专题二十二 带电粒子在立体空间中的运动 跟踪训练 -2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在立体空间电磁场中的运动，通过运动分解与合成方法，系统构建从基础旋进到复杂偏转的解题体系，强化空间运动模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础对点练-旋进运动|3题|速度分解为垂直/平行磁场分量，螺旋运动周期与螺距公式推导|基于洛伦兹力提供向心力，结合匀速直线与圆周运动合成| |基础对点练-空间偏转|2题|类平抛运动规律应用，三维坐标系中轨迹分析|电场力加速度与洛伦兹力向心力的独立作用与叠加| |综合提升练|6题|多区域场运动分段处理，几何关系确定圆周运动半径|从单一磁场到电磁复合场，逐步深化运动合成与能量转化逻辑|

专题二十二　带电粒子在立体空间中的运动 跟踪训练 基础对点练 1． 选择题： 题组一　带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动 1.如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是(　　) A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里 B．质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为 C．质子做螺旋线运动的周期为 D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为 2.中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 3.(多选)利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如图所示，空间内有正立方体abcd－efgh区域，正方体区域内存在着方向沿ae向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子从a点沿ab方向以速度v0进入空间，粒子恰好通过c点;第一次撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场E1，粒子仍从a点以原速度v0进入电场，粒子恰好通过f点;第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀强电场E2，粒子仍从a点以原速度v0进入场区，粒子恰好通过g点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是(　　) A.电场强度E1大小为v0B B.粒子从a点到c点时间是从a点到f点时间的倍 C.电场强度E2大小为 D.到达g点时速度大小为v0 题组二　带电粒子在立体空间中的偏转 4.如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　) 5.如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l(l≫a)。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为＋q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是(　　) A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为nqπa2v D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql 综合提升练 1． 计算题： 6．如图所示，在空间直角坐标系O-xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)电场强度E的大小； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B的大小。 7.某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板； (2)仅在两板间加沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板； (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上，求电场强度的大小。 8．如图，空间直角坐标系Oxyz中，有两个边长均为L的正方体Ⅰ和正方体Ⅱ，它们的公共界面为M，O点为正方体Ⅰ侧面K的中心，x、y、z轴均与正方体边长平行。正方体Ⅰ空间内在y>0的范围内存在着沿y轴负方向的匀强电场，在y<0的范围内存在着沿y轴正方向的匀强电场，两者电场强度大小相等；正方体Ⅱ空间内在y>0的范围内存在着沿x轴正方向的匀强磁场，在y<0的范围内存在着沿x轴负方向的匀强磁场，两者磁感应强度大小相等。有一质量为m、电荷量为＋q的粒子，以v0的初速度，从y轴上的P点沿z轴正方向进入正方体Ⅰ，之后经过z轴后从Q点垂直穿过界面M进入正方体Ⅱ，最后垂直打在侧面N上。P点为侧面K底边的中点(在电场区域中)，不考虑粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子进入正方体Ⅰ后，经过z轴时的速度大小； (3)磁感应强度的大小。 9.在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E，方向均沿x轴水平向右。在O点，一个α粒子(氦原子核)以速度v0沿与x轴夹角为60°的方向射入电、磁场，已知质子质量为m、电荷量为q，不计α粒子的重力。求： (1)α粒子离x轴的最远距离； (2)α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能。 10.如图所示，以长方体abcd－a'b'c'd'的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a'a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立O－xyz坐标系，已知Oa＝ab＝aa'＝L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中，恰好从a点射出磁场。 (1)求磁场的磁感应强度B的大小; (2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场，让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中，为使粒子能从a'点射出磁场，求电场强度E1的大小; (3)若在长方体中加上电场强度大小为E2＝、方向沿z轴负方向的匀强电场，让该粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中，求粒子射出磁场时与O点的距离s。 11.某离子实验装置的基本原理图如图所示,截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区,Ⅰ区长度d=4R,内有沿y轴正向的匀强电场,Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场,又有沿z轴正向的匀强电场,电场强度与Ⅰ区电场强度等大,现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区,经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区,在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出,最终从右侧截面上的C点飞出,B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示),已知离子质量为m、电荷量为q,不计离子重力,求: (1)电场强度的大小; (2)Ⅱ区中磁感应强度的大小; (3)Ⅱ区L的最小长度。 参考答案： 1.[答案]　D[解析]　将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1＝vsin θ，沿磁场方向的速度v2＝vcos θ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝＝，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为T＝＝，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝v2T＝，选项D正确。 2.[答案]　D[解析]　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则电场力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛＝qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。故选D。 3.[答案]　BC[解析]　设立方体棱长为L，只加磁场时，粒子做圆周运动，恰好通过c点，其半径R＝L，由qv0B＝m，所用时间t1＝;只加电场E1，粒子做类平抛运动，有L＝v0t2，L＝，联立得E1＝2v0B，t2＝，可得，故A错误，B正确;空间同时加磁场和电场E2，粒子做非等距螺旋线运动，粒子恰好通过g点，所用时间t3＝t1＝，沿电场方向有L＝，得E2＝，故C正确;粒子在g点速度vg＝＝v0，故D错误。 4.[答案]　A[解析]　由题意知，当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知质子在MN左侧受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。 5.[答案]　C[解析]　带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r＝a，故A正确，不符合题意；根据qvB＝m，可得粒子的质量m＝，故B正确，不符合题意；管道内的等效电流为I＝nqSv，单位体积内电荷数为，则I＝qπa2v＝nq，故C错误，符合题意；由动量定理可得FΔt＝2nmΔtv，粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力F＝BIl＝nBql，故D正确，不符合题意。故选C。 6.[答案]　　(2) [解析]　(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子的加速度为a，沿z轴正方向看，粒子运动轨迹如图所示 在界面Ⅰ、Ⅱ间，有L＝v0t，＝at2 又qE＝ma 联立解得E＝。 (2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴夹角为θ， 则vy＝at，解得tan θ＝＝1 即θ＝45° 则v＝＝v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，运动轨迹与界面Ⅲ相切，如图所示，有qvB＝m 又根据几何关系有r＋r cos 45°＝L 解得B＝。 7.[答案]　(1)速度应小于等于 (2)v≤ (3)E＝(n＝0、1、2、3…) [解析]　(1)速度与场强垂直的粒子击中N板， 则全部击中N板R＝v0t，d＝at2， 其中a＝＝， 解得v0＝， 所以，速度应小于等于。 (2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子， 做等距螺旋运动，vy＝vsin θ， 根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝， 根据题意可知r≤， 解得v≤。 (3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足t＝T， 根据d＝at2， 其中a＝， 且粒子圆周运动周期T＝， 联立解得E＝(n＝0、1、2、3…) 8.[答案]　(1)　(2)v0 (3)(n＝1,2,3，…) [解析]　(1)设匀强电场的电场强度大小为E， 根据题意得L＝at2 L＝v0t 又qE＝ma，解得E＝。 (2)粒子经过z轴时速度的竖直分量vy＝at 故速度大小为v＝＝v0。 (3)该粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 设磁场的磁感应强度大小为B，粒子做圆周运动的轨迹半径为r， 根据几何关系有2＋x2＝r2或2＋x2＝r2 在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 qBv0＝m，且L＝2nx(n＝1,2,3，…) 联立可得B＝(n＝1,2,3，…)。 9.[答案]　(1) (2)2mv＋ [解析]　(1)由题意可知α粒子的质量为mα＝4m、电荷量为qα＝2q，将α粒子的初速度分解成沿x轴方向的分速度vx与垂直x轴方向的分速度vy，则有vx＝v0cos 60°＝v0，vy＝v0sin 60°＝v0 由于vx与磁场方向平行，不受洛伦兹力影响，电场方向沿着x轴方向，只影响vx，不影响vy，故α粒子在电、磁场中的运动可分解为：垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，沿x轴方向做匀加速直线运动。对于垂直于x轴平面内的匀速圆周运动，有qαvyB＝mα，解得圆周运动半径r＝＝＝， 故α粒子离x轴的最远距离是直径的长度，即为。 (2)α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时，由于在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，可知此过程经历的时间t＝3T＝3×＝，沿x轴方向的匀加速直线运动所通过的位移x＝vxt＋at2，又加速度a＝＝， 解得x＝ α粒子从O点射出后到第3次与x轴相交的过程， 由动能定理有qαEx＝Ek－mαv 联立解得α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能 Ek＝2mv＋。 10.[答案]　(1)　(2)　(3)L [解析] (1)粒子在abcd平面内做匀速圆周运动，如图甲中轨迹1所示 根据几何关系有r＝L 由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 解得B＝。 (2)粒子在电磁复合场中的运动为匀速圆周运动与类平抛运动的合运动， 在长方体中运动的时间t＝ 在y轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则L＝at2 又qE1＝ma，解得E1＝。 (3)将初速度v分解为v1、v2，使v1对应的洛伦兹力恰好与静电力平衡， 分解如图乙所示 即qv1B＝qE2 其中E2＝ 解得v1＝v 根据勾股定理可得v2＝＝2v 由几何关系易知v2与z轴正方向的夹角θ＝60° 若仅在v2对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qv2B＝m 则轨道半径R＝ 解得R＝L 该分运动的情况如图甲中轨迹2所示 粒子在磁场中运动的时间t2＝ 由于粒子也参与速度大小为v1，方向沿x轴正方向的匀速运动，粒子射出磁场时与O点的距离s＝L－v1t2 解得s＝L。 11.[答案] (1)　(2)　(3)πR+R [解析] (1)离子在Ⅰ区做类平抛运动,根据类平抛规律有4R=v0t,t2 根据牛顿第二定律有a= 解得电场强度的大小为E=。 (2)离子在Ⅰ区运动过程中,由动能定理可得qE·mv2- 解得离子到达B点时速度的大小为v=v0 离子在Ⅱ区里,做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动,根据题意可得,在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示 设临界圆轨迹半径为r,根据几何知识有(R-r)2=r2+ 解得离子的轨迹半径为r=R 离子沿y轴正方向的速度为vy=v0 则根据洛伦兹力提供向心力有qvyB= 解得Ⅱ区中磁感应强度大小为B=。 (3)离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为T= 离子在z轴的正方向做匀加速直线运动, 根据匀变速直线运动的位移公式可得L=v0