，﹣6）． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 6．如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数可求出直线AB的表达式； （2）①证明△BOC≌△CED，利用全等三角形的性质可求出DE、OC的长，进而可得出点C、D的坐标； ②设点Q的坐标为（n，n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q的值．综上，此题得解． 【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得： ，解得：， ∴直线AB的表达式为yx+3； （2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°， ∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠BCO＝∠CDE． 在△BOC和△CED中， ， ∴△BOC≌△CED（AAS）， ∴OC＝DE，BO＝CE＝3． 设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m）， ∵点D在直线AB上， ∴m（m+3）+3， ∴m＝1， ∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）； ②存在，设点Q的坐标为（n，n+3）． 分两种情况考虑， 当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1， ∴n＝﹣3或n＝3， ∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0＝1+4， ∴n＝5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式；（2）利用全等三角形的判定和性质求解；（3）分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标； （3）在（2）的条件下，当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求出A、B点的坐标，再根据△ABC的面积即可求出C点坐标，最后根据B、C点的坐标用待定系数法求的直线BC函数解析式即可； （2）分两种情况，利用三角形的面积公式即可求解； （3）求出直线AM的表达式，分三种情形：①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，③当BC为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣5，0），B（0，10）， 即OA＝5，OB＝10， ∵△ABC面积为60， ∴， ∴OC＝7， ∴C（7，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线BC的表达式为：； （2）令， ∵A（﹣5，0），C（7，0）， ∴AC＝12， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，M的坐标为（，）或（，）； （3）当△ABM的面积为20时，△ABCM的面积为60﹣20＝40， 由（2）知，此时M（，）， 设直线AM的表达式为y＝k′x+b′， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线AM的表达式为：yx． ①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图： ∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD， ∴点E的纵坐标是10， ∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx． ∴x10，解得：x＝6， ∴E （6，10）， ∴BE＝CD＝6， ∵C（7，0）， ∴D（13，0）； ②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F， ∵四边形BDEC为平行四边形， ∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC， ∴△BDC≌△ECD（SAS）， ∴EF＝OB， ∵B（0，10）， ∴EF＝OB＝10， ∴点E的纵坐标是﹣10， ∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx． ∴x10，解得：x＝﹣16， ∴OF＝16， 在Rt△BOC和Rt△EFD中， ， ∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL）， ∴DF＝OC， ∵C（7，0）， ∴DF＝7， ∴OD＝7+16＝23， ∴D（﹣23，0）； ③当BC为平行四边形的对角线时， ∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD， ∴点E的纵坐标是10， ∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx． ∴x10，解得：x＝6， ∴E （6，10）， ∴BE＝CD＝6， ∵C（7，0）， ∴D（1，0）． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为（13，0）或（﹣23，0）或（1，0）． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（﹣2，0），点P是线段AB上的一个动点（点P与点A、点B不重合）． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在线段BC上存在一点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【分析】（1）求出B（0，4），再用待定系数法法可得直线BC的函数解析式为y＝2x+4； （2）设P（p，﹣p+4），可得OA2＝16，AP2＝（p﹣4）2+（﹣p+4）2＝2p2﹣16p+32，OP2＝p2+（﹣p+4）2＝2p2﹣8p+16，分三种情况列方程即可解得答案； （3）由四边形COPQ是平行四边形，知BC∥OP，可得直线OP解析式为y＝2x，联立，即可解得P（，），在y＝2x+4中，令y中得Q（，）． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）， 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 把B（0，4），C（﹣2，0）代入得：， 解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝2x+4； （2）设P（p，﹣p+4），其中0＜p＜4， ∵A（4，0），O（0，0）， ∴OA2＝16，AP2＝（p﹣4）2+（﹣p+4）2＝2p2﹣16p+32，OP2＝p2+（﹣p+4）2＝2p2﹣8p+16， 若AP＝OA，则2p2﹣16p+32＝16， 解得p＝4+2（舍去）或p＝4﹣2， ∴P（4﹣2，2）； 若OP＝OA，则2p2﹣8p+16＝16， 解得p＝0（舍去）或p＝4（舍去）； 若OP＝AP，则2p2﹣16p+32＝2p2﹣8p+16， 解得p＝2， ∴P（2，2）； 综上所述，P的坐标为（4﹣2，2）或（2，2）； （3）如图： ∵四边形COPQ是平行四边形， ∴BC∥OP， 由直线BC的函数解析式为y＝2x+4可知，直线OP解析式为y＝2x， 联立， 解得， ∴P（，）， 在y＝2x+4中，令y中得：2x+4， 解得x， ∴Q（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 9．如图1，直线分别交x轴，y轴于点B和点A，直线l2：y＝kx+b分别交x轴，y轴于点D和点C，l1和l2交于点E（﹣2，a），已知． （1）求直线l2的解析式； （2）如图2，连接AD，将△DAB绕点D顺时针旋转90°得到△DA′B'，边A'B'所在直线交y轴于点H，求出点H的坐标； （3）在（2）的条件下，将直线l2平移经过点B，得直线l3，将△AOB沿直线l3平移得到△A1O1B1，其中边A1B1所在直线与x轴交于点F，点G是直线l2上的一个动点，当以H、B1、F、G为顶点的四边形是以FG为边的平行四边形时，求出此时点O1的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作A'K⊥x轴交于K点，字母△AOD≌△DKA'（AAS），求出B'（2，5），即可求直线A'B'的解析式，则H点可求； （3）求出直线l3的解析式，设B1（m，m﹣1），求出直线A1B1的解析式为yxm﹣1，可知，设，根据题意分两种情况讨论：当BF与HG分别为对角线时，当B1G与HF分别为对角线时，分别求出O1点坐标为（22，）或（﹣14，）． 【解答】解：（1）令y＝0，则 x＝﹣3，即B（﹣3，0）， ∴， ∴OD＝2， ∴D（2，0）， 令x＝0，则y＝4，即A（0，4）， ∵E（﹣2，a）在直线上， ∴， 直线l：y＝k+b分别过点E和点D， ∴； （2）作A'K⊥x轴交于K点， ∴△AOD≌△DKA'（AAS）， ∴DK＝OA＝4，AK＝OD＝2， ∴A（6，2）， ∵BD＝DB'＝5，∠BDB'＝90°， ∴B'（2，5）， ∴直线， ∴； （3）∵直线l2平移得直线l3， 设l3的解析式为yx+b， 将点B（﹣3，0）代入，可得1+b＝0， 解得b＝﹣1， ∴yx﹣1， 设B1（m，m﹣1），直线A1B1与直线AB平行， ∴直线A1B1的解析式为yxm﹣1， ∴， 设， 当BF与HG分别为对角线时， ， ∴m＝19， ∴B1（19，）， ∴O1（22，）； 当B1G与HF分别为对角线时， ， ∴m＝﹣17， ∴B1（﹣17，）， ∴O1（﹣14，）； 综上所述：O1点坐标为（22，）或（﹣14，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，旋转图形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，l2：y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线l1，l2相交于点E，OA＝OC，OB＝OD． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接OE，求线段AE，OE，CE三者之间的数量关系； （3）设线段AB的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【分析】（1）x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣2，即可求A、B点坐标； （2）求出直线CD的解析式，再求出E点坐标，分别求出AE、OE、CE的长，即可求解； （3）设N（m，m+2），分三种情况：当OM⊥ON时，当OM⊥MN时，当MN⊥ON时，利用勾股定理分别求出m的值即可． 【解答】解：（1）y＝2x+4中，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，4）； （2）∵A（﹣2，0），B（0，4）， ∴AO＝2，OB＝4， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴C（0，2），D（4，0）， ∴直线CD的解析式为yx+2， 当x+2＝2x+4时，解得x， ∴E（，）， ∴AE，OE，CE， ∴AE2＝OE2+CE2； （3）∵A（﹣2，0），B（0，4），M是AB的中点， ∴M（﹣1，2）， 设N（m，m+2）， ∴OM2＝5，ON2m2﹣2m+4，MN2m2+2m+1， 当OM⊥ON时，m2+2m+1m2﹣2m+4+5， 解得m＝2， ∴N（2，1）； 当OM⊥MN时，m2﹣2m+4m2+2m+1+5， 解得m， ∴N（，）； 当MN⊥ON时，m2﹣2m+4m2+2m+1＝5， 解得m＝0， ∴N（0，2）； 综上所述：N点坐标为（2，1）或（，）或（0，2）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点B（1，0），过点B的直线与y轴交于A点，直线y＝x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，且两条直线相交于点E，直线m过点B且平行于y轴，点P是直线m上的一个动点． （1）求点E的坐标； （2）若S△PAE＝4，求点P的坐标； （3）连接DP，当∠DBE+2∠PDB＝180°时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点B代入函数解析式求出n的值，确定直线AB的解析式后再求E点坐标即可； （2）根据S△PAE＝S△PBE﹣S△PAB求出BP的长，从而求出P点坐标即可； （3）作∠DBE的平分线交DP于点F，根据题意求得∠DFB＝90°，设DP交直线于点G，证明△DBF≌△GBF（ASA），求得BD＝BG，再利用勾股定理求得点G的坐标，利用待定系数法求得直线DG的解析式，可求得点P的坐标，再利用对称性即可求解． 【解答】解：（1）如图， 当x＝1时，n＝0， 解得n， ∴yx， 当x+4x时，解得x＝﹣1， ∴E（﹣1，3）； （2）S△PAE＝S△PBE﹣S△PABBP×1＝4， 解得BP＝8， ∴P（1，8）或（1，﹣8）． （3）作∠DBE的平分线交DP于点F， ∵∠DBE+2∠PDB＝180°， ∴， ∴∠DBF+∠PDB＝90°， ∴∠DFB＝90°， 设DP交直线于点G， ∴BF⊥DG， ∵∠DBF＝∠GBF，∠DFB＝∠GFB＝90°，BF＝BF， ∴△DBF≌△GBF（ASA）， ∴BD＝BG， 在直线y＝x+4中， 当y＝0时，x+4＝0，解得x＝﹣4， ∴D（﹣4，0）， ∴BD＝1﹣（﹣4）＝5， ∴BG＝BD＝5， 设， 又∵B（1，0）， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， 时，， ∴， 设直线DG的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线DG的解析式为， 当x＝1时，， ∴点P的坐标为， 由对称性知点也符合题意， 综上，点P的坐标为或． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，割补法求三角形面积是解题的关键． 12．如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由． （3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出C点坐标，再将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4，即可求k的值； （2）分别求出各点坐标，再由△ABC面积（8+8）＝△BCP的面积BP×8，求出BP的长，即可求P点坐标； （3）将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E，通过证明△BDF≌△GBE（AAS）， 求出G（8，4），直线DG与直线AB的交点为Q；G点关于B点的对称点G'（﹣8，12），则直线DG'与直线AB的交点为另一个Q． 【解答】解：（1）当x＝﹣8时，m＝﹣8， ∴C（﹣8，﹣8）， 将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4， ∴﹣8k﹣4＝﹣8， 解得k； （2）存在点P，使得△BCP与△ABC面积相等，理由如下： ∵k， ∴yx﹣4， 当y＝0时，x＝8， ∴A（8，0）， 直线y＝2x+8与x轴的交点D（﹣4，0），与y轴交点B（0，8）， ∴AD＝12， ∴△ABC面积（8+8）＝96， ∵△BCP与△ABC面积相等， ∴△BCP的面积＝96BP×8， 解得BP＝24， ∴P（0，﹣16）或（0，32）； （3）存在点Q，使得∠BDQ＝45°，理由如下； 将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E， ∴∠FBD+∠EBG＝90°， ∵∠FBD+∠FDB＝90°， ∴∠EBG＝∠FDB， ∵BD＝BG， ∴△BDF≌△GBE（AAS）， ∴BF＝EG＝4，FD＝BE＝8， ∴G（8，4）， ∴直线DG的解析式为yx，直线AB的解析式为y＝﹣x+8， 当xx+8时，解得x＝5， 解得Q（5，3）， ∵G点关于B点的对称点G'（﹣8，12）， ∴直线DG'的解析式为y＝﹣3x﹣12， 当﹣x+8＝﹣3x﹣12时，解得x＝﹣10， 解得Q（﹣10，18）； 综上所述：Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）分别与x轴和y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝﹣x+2与x轴和y轴分别交于C，D两点，与l1交于点G，其中A（﹣9，0）且． （1）求直线l1的解析式； （2）点P为直线l2上一个动点，连接PA，PB，当S△PAB＝9时，求点P的坐标； （3）已知点K为直线上的一个动点，若∠ABO﹣∠KGC＝45°，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）求出B点坐标，再将A、B代入y＝kx+b中，求函数的解析式即可； （2）求出S△OAB9，再由S△PAB＝9，P到AB的距离是O到AB距离的，可知P点在直线yx+1或yx+5上，直线l2与直线yx+1和yx+5的交点即为P； （3）设GK与y轴的交点为M，推导出∠KMD＝∠ABO，GB＝GM，则△GBM是等腰三角形，求出点G（，），利用中点求出M（0，），则直线GM的解析式为yx，直线与y的交点为K（3，）． 【解答】解：（1）y＝﹣x+2与x轴交于C（2，0），与y轴交于D（0，2）， ∴OD＝2， ∵， ∴BO＝3， ∴B（0，3）， 将点A、B代入y＝kx+b中，﹣9k+3＝0， 解得k， ∴yx+3； （2）∵OA＝9，BO＝3， ∴S△OAB9， ∵S△PAB＝9， ∴P到AB的距离是O到AB距离的， ∴P点在直线yx+1或yx+5上， 当x+1＝﹣x+2时，解得x， 当x+5＝﹣x+2时，解得x， ∴P（，）或（，）； （3）设GK与y轴的交点为M， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝45°＝∠GDB， ∵∠KMD＝∠KGC+∠GDM＝∠KGC+45°，∠ABO＝∠KGC+45°， ∴∠KMD＝∠ABO， ∴GB＝GM， ∴△GBM是等腰三角形， 当﹣x+2x+3时，解得x， ∴G（，）， ∴M（0，）， ∴直线GM的解析式为yx， ∴K（3，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行线间距离的关系是解题的关键． 14．如图1，已知一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线AB对应的函数表达式． （2）M是x轴上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②如图2，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标． 【分析】（1）先由求得B（0，3），C（6，0）．由点C与点A关于y轴对称可得A（﹣6，0），再利用待定系数法求出直线AB的函数解析式即可； （2）①设M（m，0），则、，过点B作BD⊥PQ于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【解答】解：（1）对于yx+3，由x＝0，得y＝3， ∴B（0，3）． 由y＝0，得0x+3， 解得x＝6， ∴C（6，0）． ∵点C与点A关于y轴对称， ∴A（﹣6，0）． 设直线AB对应的函数表达式是y＝kx+b， 将A（﹣6，0），B（0，3）代入，得， 解得， ∴直线AB对应的函数表达式是yx+3； （2）①设M（m，0）， 则P（m，m+3），Q（m，m+3）， ∴PQ＝|m+3﹣（m+3）|＝|m|， 如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，则BD＝|m|， ∴， 解得， ∴点M的坐标为或； ②如图2，当点M在y轴的左侧时． ∵点C与点A关于y轴对称， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA． ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BCA+∠BMC＝90°， ∴∠MBC＝180°﹣（∠BCA+∠BMC）＝90°． 设M（x，0），则， ∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45， 在Rt△MBC中，由勾股定理，得BM2+BC2＝MC2． ∴x2+9+45＝（6﹣x）2， 解得x，此时y， ∴P（，）； 如图3，当点M在y轴的右侧时， 同理可得P（，）； 综上，点P的坐标为或． 【点评】本题主要考查了一次函数的解析式、一次函数与坐标轴交点问题、勾股定理、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），与直线交于点． （1）求m的值及一次函数解析式； （2）在直线l2上有一动点D，S△BCD＝3S△BCO，求点D的坐标； （3）点P是直线l2上有一动点，当∠PBA＝∠BAO时，请求出点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由面积可知D点在y＝2x﹣8和y＝2x+16的直线上，两条直线与直线yx的交点即为所求； （3）过点P作PB∥x轴交直线CO于点P，作P关于直线AB的对称点P'，则P、P'为所求． 【解答】解：（1）当x时，m， ∴C（，）， 将B（0，4），C（，）代入y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝2x+4； （2）∵S△BCD＝3S△BCO， ∴D点在y＝2x﹣8和y＝2x+16的直线上， 当2x﹣8x时，解得x， ∴D（，）； 当2x+16时，解得x， ∴D（，）； 综上所述：D点坐标为（，）或（，）； （3）过点P作PB∥x轴交直线CO于点P， ∴∠PBA＝∠BAO， ∴P（﹣8，4）； 作P关于直线AB的对称点P'，则C点是PP'的中点， ∴P'（，）； 综上所述：P点坐标为（﹣8，4）或（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． 16．如图1，平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C． （1）直线BC的表达式为y＝﹣x+2　 ，并直接写出点A的坐标　（﹣4，0）　 ，点C的坐标　（2，0）　 ； （2）若点F为直线BC上的动点，当∠FAB＝∠ABO时，请求出点F的坐标； （3）如图2，已知点D（1，0），点F在直线BC上运动，连接DF，直线DF与直线AB交于点E，当△CDF与△BEF面积相等时，求出点E的坐标． 【分析】（1）求出点B坐标为（0，2），代入y＝﹣x+b得b＝2，故直线BC的解析式为y＝﹣x+2；在yx+2中，令y＝0得点A坐标为（﹣4，0）；在y＝﹣x+2中，令y＝0点C坐标为（2，0）， （2）当F在AB上方时，AF∥y轴，在y＝﹣x+2中，令x＝﹣4得F（﹣4，6）；当F在AB下方时，设AF交y轴于K，设K（0，t），可得AK＝BK，即16+t2＝（2﹣t）2，解得t＝﹣3，故K（0，﹣3），求出直线AF解析式为yx﹣3，联立，得F（20，﹣18）； （3）由S△CDF＝S△BEF可得S△ABC＝S△ADE，求出S△ABCAC•OB（2+4）×2＝6，设E（m，m+2），故（1+4）•（m+2）＝6，解得点E的坐标为（，）． 【解答】解：（1）在yx+2中，令x＝0得y＝2， ∴点B坐标为（0，2）， 将点B坐标代入y＝﹣x+b得：b＝2， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2； 在yx+2中，令y＝0得x＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，0）； y＝﹣x+2中，令y＝0得x＝2， ∴点C坐标为（2，0）， 故答案为：y＝﹣x+2，（﹣4，0），（2，0）； （2）当F在AB上方时，如图： ∵∠FAB＝∠ABO， ∴AF∥y轴， 在y＝﹣x+2中，令x＝﹣4得y＝6， ∴F（﹣4，6）； 当F在AB下方时，设AF交y轴于K，如图： 设K（0，t）， ∵∠FAB＝∠ABO， ∴AK＝BK， ∴16+t2＝（2﹣t）2， 解得t＝﹣3， ∴K（0，﹣3）， 由A（﹣4，0），K（0，﹣3）得直线AF解析式为yx﹣3， 联立， 解得， ∴F（20，﹣18）； 综上所述，F的坐标为（﹣4，6）或（20，﹣18）； （3）如图： ∵S△CDF＝S△BEF， ∴S△CDF+S四边形ABFD＝S△BEF+S四边形ABFD，即S△ABC＝S△ADE， ∵A（﹣4，0），C（2，0），B（0，2）， ∴S△ABCAC•OB（2+4）×2＝6， 设E（m，m+2）， ∵D（1，0）， ∴（1+4）•（m+2）＝6， 解得m， ∴点E的坐标为（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线y＝kx+5交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，OC＝OD，两直线相交于点E． （1）求k的值与线段AB的长； （2）若F为线段AE上的动点，G为线段DE上的动点，当△ODG≌△GFO时，求点G的坐标； （3）若F为直线AB上一动点，连接FC、FD，当S△CDF＝10时，试求点F的坐标． 【分析】（1）根据函数图象与点的坐标特点分别求出A、B、C的坐标，再求AB，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据全等可得FG∥OD，FG＝OD＝5，设F（m，m+8），则G（m﹣3，m+8），再由FGm﹣3﹣m＝5，求出m即可求G点坐标； （3）设F（t，t+8），求出直线DF的解析式为yx，当F点在直线CD的下方时，直线DF与y轴的交点为M（0，），S△CDF（5﹣t）×（5）＝10，可求F（﹣3，4）；当F点在直线CD的上方时，过点F作FN∥y轴交ED于点N，S△CDF（5﹣t）×（t+8+t﹣5）＝10，求出F（，）． 【解答】解：（1）直线交x轴于点A（﹣6，0），交y轴于点B（0，8）， ∴AB＝10， 直线y＝kx+5交y轴于点C（0，5）， ∴OC＝5， ∵OC＝OD， ∴OD＝5， ∴D（5，0）， ∴5k+5＝0， 解得k＝﹣1； （2）∵△ODG≌△GFO， ∴∠FGO＝∠GOD，FG＝OD， ∴FG∥OD， 设F（m，m+8），则G（m﹣3，m+8）， ∴FGm﹣3﹣m＝5， 解得m， ∴G（，）； （3）设F（t，t+8）， 设直线FD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线DF的解析式为yx， 当F点在直线CD的下方时，直线DF与y轴的交点为M（0，）， ∴S△CDF（5﹣t）×（5）＝10， 解得t＝﹣3， ∴F（﹣3，4）； 当F点在直线CD的上方时，过点F作FN∥y轴交ED于点N， ∴N（t，﹣t+5）， ∴S△CDF（5﹣t）×（t+8+t﹣5）＝10， 解得t， ∴F（，）； 综上所述：F点坐标为（﹣3，4）或（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的性质，割补法求三角形的面积是解题的关键． 18．如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线yx相交于点A． （1）求A点坐标； （2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标； （3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）联立方程组，即可求得； （2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得； （3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC列出关于y的方程解方程求得即可． 【解答】解：（1）联立方程组得：， 解得：， ∴A点坐标是（2，3）； （2）设P点坐标是（0，y）， ∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形， ∴OP＝PA， ∴22+（3﹣y）2＝y2， 解得y， ∴P点坐标是（0，）， 故答案为（0，）； （3）存在； ∵直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B． ∴C（，0），B（0，7）， ∴S△AOC36，S△AOB7×2＝7＞6， ∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上， 设点Q的坐标是（x，y）， 当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x， ∴S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ＝7﹣6＝1， ∴OB•QD＝1，即7x＝1， ∴x， 把x代入y＝﹣2x+7，得y， ∴Q的坐标是（，）， 当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y， ∴S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC＝6， ∴OC•QD，即（﹣y）， ∴y，把y代入y＝﹣2x+7，解得x， ∴Q的坐标是（，）， 综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为（，）或（，）． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，与正比例函数相交于点C．点D在线段OC上（不与点O，C重合），▱DEBF的顶点E，F分别在线段BC，OB上．设点D的横坐标为m． （1）求BF的长（用含m的代数式表示）； （2）求▱DEBF面积的最大值． 【分析】（1）根据平行四边形性质，BF＝DE，利用yE﹣yD即可求解． （2）过点E作EH⊥BF，利用平行四边形面积公式即可解答． 【解答】解：（1）∵四边形BFDE是平行四边形， ∴DE∥BF，DE＝BF， 设D（m，m），则点E（m，） ∴DE4﹣m， ∴BF＝4﹣m； （2）过点E作EH⊥BF，垂足为H，如图所示， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴S平行四边形DEBF＝BF×EH＝（4﹣m）m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，平行四边形面积最大值为4． 【点评】本题考查一次函数综合问题以及平行四边形，解题关键是熟记平行四边形性质和函数特征是解题关键． 20．如图（1），在平面直角坐标系中，直线yx+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA． （1）求B点坐标为　（0，4）　 ；线段OA的长为　3　 ； （2）确定直线CD解析式，求出点D坐标； （3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN． ①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明； ②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积． 【分析】（1）根据直线yx+4交坐标轴于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，可以求得点B的坐标和OA的长； （2）根据△COE≌△BOA，可以得到OE＝OA，再根据点A的坐标可以的大点E的坐标即可求得直线CE的解析式，然后与直线yx+4联立方程组，即可求得点D的坐标； （3）①根据题目中的条件，可以证明△OME≌△ONA，即可得到OM和ON的数量关系； ②要求△OMN面积最小值，由OM＝ON，OM⊥ON，可知当OM取得最小值时即可，当OM⊥CE时，OM取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得OM的长，即可求得点M的坐标，本题得以解决． 【解答】解：（1）∵直线yx+4交坐标轴于A、B两点， ∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4， ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝3； 故答案为：（0，4），3； （2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA， ∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA， ∵点A（3，0）， ∴OA＝3， ∴OE＝3， ∴点E的坐标为（0，3）， 设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b， ，得， ∴直线CE的解析式为yx+3， 即直线CD的解析式为yx+3， 由，得， 即点D的坐标为（，）； （3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变， 证明：∵△COE≌△BOA， ∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN， ∵∠BOA＝90°，ON⊥OM， ∴∠MON＝∠BOA＝90°， ∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA， ∴∠MOE＝∠NOA， 在△MOE和△NOA中， ， ∴△MOE≌△NOA（ASA）， ∴OM＝ON， 即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变； ②由①知OM＝ON， ∵OM⊥ON， ∴△OMN面积是：， ∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值， ∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°， ∴CE＝5， ∵当OM⊥CE时，OM取得最小值， ∴， ∴， 解得，OM， ∴△OMN面积取得最小值是：， 当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3）， ∴， 解得，a， ∴a+3， ∴点M的坐标为（，）， 由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是 【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积的最值、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E． （1）求证：四边形DMEC是矩形． （2）求线段DE的最小值． 【分析】（1）连接CM，即可证明四边形CDME是矩形； （2）由矩形CDME得出DE＝CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果． 【解答】证明：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB， ∴∠MDC＝∠MEC＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CDME是矩形； （2）连接CM，如图所示： ∵四边形CDME是矩形 ∴DE＝CM， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时△ABC的面积AB•CMBC•AC， ∴CM的最小值， ∴线段DE的最小值为； 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O（0，0），A（2，2），B（4，2），C（4，0），点P是x轴上一动点，连接OB，AP． （1）求直线OB的解析式； （2）若∠PAO＝∠AOB，求点P的坐标； （3）当点P在线段OC（点P不与点C重合）上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）作AF⊥OC于点F，交OB于点G，先证明∠PAF＝∠GOF，推出△PAF≌△GOF（ASA），得到PF＝GF，再求得G（2，1），据此求解即可． （3）作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF，证明四边形ADCE是平行四边形，推出△FAD≌△BCE（SAS），得到DF＝BE，当FG⊥OB 时，DF有最小值，即BE有最小值，利用面积法即可求解． 【解答】解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx， ∵B（4，2）， ∴2＝4k， 解得， ∴直线OB的解析式为． 答：直线OB的解析式为． （2）分两种情况讨论：①当点P位于原点O的右侧时，如图，作AF⊥OC于点F，交OB于点G， ∵A（2，2）， ∴FA＝FO＝2，∠FAO＝∠FOA＝45°， ∵∠PAO＝∠AOB， ∴∠PAF＝∠GOF， 又∵∠PFA＝∠GFO＝90°， ∴△PAF≌△GOF（ASA）， ∴PF＝GF， ∵点G的横坐标为2． ∴， ∴点G（2，1）， ∴PF＝GF＝1， ∴OP＝2﹣1＝1， ∴点P的坐标为（1，0）； ②当点P位于原点O的左侧时，如图，过点A作OB的平行线，与x轴交于点P， ∵PA∥OB， ∴∠PAO＝∠AOB，AB＝OP， ∵A（2，2），B（4，2）， ∴AB＝OP＝2， 故点P的坐标为（﹣2，0）， 综上，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，0）． （3）作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF， ∵A（2，2），B（4，2）， ∴AB＝CF＝AF＝BC＝2，且∠AFC＝90°， ∴四边形ABCF是正方形， ∴∠FAC＝∠BCA＝45°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AD∥CE，AD＝CE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴∠FAD+45°＝∠BCE+45°，即∠FAD＝∠BCE， ∴△FAD≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 当FD⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值， ∵OB，OF＝2， ∴S△OFB， 即， ∴， ∴BE的最小值为． 答：BE的最小值为． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝2x+10，与y轴交于点A，与x轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问： ①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数关系式； ②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由直线AB解析式，令x＝0与y＝0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标； （2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF＝PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值． 【解答】解：（1）对于直线AB解析式y＝2x+10， 令x＝0，得到y＝10；令y＝0，得到x＝﹣5， 则A（0，10），B（﹣5，0）； （2）连接OP，如图所示， ①∵P（a，b）在线段AB上， ∴b＝2a+10， 由0≤2a+10≤10，得到﹣5≤a≤0， 由（1）得：OB＝5， ∴S△PBOOB•（2a+10）， 则S（2a+10）＝5a+25（﹣5＜a≤0）； ②存在，理由为： ∵∠PFO＝∠FOE＝∠OEP＝90°， ∴四边形PFOE为矩形， ∴EF＝PO， ∵O为定点，P在线段AB上运动， ∴当OP⊥AB时，OP取得最小值， ∵AB•OPOB•OA， ∴•OP＝50， ∴EF＝OP＝2， 综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2． 【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 24．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段OB上一个动点，连接AP． （1）如图1，若点P为线段OB中点，求△PAB的面积． （2）如图2，经过点P的直线l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交x轴于点C，交直线y＝﹣2x+4于点D．当P为线段CD的中点时，求k的值． （3）如图3，以AP为边在AP的下方作等边三角形APQ，连接OQ．当OQ取最小值时，求点P的坐标． 【分析】（1）求出B（0，4），A（2，0），由点P为线段OB中点，知P（0，2），即可得S△PAB2×2＝2； （2）求出D（1，2），设C（m，0），P（0，n），由P为CD中点，可得，解得，故P（0，1），C（﹣1，0），把C（﹣1，0）代入y＝kx﹣k+2得：0＝﹣k﹣k+2，即可解得k的值为1； （3）以OA为边，在x轴下方作等边三角形OAK，连接QK，证明△PAO≌△QAK（SAS），可得∠POA＝∠QKA＝90°，OP＝QK，故Q在过K且与AK垂直的直线上运动，当OQ⊥QK时，OQ最短，此时∠OKQ＝∠QKA﹣∠OKA＝90°﹣60°＝30°，OK＝OA＝2，求得OQOK＝1，QKOQ，从而OP，即得P（0，）． 【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴B（0，4）， 在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2， ∴A（2，0）， ∵点P为线段OB中点， ∴P（0，2）， ∴PB＝OB﹣OP＝4﹣2＝2， ∴S△PAB2×2＝2， ∴△PAB的面积为2； （2）联立，解得， ∴D（1，2）， 设C（m，0），P（0，n）， ∵P为CD中点， ∴， 解得， ∴P（0，1），C（﹣1，0）， 把C（﹣1，0）代入y＝kx﹣k+2得：0＝﹣k﹣k+2， 解得k＝1， ∴k的值为1； （3）以OA为边，在x轴下方作等边三角形OAK，连接QK，如图： ∵△APQ，△OAK是等边三角形， ∴PA＝QA，OA＝KA，∠PAQ＝∠OAK， ∴∠PAO＝∠QAK， ∴△PAO≌△QAK（SAS）， ∴∠POA＝∠QKA＝90°，OP＝QK， ∴Q在过K且与AK垂直的直线上运动， 当OQ⊥QK时，OQ最短，如图： 此时∠OKQ＝∠QKA﹣∠OKA＝90°﹣60°＝30°，OK＝OA＝2， ∴OQOK＝1， ∴QKOQ， ∴OP， ∴P（0，）． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，中点坐标公式，等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，直线l：yx+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点C（0，1），以线段BC为边向右作正方形BCDE，正方形BCDE沿CD的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求A，B两点的坐标； （2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l上，求t的值； （3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得OP+PA有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解； （2）确定出正方形右移只有C，D两点会落在直线l上，直线CD与AB交于点N，求出DN，CN距离，又已知速度是1，即可求出时间t； （3）定点O，A到动点P距离和的最小值问题，这是经典的河岸问题，这题找出“河岸“（BC的中垂线FP），然后作出A关于BC的中垂线FP的对称点A'，连接OA'，与FP交于点P，即存在，只需要求出移动距离就可以求出时间t． 【解答】解：（1）∵直线l：yx+4分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝6， ∴A（6.0），B（0，4）； （2）正方形BCDE只有点C，D，在直线AB左侧， 设直线CD与直线AB相交于点N， ∵点C（0，1），∴点N（4.5，1）， ∵B（0，4），∴BC＝3， ∴D（3，1）， ①DN＝4.5﹣3＝1.5， 点D右移到AB上时， t1.5（秒）， ②CN＝4.5﹣0＝4.5， 点C右移AB上时， t4.5（秒）， 答：在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l上，所求的t值为1.5秒和4.5秒． （3）存在实数t，使得OP+PA有最小值， 理由如下： 由正方形对称性易知， 点M的横坐标与CD的中点的横坐标一样， 点M的纵坐标与BC的中点的纵坐标一样， ∴未移动时的点P的坐标，令为M（1.5，2.5）， ∴点P向右移动所在的直线：y＝2.5，设为直线FP， 作点A关于直线FP对称点A'，则A'（6，5）， 连接OA'，交于直线EP于点P， 此时OP+PA最小， ∵O（0，0），A'（6，5）， ∴直线OA'：yx， 与直线FP：y＝2.5联立解得点P（3，2.5），即新点P坐标， 如图MP＝3﹣1.5＝1.5， t1.5（秒）， 答：存在实数t，使得OP+PA有最小值，此时t为1.5秒． 【点评】本题考查一次函数与正方形性质的相结合及运用，难点在于根据“河岸“问题确定出满足OP+PA最小值的点P． 26．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10，点P是x轴上的动点． （1）求直线AB的解析式； （2）当S△OAP时，求点P的坐标； （3）若点P为线段OB的中点，点M是线段OA上的动点，点N是线段AB上的动点，当△PMN的周长取得最小值时，求点M和点N的坐标． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB解析式； （2）由面积关系列出方程可求解； （3）作点P关于y轴的对称点P''，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'P''，交AB于N，交y轴于M，此时△PMN的周长有最小值，利用待定系数法可求直线P'P''的解析式，可求点M坐标，联立方程组可求点N坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10． ∴A（0，10），B（10，0）， ∴， 解是k＝﹣1，b＝10， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10； （2）设点P（x，0）， ∵S△OAP， ∴OP•AOBP•AO， ∴BP＝3OP， ∴10﹣x＝3|x|， ∴x或x＝﹣5， ∴点P（，0）或（﹣5，0）； （3）如图，作点P关于y轴的对称点P''，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'P''，交AB于N，交y轴于M， 此时，△PMN的周长＝PM+PN+MN＝P''M+P'N+MN＝P'P''，即△PMN的周长的最小值为P'PP''， ∵点P为线段OB的中点， ∴OP＝PB＝5， ∴点P（5，0）， ∵点P''与点P关于y轴对称， ∴OP＝OP''＝5， ∴点P''（﹣5，0）， ∵点P'与点P关于直线AB对称， ∴BP＝BP'＝5，∠ABP'＝∠ABP＝45°， ∴∠PBP'＝90°， ∴点P'（10，5）， 设直线P'P''的解析式为y＝kx+b， ， 解得：， ∴直线P'P''的解析式为yx， 当x＝0时，y， ∴点M（0，）， ∵点N是直线AB与直线P'P''的交点， ∴， 解得：， ∴点N（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝10，点，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA匀速运动，动点Q同时从点B出发以同样的速度沿BO匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动． （1）当t＝　2.5　 时，△OPQ为等腰三角形； （2）如图2，当t＝1秒时，连接AQ，过点A作∠CAB＝∠AQO，且AC＝AQ，连接OC交AB于点D，求的值； （3）如图3，点E是OB的中点，连接PE，△OPE沿直线PE翻折，得△O′PE，连接AO′，直接写出△AO′P的周长的最小值． 【分析】（1）△AOB是等边三角形，∠AOB＝60°，△OPQ为等腰三角形，则△OPQ为等边三角形，OP＝OQ，可得2t＝10﹣2t，t＝2.5． （2）作QF⊥AB于点F，CG⊥x轴于G，AH⊥CG于H，证明△AHC≌△AFQ，求点C坐标，得OC的解析式，求AB的解析式，可求OC，AB的交点D坐标，可得AD与BD的比． （3）△OPE沿直线PE翻折，得△O′PE，连接AO′，EO＝EO'，O'在以E为圆心，OE为半径的圆上，当O'在AE上时，AO'最小，△AO′P的周长的最小5+5． 【解答】 解：（1）如图1，△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝10，OP＝2t，BQ＝2t，OQ＝10﹣2t， ∵∠AOB＝60°，△OPQ为等腰三角形， ∴△OPQ为等边三角形， ∴2t＝10﹣2t， ∴t＝2.5． 故答案为：2.5． （2）如图2，作QF⊥AB于点F，CG⊥x轴于G，AH⊥CG于H， ∴AH∥OG， ∴∠AQO＝∠QAH， ∵∠CAB＝∠AQO， ∵∠CAB＝∠QAH， ∴∠CAH＝∠QAF， ∵∠AHC＝∠AFQ， ∵AC＝AQ， ∴△AHC≌△AFQ（AAS）． ∴AH＝AF，CH＝QF， ∵t＝1，v＝2， ∴BQ＝vt＝2， ∵∠ABO＝60°，∠QFB＝90°， ∴∠BQF＝30°， ∴BF＝1，QF， ∴AF＝AB﹣BF＝10﹣1＝9， ∴AH＝9，CH， ∴OG＝5+9＝14，CG56， ∴点C坐标（14，6）， 设OC的解析式为y＝kx， ∴14k＝6， ∴k， ∴yx． 设AB解析式为y＝kx+b， ， 解得 yx+10． 解得 ∴D坐标为（7，3）， ∵A的横坐标为5，D的横坐标为7，B的横坐标为10， ∴． （3）如图3，△OPE沿直线PE翻折，得△O′PE， ∴EO＝EO'， ∴O'在以E为圆心，OE为半径的圆上， 当O'在AE上时，AO'最小＝5． △AO′P的周长＝AO'+AP+O'P ＝AO'+AP+OP ＝AO'+OA． ∴△AO′P的周长的最小值为55+10＝55． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，关键是添加辅助线构造全等． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，且OC＝2，过点A的直线y＝﹣x+3交边BC于点P． （1）求点A，点P的坐标； （2）已知点D在x轴上，且△APD为等腰直角三角形，求出点D坐标； （3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点M的坐标和△GMN周长的最小值． 【分析】（1）根据点的坐标特点求解即可； （2）分两种情况讨论：当∠APD＝90°时，D（﹣1，0），当∠PDA＝90°时，D（1，0）； （3）作G点关于y轴的对称点E，则E（﹣2，0），作G点关于直线AP的对称点F，当E、N、M、F四点共线时，△GMN的周长有最小值为EF． 【解答】解：（1）当y＝0时，x＝3， ∴直线y＝﹣x+3与x轴的交点A（3，0）， ∵OC＝2， ∴C（0，2）， 当﹣x+3＝2时，x＝1， ∴P（1，2）； （2）当∠APD＝90°时，D点与A点关于直线x＝1对称， ∴D（﹣1，0）， 当∠PDA＝90°时，D（1，0）； 综上所述：D点坐标为（﹣1，0）或D（1，0）； （3）作G点关于y轴的对称点E，则E（﹣2，0）， 作G点关于直线AP的对称点F， ∵PB＝AB＝2， ∴∠PAB＝45°， ∴F点在AB上， ∴F（3，1）， ∵GM+GN+MN＝MF+EN+MN≥EF， ∴当E、N、M、F四点共线时，△GMN的周长有最小值， ∴EF， ∴△GMN周长的最小值为， 直线EF的解析式为yx， 当﹣x+3x时，解得x， ∴M（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求点C和点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可以得到A、B的坐标，从而得到线段AB的长度，进一步可以得到正方形ABCD的面积； （2）由题意和（1）可以得到△BCE≌△DAF≌△ABO，从而得到线段CE、OE、DF、OF的值，然后可以得到点C和点D的坐标； （3）找出点B关于x轴的对称点 B'，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小．由待定系数法求出B′D的解析式，然后令y＝0，即可得到M的坐标． 【解答】解：（1）对于直线 ，令x＝0，得到y＝2；令y＝0，得到x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， 在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝42+22＝20， ∴正方形ABCD面积为20； （2）如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F： ∴∠CEB＝∠AFD＝∠AOB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠DAF+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠ADF＝∠CBE， ∴△BCE≌△DAF≌△ABO（AAS）， ∴BE＝DF＝OA＝4，CE＝AF＝OB＝2， ∴OE＝OB+BE＝2+4＝6，OF＝OA+AF＝4+2＝6， ∴C（﹣2，6），D（﹣6，4）； （3）如图，找出点B关于x轴的对称点 B'，连接B′D，与x轴交于点M，则此时△BMD周长最小： ∵B（0，2）， ∴B′（0，﹣2）， 设直线B′D的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把B′与D坐标代入得：， 解得：， ∴直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣2． 对于y＝﹣x﹣2，令y＝0，得到x＝﹣2， ∴M（﹣2，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称﹣最短路径等，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、勾股定理的应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等是解题关键． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l2：y＝kx+4分别与x轴正半轴，y轴相交于C，D两点，与直线l1相交于点E． （1）求点D的坐标及∠BAO的度数； （2）当△ACE是以CE为腰的等腰三角形时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段AE进行平移得到线段FG，其中点A，E的对应点分别为点F，G，且点F在△ACE的内部，连接AF，CF，CG，EG，EF，当S四边形CFEG＝3S△ACF时，求△ACF的周长的最小值． 【分析】（1）由题意可知△AOB是等腰直角三角形，即可求∠BAO＝45°； （2）①当CE＝AC时，∠ECA＝90°，直线l2与x轴轴垂直，不符合题意；②当CE＝AE时，∠AEC＝90°，则l1⊥l2，可求y＝﹣x+4，当﹣x+4＝x+2时，可求E（1，3）； （3）设线段AE向上平移m个单位，向右平移n个单位，则F（﹣2+n，m），G（1+n，3+m），过点F作FM⊥x轴交于F点，则FM＝m，由S四边形CFEG＝3S△ACF，可得CE×FGFM＝3，求出m＝1，由此可知F点在直线y＝1上移动且在△ACE内部，作A点关于y＝1的对称点A'（﹣2，2），连接A'C，交y＝1于点F，此时△CF的周长最小． 【解答】解：（1）直线l2：y＝kx+4中x＝0时，y＝4， ∴D（0，4）， 直线l1：y＝x+2与x轴交于A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝BO， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝45°； （2）①当CE＝AC时，∠BAO＝∠AEC＝45°， ∴∠ECA＝90°， ∴直线l2与x轴轴垂直，不符合题意； ②当CE＝AE时，∠BAO＝∠ECA＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴l1⊥l2， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 当﹣x+4＝x+2时，解得x＝1， ∴E（1，3）； （3）由（2）可知A（﹣2，0），C（4，0），E（1，3）， ∴AE＝FG＝3CE，AC＝6， ∵F在△ACE内部， ∴线段AE向右上方平移， 设线段AE向上平移m个单位，向右平移n个单位，则F（﹣2+n，m），G（1+n，3+m）， 过点F作FM⊥x轴交于F点，则FM＝m， ∴S四边形CFEG＝3S△ACF， ∴CE×FGFM＝3，即96m， 解得m＝1， ∴F点在直线y＝1上移动且在△ACE内部， 作A点关于y＝1的对称点A'（﹣2，2），连接A'C，交y＝1于点F，此时△CF的周长最小， ∴AC+AF+CF＝AC+A'C＝6+2， ∴△ACF的周长最小值为6+2． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离是解题的关键． 31．定义：我们把称为y＝ax+b（a≠0，b，c为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出y＝2x﹣3的其中一个互倒一次函数yx+1　 ； （2）如图1，y＝3x与是一对互倒一次函数，点A是y＝3x在第一象限图象上的任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，交于点C．求证：△AOB∽△OCB； （3）如图2，与（d≠0）相交于点Q，与y轴相交于点P，请判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （2）设OB＝3a，求得A（3a，9a），C（3a，a），所以OA＝9a，BC＝a，则，3，所以，即可得证； （3）由yd得，当x＝0时，y＝d，所以与y轴相交于点P（0，d），由，得Q，则PQ，，然后代入即可求解． 【解答】（1）解：由定义可得，y＝2x﹣3的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：设OB＝3a， ∵AB⊥x轴于点B， ∴∠ABO＝90°， ∵点C在图象上，点A在y＝3x图象上， ∴C点纵坐标为a，A点纵坐标为9a， ∴A（3a，9a），C（3a，a）， ∴AB＝9a，BC＝a， ∴，， ∴， ∵∠ABO＝∠OBC， ∴△AOB∽△OCB； （3）解：是定值，为， 理由：由得，当x＝0时，y＝d， ∴与y轴相交于点P（0，d）， 由， 解得：， ∴， ∴，OQ， ∴． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 32．如图1，在平面直角坐标系xOyxOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，连接AB，OB，OA＝OB，过点A作AC∥OB交x轴负半轴于点C，∠BOC＝150°． （1）求证：△OAB是等边三角形． （2）若OB所在的直线方程为，且点B的纵坐标为2，求直线AC的表达式． （3）过点B作BD⊥BO，且BD＝BO，连接OD，BE是OD边上的中线，连接AD交BE于点F（如图2），请探究AF，BF与DF之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）求出∠AOB＝60°，结合OA＝OB，即可证明△OAB是等边三角形； （2）过点B作BM⊥x轴于点M．先求出∠BOM＝30°，即可求出OB＝4，进入求出A（0，4）设直线AC的表达式为，将A（0，4）代入得b＝4，即可得到直线AC的表达式为； （3）在AD上截取AG＝DF，连接BG．求出∠DBE＝45°．根据等边三角形性质得到AB＝BD，∠BAG＝∠BDF，∠ABD＝150°．证明△BAG≌△BDF，得到BG＝BF．∠ABG＝∠DBE＝45°，∠GBF＝60°，证明△BGF是等边三角形，BG＝GF＝BF，即可得到AF＝DF+BF． 【解答】（1）证明：∵∠BOC＝150°，∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形； （2）解：如图1，过点B作BM⊥x轴于点M． ∵∠BOC＝150°， ∴∠BOM＝180﹣∠BOC＝30°， ∵点B的纵坐标为2，且点B在第一象限， ∴BM＝2， ∵BM⊥x轴于点M， ∴OB＝2BM＝4， ∵△OAB是等边三角形， ∴OB＝OA＝4， ∴A（0，4）， ∵AC∥OB，OB所在的直线方程为， ∴设直线AC的表达式为， 将A（0，4）代入得b＝4， ∴直线AC的表达式为； （3）AF＝BF+DF． 证明如下：如图2，在AD上截取AG＝DF，连接BG． ∵BD⊥BO， ∴∠OBD＝90°． ∵BD＝BO，BE是OD边上的中线， ∴． ∵△OAB是等边三角形， ∴AB＝BD＝BO，∠AOB＝60°， ∴∠BAG＝∠BDF，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝60°+90°＝150°． 在△BAG和△BDF中， ， ∴△BAG≌△BDF（SAS）， ∴BG＝BF．∠ABG＝∠DBE＝45°． ∴∠GBF＝∠ABD﹣∠ABG﹣∠DBE＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴BG＝GF＝BF， ∴AF＝AG+GF＝DF+BF． 【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 33．已知在平面直角坐标系中，A（2，0），点B是直线y＝x上的动点，以AB为边作正方形ABCD，点A，B，C，D按顺时针方向排序． （1）如图，若点D在x轴上，求点C的坐标； （2）当点B不与原点重合时， ①连接AC，猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论； ②过点C作CH⊥y轴，垂足为H，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先根据点D在x轴上的条件，AB⊥x轴，确定点B的坐标，再利用正方形的边长相等、对边平行的性质，直接推导出点C的横纵坐标，再根据CD⊥x求出点C的坐标； （2）①需分两种情况讨论：当点B在第一象限时，由正方形性质得∠BAC＝45°，由（1）知△OAB是等腰直角三角形得∠ABO＝45°，结合∠OAB＝90°，推出∠OAC+∠ABO＝180°，当点B在第三象限时，先由三角形内角和求出∠ABO+∠OAB＝45°，再由（1）得∠OAB+∠OAC＝45°，两式相减得∠ABO＝∠OAC； ②同样分两种情况：过B作BE⊥CH于E，过B作BF⊥y轴于F，过A作AG交BG于G，先证四边形AOFG是矩形得AG＝OF，再证△ABG≌△CBE（AAS）得AG＝CE，由B在y＝x上知△OBF是等腰直角三角形得OF＝BF＝EH，从而CH＝CE+EH＝2OF，最后用勾股定理得，故为定值；第一象限时同理可证． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵点D在x轴上， ∴AB⊥x轴， ∵点A（2，0）， ∴xB＝2，OA＝2， ∵点B在 y＝x上， ∴当x＝2时，y＝2， ∴B（2，2）， ∵AD＝AB＝2， ∴OD＝OA+AD＝4， ∴D点坐标为（4，0）， ∵CD⊥x轴，CD＝AB＝2， ∴点C的坐标为（4，2）； （2）①猜想：∠OAC+∠ABO＝180°或∠ABO＝∠OAC， 当点B在第一象限时，∠OAC+∠ABO＝180°， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， 由（1）知∠AOB＝45°， 在△AOB中，∠ABO+∠AOB+∠OAB＝180°， ∴∠ABO+∠BAC+∠OAB＝180°， ∵∠BAC+∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAC+∠ABO＝180°， 当点B在第三象限时，∠ABO＝∠OAC， 如图，在△AOB 中，∠AOB＝45°+90°＝135°， ∴∠ABO+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝45°， Rt△ABC中，由（1）知∠BAC＝45°，即∠OAB+∠OAC＝45°， ∴∠OAB＝45°﹣∠OAC， ∴∠ABO+45°﹣∠OAC＝45°，即∠ABO＝∠OAC， ②是定值，，理由如下： 过点B作BE⊥CH于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥BF交BF于点G， 当点B在第三象限时， ∵∠BEH＝∠EHF＝∠EFH＝90°， ∴四边形EBFH是矩形， ∴BF＝EH，∠EBF＝90°， 在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝∠EBF，即∠CBE+∠EBA＝∠ABF+∠EBA， ∴∠CBE＝∠ABF， ∵AG⊥BF， ∴∠AGB＝∠CEB＝90°，∠ABG＝∠CBE， ∴△BCE≌△BAG（AAS）， ∴CE＝AG， ∵∠AGB＝∠GFO＝∠AOF＝90°， ∴四边形AOFG是矩形， ∴AG＝OF， 在Rt△OBF 中， ∵B在直线y＝x上， ∴OF＝BF，， ∴AG＝BF＝EH＝CE， ∴CH＝CE+EH＝2OF， ∴； 当点B在第一象限时，如图， ∵∠BFO＝∠FOA＝∠AGF＝90°， ∴四边形OAFG是矩形， ∴AG＝OF， 同理可证，四边形BEHF是矩形， ∴BF＝EH，∠FBE＝90°， ∵点B在直线y＝x上， ∴BF＝OH＝EH， ∵∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠FBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠ABG＝∠CBE， ∵∠AGB＝∠BEC＝90°，AB＝BC， ∴△ABG≌△CBE（AAS）， ∴AG＝EC， ∴OF＝FB＝HE＝CE， ∴CH＝HE+CE＝2FB， 在Rt△OBF 中，根据勾股定理， ∴， 综上，为定值，． 【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、正方形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，解题的关键是正确地作出辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题． 34．如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OA的中点． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若P是x轴正半轴上一点，过点P作PD⊥BC于点D，且PD＝BC，依题意补全图1，并求点P的坐标； （3）如图2，若Q是AB上一点，且∠QCA＝∠BCO，连接OQ，CQ，用等式表示线段OQ，CQ，BC之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）解方程得到A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），设直线BC的函数表达式为 y＝kx+b，解方程组得到直线BC的函数表达式为y＝2x+4； （2）如图，PD即为所画的线段，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DHP＝∠COB＝90°，根据全等三角形 的判定和性质定理得到PH＝BO＝4，DH＝CO＝2，解方程得到H（﹣1，0），于是得到P（3，0）； （3）在CB上截取CR＝CQ，连接OR．根据全等三角形的性质得到AQ＝OR，∠CAQ＝∠COR，由（1）得 A（﹣4，0），B（0，4），求得OA＝OB，根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）由y＝x+4，令y＝0，得x＝﹣4；令x＝0，得y＝4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∵C是OA的中点， ∴C（﹣2，0）， 设直线BC的函数表达式为 y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝2x+4； （2）如图，PD即为所画的线段， 过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DHP＝∠COB＝90°， ∵PD⊥BC， ∴∠PDC＝90°， ∵∠PCD＝∠BCO， ∴∠DPC＝∠CBO， ∵PD＝BC， ∴△PDH≌△BCO（AAS）， ∴PH＝BO＝4，DH＝CO＝2， 由y＝2x+4，令y＝2，得x＝﹣1； ∴H（﹣1，0）， ∴P（3，0）； （3）OQ+CQ＝BC，理由如下： 证明：在CB上截取CR＝CQ，连接OR． ∵∠QCA＝∠BCO，AC＝OC， ∴△ACQ≌△OCR（SAS）， ∴AQ＝OR，∠CAQ＝∠COR， 由（1）得 A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠COR＝∠OAB＝45°， ∴∠BOR＝90°﹣45°＝45°， 在△AOQ与△OBR中， ∵OA＝OB，∠OAQ＝∠BOR，AQ＝OR， ∴△AOQ≌△OBR（SAS）， ∴OQ＝BR， ∵BR+CR＝BC， ∴OQ+CQ＝BC． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 35．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线BC为x轴，直线AB为y轴，点B为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点A坐标为（0，6），点G坐标为（6，4），点F坐标为　（10，4）　 ，点H坐标为（12，0）； ③由点A和点H的坐标求出直线AH的表达式为yx+6　 ． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线AH上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，得到线段GM和线段FN的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为　8　 ． 【迁移探究】如图3，长方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，AB∥CD，点E是边AD上的一点，AE＝AB，BE交AC于点F． （1）请用“建系法”求四边形EFCD的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点F的直线与x轴、y轴分别交于点M、N，当△MBN面积最小时，求出直线MN的表达式； （3）在（2）的条件下，G为线段BM上的一个动点，H点在y轴的负半轴上，若GM+BH＝GH，则∠GFH的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 【分析】【初步运用】按照阅读材料解答即可； 【迁移探究】 （1）过点F作FK⊥AD于K，以BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，运用待定系数法求得直线AC，OE的解析式，再联立方程组求解即可求得点F的坐标，再利用S四边形EFCD＝S△ACD﹣S△AEF，即可求得答案； （2）设直线MN解析式为y＝kx+b，将点F的坐标代入可得直线MN解析式为y＝kx（1﹣k），进而得出点M，N的坐标，则S△MBNBM•BN（﹣k），利用完全平方公式和非负数的性质求得k的值，再利用待定系数法即可求得答案； （3）在BN上截取BE＝GM，连接EF，FG，GH，FH，可证得△FMG≌△FBE（SAS），△FEH≌△FGH（SSS），再结合等腰直角三角形性质即可求得答案． 【解答】解：【初步运用】 解题思路：①如图2，以直线BC为x轴，直线AB为y轴，点B为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点A坐标为（0，6），点G坐标为（6，4），点F坐标为（10，4），点H坐标为（12，0）； ③设直线AH的表达式为y＝kx+b，把H（12，0），A（0，6）代入，得， 解得：， ∴由点A和点H的坐标求出直线AH的表达式为yx+6． ④∵点M的横坐标为6，且点M在直线AH上， ∴y6+6＝3， ∴点M的纵坐标为3． ⑤∵点N的横坐标为10， ∴y10+6＝1， ∴点N坐标为（10，1）， ∵G（6，4），F（10，4）， ∴GM＝4﹣3＝1，FN＝4﹣1＝3，FG＝10﹣6＝4， ∴S阴影FG•（GM+FN）4×（1+3）＝8， 故答案为：②（10，4），③yx+6，⑤8； 【迁移探究】 （1）如图，过点F作FK⊥AD于K，以BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系， 则A（0，4），B（0，0），C（6，0），D（6，4），E（4，4）， 设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx+4， 同理可得直线OE的解析式为y＝x， 联立得， 解得：， ∴F（，）， ∴FK＝4， ∴S四边形EFCD＝S△ACD﹣S△AEF AD•CDAE•FK 6×44 ； （2）由（1）知F（，）， 设直线MN解析式为y＝kx+b，则k+b， 解得b（1﹣k）， ∴y＝kx（1﹣k）， 当x＝0时，y（1﹣k）， 当y＝0时，kx（1﹣k）＝0， ∴x（1）， ∴M（（1），0），N（0，（1﹣k））， ∴BM（1），BN（1﹣k）， ∴S△MBNBM•BN（1）（1﹣k）（1k+1）（﹣k）， ∵﹣k＞0，0， ∴﹣k（）2+2， ∵（）2≥0， ∴﹣k2，当且仅当﹣k时﹣k2为最小值， ∴﹣k＝1，即k＝﹣1， ∴直线MN的表达式为y＝﹣x； （3）∠GFH＝45°，大小不变，理由如下： 如图，在BN上截取BE＝GM，连接EF，FG，GH，FH， 由（2）知BM＝BN，∠MBN＝90°， ∴△MBN是等腰直角三角形， ∴∠FMG＝∠FBE＝45°，FM＝FB，∠BFM＝90°， 在△FMG和△FBE中， ， ∴△FMG≌△FBE（SAS）， ∴FG＝FE，∠MFG＝∠BFE， ∵∠MFG+∠BFG＝90°， ∴∠BFE+∠BFG＝90°，即∠EFG＝90°， ∵GM+BH＝GH， ∴BE+BH＝GH，即EH＝GH， 在△FEH和△FGH中， ， ∴△FEH≌△FGH（SSS）， ∴∠EFH＝∠GFH∠EFG＝45°， ∴∠GFH的大小不变，∠GFH＝45°． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题是解题关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $