专题02 计数原理 5大考点期末训练-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦计数原理核心方法，以“原理-技巧-综合”递进逻辑构建训练体系，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两大计数原理|多题型覆盖|分类加法/分步乘法原理应用|从基础计数到实际情境建模| |排列限制条件|多情境题|捆绑法/插空法/特殊位优先|限制条件下的有序排列推理| |组合分组分配|易错点题|平均分组去重/非平均分组|无序分组与分配的逻辑辨析| |二项式定理|公式应用题|通项公式求指定项/系数|组合数与二项式系数的关联| |计数综合|综合题|排列组合混合/二项式综合|多考点融合的综合解题能力|

专题02 计数原理 5大高频考点概览 考点01两大计数原理基础应用题 考点02 排列限制条件专题（捆绑、插空、特殊位） 考点03 组合分组分配、平均分组易错点 考点04 二项式通项、指定项、系数与二项式系数 考点05 计数综合（排列组合混合、二项式综合） 地 城 考点01 两大计数原理基础应用题 1、 单选题 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（    ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 3．（25-26高二下·湖北·期中）用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 4．（25-26高二下·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）.集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（    ） A．11 B．12 C．8 D．6 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．36 C．48 D．60 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 9．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 10．（25-26高二下·福建厦门·期中）无重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．136 B．328 C．360 D．720 2、 多选题 11．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 12．（2025·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ）. A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 13．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）在下列图形中，能够不抬起笔､不回笔地一次性画出的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026高三·全国·专题练习）有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，则（   ） A．取两本书中，一本数学、一本语文，有90种不同取法 B．取两本书中，一本语文、一本英语，有72种不同取法 C．取两本书中，一本数学、一本英语，有18种不同取法 D．任取两本不同类的书，共有不同的取法种数为242 3、 填空题 15．（2026·福建泉州·模拟预测）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法是_________种． 16．（2026·海南海口·模拟预测）如图由4条水平方向的平行线和5条竖直方向的平行线围成的图形中共有______个不同的平行四边形； 17．（25-26高二下·河北石家庄·期中）书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 地 城 考点02 排列限制条件（捆绑、插空、特殊位） 1、 单选题 1．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（     ） A．504 B．480 C．360 D．240 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 3．（25-26高二下·天津·期中）从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 8．（25-26高二下·吉林长春·期中）学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（    ） A．1152 B．1278 C．960 D．962 9．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（     ） A．12种 B．18种 C．20种 D．24种 10．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 12．（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 13．（25-26高二下·河北沧州·期中）从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（   ） A．6种 B．10种 C．12种 D．36种 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 2、 填空题 15．（25-26高二下·吉林长春·期中）用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 16．（25-26高二下·吉林通化·期中）本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 17．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 18．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________． 19．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有_______种． 20．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有__________. 21．（25-26高二下·重庆·期中）为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答） 22．（2026·河南·模拟预测）北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕.本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成、、三组比赛.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去组，则组委会一共有______种安排方法. 23．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 24．（25-26高二下·安徽安庆·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演.若甲不站在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有__________种. 25．（25-26高二下·上海·期中）背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 地 城 考点03 组合分组分配、平均分组易错点 1、 单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．40 B．36 C．30 D．12 2．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 3．（2026·全国二卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 5．（25-26高二下·河南郑州·期中）2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？   （   ） A．90 B．100 C．150 D．180 6．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 7．（2026·河南·模拟预测）将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 8．（25-26高二下·北京·期中）某班班会课组织了学长交流活动，将参加活动的3名高校学长与6名同学分成三组，每组1名学长与2名同学，不同的分法共有（    ） A．15种 B．90种 C．180种 D．540种 9．（25-26高二下·山东青岛·期中）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 10．（2026·河北保定·模拟预测）某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 11．（25-26高二下·云南红河·期中）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．240 B．360 C．600 D．320 12．（25-26高二下·湖北十堰·期中）有4名护士到某医院实习，该医院将这4名护士分到心内科､心外科､骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（    ） A．40 B．36 C．24 D．48 13．（2026·广东广州·三模）某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·江苏南通·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 2、 填空题 15．（25-26高二下·广东江门·期中）年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 16．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 18．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 19．（25-26高二下·上海松江·期中）将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是_______． 20．（25-26高二下·湖北·阶段检测）现有件不同的玩具，本不同的漫画分给甲、乙两个小孩，玩具每人个，漫画其中一人本，一人本．则不同的分配方案有________种．（用数字作答） 21．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 22．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将本不同的书全部分给甲乙丙三人，一人得1本，另两个人各得2本，则不同的分法总数为 ______. 24．（2026·河南开封·模拟预测）已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7，则该密码共有______种可能. 地 城 考点04 二项式通项、指定项、系数与二项式系数 1、 单选题 1．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 2．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 3．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的常数项为（  ） A．15 B．20 C．40 D．60 5．（2026·河北邢台·三模）已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（    ） A．2 B．1 C．- 2 D．- 1 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 7．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 8．（25-26高二下·北京通州·期中）已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（2026·河北·三模）已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．12 B．6 C．-16 D．-18 11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若 的展开式中的系数为，则（   ） A．10 B．15 C． D． 12．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 2、 填空题 13．（25-26高二下·云南大理·期中）的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 14．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为__________． 15．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为_________． 16．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为_________． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为___________. 18．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 19．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）展开式中含项的系数为__________． 20．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 22．（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 23．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 24．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）设i为虚数单位，则___________． 地 城 考点05 计数综合（排列组合混合、二项式综合） 1、 单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（     ）种 A．12 B．18 C．36 D．72 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州黔南·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东泰安·三模）若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 6．（24-25高二下·四川德阳·期末）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（    ）种． A．9 B． C． D． 9．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（    ） A．144种 B．200种 C．224种 D．288种 10．（25-26高二下·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 11．（2026·河南·模拟预测）“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．81种 12．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 13．（2026·河南安阳·模拟预测）某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 2、 多选题 14．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有42种 C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 15．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（   ） A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C．3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种 D．每名女生旁边都有男生的概率为 16．（25-26高二下·广东梅州·期中）现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（   ） A．五位学生去实习的不同安排方案有125种 B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 17．（25-26高二下·吉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B．7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D．把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 18．（25-26高二下·广东广州·期中）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有128种 C．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 D．可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种 19．（25-26高二下·广东佛山·期中）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种 B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 20．（25-26高二下·四川泸州·期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 21．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有6本不同的书需要分配，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有360种不同的分配方式 B．平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分配方式 C．甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有90种不同的分配方式 D．甲得1本，乙得1本，丙得4本，有30种不同的分配方式 3、 填空题 22．（2026·河南驻马店·模拟预测）在今年”五一”的5天长假中，某单位欲从甲、乙等6名安保人员中随机选取5人来安排5月1日至5日的值班，每人值一天班，则甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班的概率为_________. 23．（25-26高二下·北京·期中）在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 24．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 25．（25-26高二下·山东济宁·期中）5人去孔府、孔庙、孔林三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，则不同的游览方法的种数为______．（用数字回答） 26．（25-26高二下·福建厦门·期中）城区某中学安排5位老师到A，B，C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有________种. 27．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有_____种. 28．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 29．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为__________（用数字作答）． 30．（2026·四川攀枝花·二模）现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 31．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 32．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 33．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 5大高频考点概览 考点01两大计数原理基础应用题 考点02 排列限制条件专题（捆绑、插空、特殊位） 考点03 组合分组分配、平均分组易错点 考点04 二项式通项、指定项、系数与二项式系数 考点05 计数综合（排列组合混合、二项式综合） 地 城 考点01 两大计数原理基础应用题 1、 单选题 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意，得若选中的同学来自1班，则有4种选择方案； 若选中的同学来自2班，则有6种选择方案； 若选中的同学来自3班，则有3种选择方案． 由分类加法计数原理，得共有种选择方案． 2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（    ） A．12种 B．10种 C．7种 D．5种 【答案】A 【分析】由分步计数原理结合题设可得答案. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案. 3．（25-26高二下·湖北·期中）用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【分析】分三类，即一位整数，两位整数和三位整数. 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个． 4．（25-26高二下·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 【答案】D 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）.集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（    ） A．11 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】先利用计数原理得出所有的个数，再减去重复数字即可. 【详解】分两种情况讨论： 情况一，从集合A中取数作横坐标，从集合B中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 情况二，从集合B中取数作横坐标，从集合A中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 两种情况中，重复计算了横、纵坐标均来自集合 的点，即点 ， 因此，所有不同点的个数为 . 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【分析】先确定最大数与最小数之差为3的数对组合为(1，4)、(2，5)两类，分别计算每类符合要求的抽取方法数，相加得到总方法数. 【详解】由卡片数字取值为1~5，可得三个数的最大数与最小数之差为3时， 对应的（最小数，最大数）组合仅为和两类，且两类情况互斥，分别计算如下： 当最小数为1、最大数为4时，三次抽取的数字均属于集合， 且必须至少包含1个1和1个4. 由容斥原理，该类方法数为： ， 当最小数为2、最大数为5时，三次抽取的数字均属于集合， 且必须至少包含1个2和1个5， 同理可得该类方法数也为18种. 因此总抽取方法数为种. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 8．（25-26高二下·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 【答案】A 【详解】 对于A，如图， 正方体的8个顶点要求相邻顶点颜色不同，需两种颜色即可： 例，对，有1种颜色，对需要另1种颜色， 故需2种颜色即可满足要求； 对于B，正八面体是由同底的两个正四棱锥组成，共6个顶点， 上顶点为，下顶点为，中间四个顶点：； 与相连，与相连，要求相邻顶点颜色不同，需3种以上颜色即可. 例，对涂第1种颜色，那么必须涂第2种颜色，要使满足题目要求， 必须对再分色涂，至少需3种颜色即可满足要求； 对于C，正三棱台的上下两个面为两个正三角形，侧棱连接对应顶点，共6个顶点， 上底面顶点为，，；下底面顶点为，，； 当上底面，，顶点两两相连，满足题目要求需3种颜色去涂， 故正三棱台至少需3种颜色满足要求； 对于D，假设正四面体的4个顶点分别为，用颜色1涂，用颜色2涂， 要与，颜色不同，只能用颜色3涂，要与顶点的颜色不同， 只能用颜色4，所以要使正四面体相邻顶点颜色不同，至少需4种颜色即可； 故A选项正确. 9．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理得到方程，求出. 【详解】甲地经乙地到丁地的路线共有条， 甲地经丙地到丁地的路线共有条， 故从甲地到丁地路线条数为， 所以，解得. 10．（25-26高二下·福建厦门·期中）无重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．136 B．328 C．360 D．720 【答案】B 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】当末尾数字是时，无重复数字的三位偶数的个数为， 当末尾数字是时，无重复数字的三位偶数的个数为， 综上，无重复数字的三位偶数的个数为. 2、 多选题 11．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 【答案】AC 【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：先取数学书（第一步），再取语文书（第二步），或相反步骤， 两步都完成，才算完成这件事，故属于分步计数问题，故A正确； 选项B：分步乘法计数原理是指完成一件事需要多个步骤，只有完成所有步骤， 才算完成整件事，故B错误； 选项C：分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确； 选项D：在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，故D错误. 12．（2025·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ）. A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 13．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）在下列图形中，能够不抬起笔､不回笔地一次性画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据节点处连接的线为偶数条则能一笔画，奇数条不能一笔画求解. 【详解】将各图形绘制经过点的顺序描绘如下（顺序不唯一）： A. B. D. 故ABD均正确； 对于C选项，图中存在4个节点处与5条线相连接， 无法用任何方式将其不抬起笔､不回笔地一次性画出，故C错误. 故选：ABD. 14．（2026高三·全国·专题练习）有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，则（   ） A．取两本书中，一本数学、一本语文，有90种不同取法 B．取两本书中，一本语文、一本英语，有72种不同取法 C．取两本书中，一本数学、一本英语，有18种不同取法 D．任取两本不同类的书，共有不同的取法种数为242 【答案】ABD 【分析】先分别计算两类书籍各取一本的取法数，再求和得到总取法数，逐一判断选项即可. 【详解】选项A：取1本数学书、1本语文书，从10本不同数学书中选1本有10种选法， 从9本不同语文书中选1本有9种选法，由分步乘法计数原理，共有种不同取法，A正确. 选项B：取1本语文书、1本英语书，从9本不同语文书中选1本有9种选法，从8本不同英语书中选1本有8种选法， 由分步乘法计数原理，共有种不同取法，B正确. 选项C：取1本数学书、1本英语书，从10本不同数学书中选1本有10种选法， 从8本不同英语书中选1本有8种选法，由分步乘法计数原理，共有种不同取法，不是18种，C错误. 选项D：任取两本不同类的书，分为三类：数学+语文共90种、数学+英语共80种、语文+英语共72种， 由分类加法计数原理，总取法为种，D正确. 3、 填空题 15．（2026·福建泉州·模拟预测）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法是____________种． 【答案】180 【详解】根据分步乘法计数原理，按顺序安排三人站位： 安排甲的站位：共有6级台阶可选，因此甲有6种不同站法； 安排乙的站位：要求甲、乙不站同一台阶，排除甲已选择的台阶，乙有6−1=5种不同站法； 安排丙的站位：已知每级台阶最多站2人，此时甲、乙分属不同台阶，各级台阶至多仅站1人，丙有6种不同站法. 综上，不同的总站法种数为. 16．（2026·海南海口·模拟预测）如图由4条水平方向的平行线和5条竖直方向的平行线围成的图形中共有______个不同的平行四边形； 【答案】 【详解】从 4 条水平方向的平行线中选 2 条，有种选法， 从 5 条竖直方向的平行线中选 2 条，有种选法， 根据分步乘法计数原理得总平行四边形个数为. 17．（25-26高二下·河北石家庄·期中）书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 【答案】 【详解】由分步计数原理可知，不同的选法种数为种. 地 城 考点02 排列限制条件（捆绑、插空、特殊位） 1、 单选题 1．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有（     ） A．504 B．480 C．360 D．240 【答案】C 【分析】考虑到“礼”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法. 【详解】“礼”与“御”的相对位置有2种（“礼”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 所求排法数为种，即课程“礼”必须排在“御”前面的不同排法共有360种. 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理及有限制条件的排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，甲、乙两人至少有1人参加， 当甲乙两人都参加时，不同参赛安排方案数为种； 当甲乙之一参加时，不同参赛安排方案数为种， 所以所求参赛方案种数为. 3．（25-26高二下·天津·期中）从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式求解. 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数不含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 4．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据题意，利用总的排列数减去不符合条件的排列数即可. 【详解】由题意得，特定门课的全排列总数为 种， ①数学排在下午第节，则剩下的门课全排列，排法数为种； ②语文和外语连排，首先内部有种排列（语外或外语）， 由于上午第节和下午第节不算连排，因此连排的节次组合有，共种位置组合， 剩下的门课全排列，则排法数：种； ③数学在下午第节，且语文外语连排， 数学固定在下午第节（第节），语文和外语连排，可能的连排位置组合有，共种位置组合，剩下的门课全排列， 则排法数为种； 因此符合条件的排法数为种； 又因为第门课有种选择（政、史、地、生），且每种选择下的排列情况是相同的， 因此总排法为种，故B正确. 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 【答案】B 【分析】采用间接法求解，先计算无约束的总安排数，扣除小王值1日、小李值3日的不符合情况，再加回重复扣除的小王值1日且小李值3日的情况. 【详解】计算无约束条件的总安排数： 从6人中选2人值7月1日，剩余4人选2人值7月2日，最后2人值7月3日，总方法数为 计算不符合要求的情况： 小王值7月1日：1号已确定小王，从剩余5人中选1人同值1号，剩余4人分两组值2、3日，方法数为 小李值7月3日：3号已确定小李，从剩余5人中选1人同值3号，剩余4人分两组值1、2日，方法数为 小王值7月1日且小李值7月3日：1号从剩余4人中选1人，3号从剩余3人中选1人，剩下2人值2号，方法数为 符合要求的安排数为，即不同的值班方法有42种. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 8．（25-26高二下·吉林长春·期中）学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（    ） A．1152 B．1278 C．960 D．962 【答案】A 【分析】总共分三步：第一步，4个音乐节目在第的位置，第二步，为保证3个舞蹈节目不相邻，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位共三个位置安排舞蹈节目，第三步，2个曲艺节目在剩余位置，根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】第1个节目和最后1个节目已确定，只需安排其余9个位置： 第一步，4个音乐节目在第的位置，安排方法有种； 第二步，3个舞蹈节目，空余位置为，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位， 安排方法有种； 第三步，此时剩余的2个位置必然不相邻，满足2个曲艺节目不相邻，安排方法有种. 由分步乘法计数原理知，总安排方法为种. 9．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（     ） A．12种 B．18种 C．20种 D．24种 【答案】B 【详解】第一步：安排周一的直播窗口，邢窑不能在周一，因此从除邢窑外的其余3大名窑中选1个安排在周一，共3种选择； 第二步：安排周二、周三的直播窗口，从剩余的3个名窑中任选2个进行全排列，排列数为种； 总安排方法数为：种 10．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，两种无人机必须交错排列， 即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位； 架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位， 所以不同的飞行队形种数为种. 12．（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 【答案】C 【详解】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 13．（25-26高二下·河北沧州·期中）从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（   ） A．6种 B．10种 C．12种 D．36种 【答案】D 【分析】分类讨论甲是否参加活动，再根据特殊元素法结合排列数分析求解即可. 【详解】当甲参加活动时，因为甲只参加A项活动， 先把甲安排到A项活动，然后再从剩下的4人中任选2人，再安排到B，C两项活动， 共有种方案； 当甲不参加活动时，因为其他人都没有要求， 先从剩下的4人中任选3人，然后再安排到A，B，C三项活动中， 共有种方案； 由加法计数原理，共有种方案． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】C 【分析】根据题意，节目甲被安排在前两个节目演出，可分节目甲被安排在第一个节目演出和节目甲安排在第二个节目演出，两种情况分类讨论，结合节目乙、丙前后出场，利用排列数公式，即可求解. 【详解】节目甲被安排在前两个节目演出，可分两种情况讨论： ①节目甲被安排在第一个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则此时共有四个元素全排列，有种安排方法， 因为节目乙、丙须考虑两者的顺序，有2种情况，则有种安排方法； ②节目甲安排在第二个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则节目乙、丙前后出场的位置有3个，且须考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方法， 由分类计数原理得，共有种安排方法． 2、 填空题 15．（25-26高二下·吉林长春·期中）用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 【答案】108 【详解】分类讨论，根据题意，若用四种颜色时，则有种涂色方法； 若只用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一组是同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有种选法，则共有种涂色方法； 若只用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，则共有种涂色方法， 因此，综上所述，共有种涂色方法. 16．（25-26高二下·吉林通化·期中）本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】3600 【分析】先采用捆绑相邻的元素，在插空处理不相邻的元素，使用分分步乘法原理计算出总方案即可. 【详解】把3班和4班捆绑为1个整体，且3班必须要在4班之前，所以内部只有1种排列顺序， 除去1班和2班，剩下的元素为3班和4班整体加上其余四个班级，共5个元素，共有种排法， 5个元素排好后共产生6个空位，从6个空位中选2个插入1班和2班，有种排法， 因此总方案共有种. 17．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 18．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________． 【答案】 【分析】首先由排列数公式可得甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排的情况数目，进而分3步计算两兄弟之间恰有三人的情况数目，①甲乙兄弟二人，②从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，③把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率计算可得答案． 【详解】甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排，有种情况， 要使得两兄弟之间恰有三人的，可以先排甲乙兄弟二人有种方法， 再从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，有种方法， 再把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列共种方法， 所以两兄弟之间恰有三人的情况有种， 所以其概率为. 19．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有_______种． 【答案】60 【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可求解． 【详解】若甲站在正中间，则共有种排法， 若甲不站在正中间，先排甲有种，再排乙有种，最后三人任意排有种， 则共有种排法， 综上，共有种不同排法． 20．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有__________. 【答案】28 【分析】首先列出相加为7的三个数字的所有可能，再求出每个组合的排列数即可. 【详解】由题意知，构成一个“安康数”的三个数字可能为 型（表示由1个7，两个0构成，下同）有1个；型有个；型有个；型有个；型有个；型有个；型有个；型有个. 所以组合能构成的“安康数”的个数有：个. 21．（25-26高二下·重庆·期中）为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答） 【答案】 【分析】先计算满足前两个位置限制的所有排列数，再用捆绑法计算其中2、3班相邻的排列数，利用对立事件的思想，两者相减得到同时满足三个条件的结果. 【详解】①满足“1班不在第1位、6班不在第6位”的排列数： 总排列数为，减去“1班在第1位”的排列数，减去“6班在第6位”的排列数， 再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数， 因此： . ②满足“1班不在第1位、6班不在第6位，且2班与3班相邻”的排列数： 将2班与3班捆绑为一个整体，内部有种排列方式，此时转化为对5个元素的排列问题， 总排列数为，减去“1班在第1位”的排列数， 减去“6班在第6位”的排列数， 再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数， 因此： , 综上所述，符合全部条件的排列数为： . 22．（2026·河南·模拟预测）北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕.本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成、、三组比赛.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去组，则组委会一共有______种安排方法. 【答案】24 【分析】根据分类加法计数原理，分类计算求解. 【详解】因为4名志愿者去三个组，每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者， 则出现1、1、2分组情形，因为甲不去组，则有两种情形， 情形1：甲单独一组，则有种安排方法， 情形2：甲与乙、丙、丁中的一人组成一组，则有种安排方法， 所以组委会一共有24种安排方法. 23．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 【答案】120 【分析】将队伍从左到右依次按1到7编号，先将队长甲固定在4号位，再考虑乙和丙必须相邻的排法种数，接下来分情况讨论小朋友丁不能站在边上的情况，最后找出符合条件的排法种数. 【详解】将队伍从左到右依次按1到7编号，其中队长甲必须站在正中间的4号位置， 因为好友乙和丙必须相邻，可能的相邻位置组为：，，，. 乙丙内部有种排列，所以乙丙的位置选择有种. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为3、5、6、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选3、5、6三个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为1、2、3、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选2、3两个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法， 综上，符合条件的排法共有种 24．（25-26高二下·安徽安庆·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演.若甲不站在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有__________种. 【答案】24 【详解】乙和丙捆绑在一起与其余3个元素一起排列有， 其中甲站在两端的排法有， 所以甲不站在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有. 25．（25-26高二下·上海·期中）背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【分析】将“math”按固定顺序视为整体，结合字母卡片的重复情况计算符合条件的排列数，再利用古典概型公式求解概率. 【详解】总事件数为9张不同序号卡片的全排列数，即. 事件A为字母序列中出现连续的“math”单词， 需从1张m、2张a、2张t、1张h卡片中各选1张（m、h选法各1种，a、t选法各2种）， 按顺序组成一个整体，该整体内部顺序固定. 将此整体与剩余5张卡片（含1张剩余a、1张剩余t、f、e、r）共6个元素全排列， 排列数为，因此事件A的排列数为. 所以概率为：. 地 城 考点03 组合分组分配、平均分组易错点 1、 单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．40 B．36 C．30 D．12 【答案】B 【详解】张连号有，，，；张连号有，，， 若有两组2张连号和一张单牌，则连号组合可以是，或，或，共种， 再将其分给三个人共有种； 若有一组3张连号和两张单牌，则连号组合可以是或或， 则分给三个人共有种， 故不同的分法种数为. 2．（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 3．（2026·全国二卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】C 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 5．（25-26高二下·河南郑州·期中）2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？   （   ） A．90 B．100 C．150 D．180 【答案】C 【分析】分1，1，3和2，2，1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组， 可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的方法． 6．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合求解即可． 【详解】当5人中恰有三人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人中恰有四人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人全部被录用，则不同的录用情况数为； 故不同的录用情况数为． 7．（2026·河南·模拟预测）将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 【答案】C 【分析】本题可采用隔板法求解，通过“借元”将原问题转化为每个盒子非空的情形进行计算. 【详解】将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在9个相同的小球中间所形成的8个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为（种）. 8．（25-26高二下·北京·期中）某班班会课组织了学长交流活动，将参加活动的3名高校学长与6名同学分成三组，每组1名学长与2名同学，不同的分法共有（    ） A．15种 B．90种 C．180种 D．540种 【答案】B 【详解】先将6名学生平均分成3组，有种不同分组方法， 再将三组分给三名学长，有种分法. 由分步乘法计数原理，满足条件的分法有种. 9．（25-26高二下·山东青岛·期中）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 【答案】C 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 10．（2026·河北保定·模拟预测）某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 【答案】A 【分析】组合问题，特殊位置优先安排，先安排路口C，再安排路口A，B即可求解. 【详解】因为每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C， 所以路口C还缺1人，从剩下的5人中选一人到路口C，有种选法； 从剩下的4人中再安排两人到路口A，有种选法； 将剩下的2人安排到路口B，有种选法. 由分步乘法计数原理知不同的安排方法数为种. 11．（25-26高二下·云南红河·期中）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．240 B．360 C．600 D．320 【答案】A 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下三个研学活动各有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 12．（25-26高二下·湖北十堰·期中）有4名护士到某医院实习，该医院将这4名护士分到心内科､心外科､骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（    ） A．40 B．36 C．24 D．48 【答案】B 【详解】依题意，先将4名护士分成三组，有种方法； 再分配到三个科室，有种方法. 所以共有种分配方案. 13．（2026·广东广州·三模）某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出均分成3组的分法数，再求出小明和小红出现在同一组的分法数并求出概率. 【详解】将12名志愿者随机平均分成3个小组，有种方法， 其中小明和小红出现在同一个小组，有种方法， 所以小明和小红出现在同一个小组的概率为. 14．（25-26高二下·江苏南通·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 【答案】C 【分析】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放；若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放，再利用分组分配求解. 【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放， 若按照1:2:2来放：有种， 若按照1:1:3来放：有种， 若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放， 共有种， 故一共有540+360+540=1440种不同的放法. 故选：C. 2、 填空题 15．（25-26高二下·广东江门·期中）年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 【答案】80 【详解】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为和两类， 第一类，按分组，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法； 第二类，按，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法， 则不同的分配方法共有种. 16．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 【答案】114 【分析】根据排列组合知识，结合部分平均分组法、捆绑法求解即可. 【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：， 再将3组进行全排列，方案数 ：， 把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：， 再将3组进行全排列，方案数：， 所以满足上述要求的不同安排方案数为：. 17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 【答案】150 【分析】根据题意，按照和两种方案进行分组分配，利用排列组合公式计算即可. 【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配. 当按照分组时，有种方案； 当按照分组时，有种方案. 故不同的方案有种. 18．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 19．（25-26高二下·上海松江·期中）将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是_______． 【答案】36 【分析】利用先分组再分配的方法求解即可. 【详解】从4张参观券中选择2张组成一组，则有种， 再将这样分出的三组（一组2张，另两组各1张）分给3个人，有种分法 则总的方法数有种. 20．（25-26高二下·湖北·阶段检测）现有件不同的玩具，本不同的漫画分给甲、乙两个小孩，玩具每人个，漫画其中一人本，一人本．则不同的分配方案有________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】先考虑玩具每人个，再考虑漫画其中一人本，一人本，最后用分步计数乘法原理即可求解. 【详解】从件玩具中选件给甲的方案有种， 剩下的件给乙，因此玩具的分配方案有种； 从本漫画中选本给甲的方案有种， 剩下的本给乙， 或者从本漫画中选本给甲，剩下的本给乙，方案同样有种，因此漫画的分配方案有种； 因此不同的分配方案有种. 21．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 【答案】 114 【分析】由题意可得每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3；分类计算再减去不符合题意的情况即可求解. 【详解】每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1或1，1，3； 当按照2，2，1安排时，共有种不同情况； 当按照1，1，3安排时，有种不同情况； 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，将甲、乙视为一个整体， 等价于将4个元素分配到3个馆且每个馆至少1个， 此时分组仅为2，1，1，分组数为，分配到3个馆的分配数为， 因此甲乙同馆的方案数为， ∴满足条件的排列法共有种. 22．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 【答案】12 【详解】由题意知，第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将本不同的书全部分给甲乙丙三人，一人得1本，另两个人各得2本，则不同的分法总数为 ______. 【答案】90 【分析】根据部分平均分组法，结合排列组合知识求解即可. 【详解】一人得本，另两个人各得本，有种分法. 24．（2026·河南开封·模拟预测）已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7，则该密码共有______种可能. 【答案】20 【分析】根据隔板法求解即可. 【详解】已知密码由个正自然数组成，设四个数字分别为， 满足，且. 根据隔板法，解的个数为，共有种可能. 地 城 考点04 二项式通项、指定项、系数与二项式系数 1、 单选题 1．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【分析】此系数由两部分组成，一部分是与中的的积的系数；另一部分是的与中的的积的系数，利用展开式求出中 、的系数，即可得答案. 【详解】要求的系数，即求的系数， 此系数由两部分组成，一部分是与中的项的积的系数； 另一部分是的与中的项的积的系数， 又因为的展开式为， 令，解得， 所以的系数为； 令，解得， 所以的系数为； 所以原式展开式中，即的系数为 2．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 【答案】A 【分析】由二项式展开的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知此二项式展开的通项公式为：， 令，解得， 所以原式二项式展开式中的常数项为. 3．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的常数项为（  ） A．15 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【分析】利用展开式通项求解. 【详解】展开式通项为． 令，得． 所以常数项为． 5．（2026·河北邢台·三模）已知 的展开式中x³的系数为m，所有项的系数之和为n，若 则a=（    ） A．2 B．1 C．- 2 D．- 1 【答案】D 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项，令，求出所有项的系数之和即可求解. 【详解】已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数, 令，则所有项的系数之和 由于若 所以，解得： 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 【答案】B 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 【答案】B 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 8．（25-26高二下·北京通州·期中）已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】分别赋值及，结合二项展开式即可得出答案. 【详解】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 10．（2026·河北·三模）已知的展开式中的各项系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．12 B．6 C．-16 D．-18 【答案】D 【详解】令可得，，解得， 所以的展开式中的常数项为 ． 11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若 的展开式中的系数为，则（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】由. 其中展开式中的系数为， 展开式中项的系数为 则原式展开式中的系数为， . 12．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 【答案】B 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 2、 填空题 13．（25-26高二下·云南大理·期中）的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【详解】 对于的展开式通项为，其中，，，，， 因此，， 所以，故展开式中的系数为. 14．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 【答案】240 【分析】利用二项式系数的性质及所有项的系数和求出，再求出展开式中项系数. 【详解】因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或, 又因为所有项的系数和为1， 令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为， 令，解得，故展开式中的系数为. 15．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为____． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，分别计算含的项，再合并同类项即可求解. 【详解】因为， 所以中的系数为． 16．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为____． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为______. 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求得结果. 【详解】根据二项式定理，的展开式的通项公式为，其中， 的展开式的通项公式为，其中， 因此，要求的展开式中的系数，则， 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 因此的系数为. 18．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 19．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 20．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【答案】60 【详解】二项式的通项公式为： ， 化简得：，令 ，解得. 将代入通项公式，可得项的系数为： . 22．（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 【答案】8 【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 23．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数. 【详解】展开式的第项为：，其中 令，得到，故展开式中常数项为第项. 24．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）设i为虚数单位，则______． 【答案】 【详解】 地 城 考点05 计数综合（排列组合混合、二项式综合） 1、 单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（     ）种 A．12 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为； 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为； 根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种. 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先算出取3个数有几种取法，再计算没有连续的数字的取法有几种，最后拿1减去没有连续的数字的取法的概率得出结果. 【详解】取3个数字有种取法，没有连续的数字的取法 ， ， 一共20种，故至少有两个数是连续数字的概率为. 4．（25-26高二下·贵州黔南·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出将5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的社区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区， 若甲、乙所在社区有人，需从另外人中选人与甲、乙同组， 再将此人组和另外两个人组安排到三个社区，分法种数为种； 若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余人分为一个人组和一个人组， 再将这三组（甲、乙组，人组，人组）安排到三个社区，分法种数为种． 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为． 5．（2026·山东泰安·三模）若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 【答案】B 【分析】根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配. 【详解】先对6张互不相同的优惠券分组，再分配. 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为. 所以不同的分法种数为. 6．（24-25高二下·四川德阳·期末）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 【答案】A 【详解】若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人： 若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（    ）种． A．9 B． C． D． 【答案】C 【详解】总共3个场馆，每个场馆各1人，选出3人后进行全排列： 已知共3名男生，2名女生，且至少有1名女生，则共2种情况，1女2男和2女1男， 不同安排方法有：种． 9．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（    ） A．144种 B．200种 C．224种 D．288种 【答案】D 【分析】分2名男孩相邻和不相邻讨论求解. 【详解】根据题意，当2名男孩相邻不在两边时，排法有种方法； 当2名男孩不相邻不在两边时，有种方法； 所以一共有288种方法. 10．（25-26高二下·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 11．（2026·河南·模拟预测）“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．81种 【答案】A 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验， 则必有1名游客选择2个主题，其余2人各选择1个主题，则体验方法的总数为种. 12．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数，结合隔板法及排列组合综合问题列式求解. 【详解】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 13．（2026·河南安阳·模拟预测）某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 2、 多选题 14．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有42种 C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 【答案】BC 【分析】根据分类、分步计数原理，结合各选项的限制条件逐一计算判断选项. 【详解】选项A中，每个同学都可从3项工作中任选1项，每人有3种选择， 4名同学总安排方法为种，不是，故A错误， 选项B中，恰有一项工作无人参加，先从3项工作中选1项无人参加， 有种选法，再将4人分配到剩余2项工作，排除4人都去同一项的2种情况， 共种分配方法，总方法数为种，故B正确， 选项C中，甲乙不能参加A工作且每项工作都有人，分两类： ①A工作仅1人参加，从丙丁中选1人去A，有种， 剩余3人分配到B、C且两项都有人，共种， 此类共种，②A工作有2人参加，即丙丁都去A， 剩余甲乙分别去B、C，有种，总方法数为种，故C正确， 选项D中，每项工作都有人，需先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法， 再将三组分配到3项工作，有种，总方法数为种，故D错误. 15．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（   ） A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C．3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种 D．每名女生旁边都有男生的概率为 【答案】BCD 【分析】根据排列、组合知识，结合捆绑法、插空法及古典概型的概率公式求解判断即可. 【详解】对于A，将3名女生捆为1个整体，4名男生捆为1个整体，共2个整体全排列，再分别内部全排列， 总站法：，A错误. 对于B，要让3名女生、4名男生都互不相邻，总人数为7，只能是“男女男女男女男”的排列结构， 总站法：，B正确. 对于C，3名女生顺序固定，可用总排列数除以女生的全排列，站法总数，C正确. 对于D，总排列数为， 若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法， 若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入不与该女生整体相邻的4个空中的1个空，则有种排法， 故每名女生旁边都有男生的概率为，D正确. 16．（25-26高二下·广东梅州·期中）现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（   ） A．五位学生去实习的不同安排方案有125种 B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 【答案】BCD 【分析】A选项：用分步乘法计数原理计算总安排数；B选项：对学生进行分组，再将分好的组进行排列；C选项：用间接法计算即可；D选项：用间接法计算，计算每间工厂都有人的总方案数，再减去每间工厂都有人且甲乙同厂的方案数. 【详解】A：，错误； 选项B，每间工厂都有学生，需要先把5人分成3个非空组，有两种分组情况： 人数按分：种， 人数按分：种， 总方案：种，正确； 选项C，工厂必须有学生，用总方案减去工厂没有学生的方案： 种，正确； 选项D，由B知，每间工厂都有学生，总方案150种，减去甲乙同厂的情况即可： 将甲乙绑定为1个整体，相当于4个元素分到3个工厂，每个工厂非空， 方案数为种， 因此甲乙不同厂的方案数：种，正确. 17．（25-26高二下·吉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B．7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D．把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 【答案】BCD 【分析】对于A，只需考虑依次将5封信投入4个不同的邮筒即得；对于B，先确定去1个人的城市和那个人，再进行部分平均分组，最后全排即得；对于C，用方法总数减去对立事件方法数即得；对于D，可采用先分组分配再全排的方法即可. 【详解】对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误； 对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组， 在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确； 对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法， 而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种， 故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确； 对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确. 18．（25-26高二下·广东广州·期中）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有128种 C．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 D．可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种 【答案】AC 【分析】利用全排列列式计算判断A；利用分步乘法计数原理计算判断B；利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理计算判断C；利用排除法列式计算判断D. 【详解】对于A，没有空盒子的方法共有种，A正确； 对于B，可以有空盒子的方法共有种，B错误； 对于C，没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子有种，C正确； 对于D，可以有空盒子且1号球和2号球放在一个盒子的方法有种， 因此可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法有种，D错误. 19．（25-26高二下·广东佛山·期中）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种 B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 【答案】AC 【分析】对于相同小球的放置问题，可利用隔板法;对于不同小球的放置问题，可根据分步乘法计数原理，结合排列组合的相关知识进行求解。 【详解】对于A，6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故A正确； 对于B，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有种，故B错误； 对于C，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒，先指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4､1､1或3､2､1或2､2､2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子，不同的放法种数为，故C正确； 对于D，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先指定空盒的编号，有种情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5､1或4､2或3､3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中的放法共有，故D错误. 20．（25-26高二下·四川泸州·期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 【答案】AC 【详解】对于A，每个同学都可以从A，B，C三项工作中任选一项，即每个同学都有3种选择方法，共有种，故A正确； 对于B，恰有一项工作无人参加，分两步进行： 从A，B，C三项工作中选一项无人参加，有种； 将4个同学分配到剩余的2项工作中，共有种，同时需排除4个同学都参加剩下2项工作中的某一项，有2种情况，即有种； 所以恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种，故B错误； 对于C，甲，乙两人都不能去参加项工作，可分两种类型： 丙或丁其中1人参加项工作，剩下3个人分配到2项工作中，且每项工作至少1人参加，有种； 丙、丁两人参加项工作，则剩下的2人分配到剩下的2项工作中，每人1项工作，有种； 则甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，不同的安排方法共有12+2=14种；故C正确； 对于D，4人分配到3项工作且每项工作都有人去，只能是2，1，1的分组方式，先从4人中选2人作为一组，有种选法， 剩下2人各为一组；再将这3组分配到3项工作中，有种分配方法；所以，总的安排方法有种；故D错误. 21．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有6本不同的书需要分配，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有360种不同的分配方式 B．平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分配方式 C．甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有90种不同的分配方式 D．甲得1本，乙得1本，丙得4本，有30种不同的分配方式 【答案】ACD 【分析】根据排列、组合的定义，结合分步计数原理依次计算判断即可. 【详解】对于A，先从6本书中选1本，有种分配方法， 再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法， 剩余的是3本书，有种分配方法， 所以总共有（种）分配方法， 将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种）分配方法，故A正确； 对于B，甲先从6本书中选2本，有种分配方法， 乙再从剩余4本书中选择2本，有种分配方法， 丙从剩余2本书中选择2本，有种分配方法，所以共有种分配方法，故B错误； 对于C，先从6本书中选4本，有种分配方法， 再从剩余的2本书中选1本，有种分配方法， 最后还剩1本书，因为在最后2本书的选择中发生了重复， 所以总共有（种）分配方法. 将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种），故C正确； 对于D，完成该事件，分三步，甲选1本，有种选法， 乙从余下的5本书中选1本，有种选法， 余下的4本书留给丙，有种选法， 所以总共有（种）选法，故D正确. 3、 填空题 22．（2026·河南驻马店·模拟预测）在今年”五一”的5天长假中，某单位欲从甲、乙等6名安保人员中随机选取5人来安排5月1日至5日的值班，每人值一天班，则甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班的概率为_________. 【答案】/ 【分析】利用对立事件简化计算，先求甲、乙均不在1日和5日值班的概率，再通过补集思想得到所求事件的概率. 【详解】从6名安保人员中随机选取5人安排5天值班，总排法数为 . “甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班”的对立事件为”甲、乙两人均不在1日和5日值班”， 先从除甲、乙外的4人中选2人安排1日和5日值班，排法数为 ； 再从剩余4人中选3人安排2、3、4日值班，排法数为 . 因此对立事件的排法数为 . 对立事件的概率为 ，故所求概率为 . 23．（25-26高二下·北京·期中）在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 【答案】 【分析】先根据每个景点都有人选，确定分组情况，再结合甲没有选景点，分情况讨论不同的选法种数，将各种情况种数相加即为所有不同选法种数. 【详解】解：由四名学生选三个景点，且每个景点都有人，则必有一个景点有2人，另外两个景点各1人， 情况1，甲单独去一个景点，由甲没有选景点，则甲选景点或，共有种， 由于甲单独在一个景点，因此需将剩下人分配到剩下两个景点， 则有一个景点有2人，另一个景点1人，有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种； 情况2，甲和另外一个人一起去景点或，共有种， 剩下2人选剩下的2个景点，共有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种， 因此，每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为种. 24．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 【答案】 【分析】将甲乙捆绑在一起，与剩下的3个人一起分组，即可求解. 【详解】因为甲、乙在同一天值班，所以甲乙捆绑在一起，与剩下的三人分组分配到三天，分为1，1，2，则有. 25．（25-26高二下·山东济宁·期中）5人去孔府、孔庙、孔林三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，则不同的游览方法的种数为______．（用数字回答） 【答案】150 【分析】分类讨论人数分配，根据捆绑法和特殊元素法，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若景区人数分配为时，则不同的游览方法的种数为； 若景区人数分配为时，则不同的游览方法的种数为； 所以不同的游览方法的种数为. 26．（25-26高二下·福建厦门·期中）城区某中学安排5位老师到A，B，C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有________种. 【答案】150 【详解】不同的安排方式可以分成两类： 第一类：有3名老师安排到一个地方任教，这样的安排方式有种； 第二类：有一个地方安排了1名教师，其余两地各安排2名教师，这样的安排方式有：种. 根据分类加法计数原理，满足条件的安排方法有种. 27．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有_____种. 【答案】1224 【详解】当有2名女生时，不同方案有种， 当有3名女生时，不同方案有种， 则不同的选派方案有种. 28．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【答案】1064 【分析】因为要组成奇数，所以个位必须是奇数，先确定个位数字的选取来源和选法，分两类情况讨论：第一类是从0，1，2，3，4中选1个奇数作为个位，此时要注意0不能在首位，再从剩下的数字中选1个，同时从5，6，7，8，9中选2个数字；第二类是从5，6，7，8，9中选1个作为个位，再从剩下的数字中选1个，同时从0，1，2，3，4中选2个数字；对于每一类，先选数字，再用排列组合的方法计算能组成的无重复数字的奇数个数，最后将两类结果相加. 【详解】情况1：个位是来自第一组（0，1，2，3，4）的奇数（即个位为1或3，共2种选择） 再分两小类： 子情况1a：第一组另一个取到0： 第一组取法：（个位）（取0）种；第二组取2个：种； 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共种排法； 总数：. 子情况1b：第一组另一个不取0： 第一组取法：（个位）种；第二组取2个：种； 前三位无特殊限制，全排列共种排法； 总数：，情况1总个数： 情况2：个位是来自第二组（5，6，7，8，9）的奇数（即个位为5，7，9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a：第一组取出的两个数含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：（取0后再取1个非0）种； 排前三位：0不能放首位，共种排法； 总数：. 子情况2b：第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：种； 前三位全排列共种排法； 总数：，情况2总个数：. 将两类相加：. 29．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 30．（2026·四川攀枝花·二模）现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 【答案】 【详解】满足条件的安排方法有. 31．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 【答案】/ 【详解】由题可知分组后排列共有种方法， 其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为. 32．（25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 【答案】30 【详解】设3所学校分别为A，B，C，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余2人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有6×5=30种不同安排方法． 方法二：先将4人分成三组，共有种分法，其中甲、乙在一组的分法只有一种， 所以满足题意的分组方法有种， 再将三组分配到3所学校，共有种分配方法， 所以不同的安排方法共有种方法. 33．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据不同牌组的组合数进行分类讨论即可. 【详解】题目要求只考虑点数、不考虑花色，点数共种， 我们需要计算从种点数中选取张的不同组合数，按点数重复情况分类计算： 张点数全不同：从种点数选种，共 组； 恰好对点数相同，其余个点数不同：先选相同的点数（种选）， 再从剩余种选个不同点数，共组； 恰好两个不同点数各出现次（两对）：从种选个点数，共组； 恰好张点数相同，剩余张不同： 先选张相同的点数，再选个不同点数，共组； 张点数全相同：共 组. 将所有情况相加得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $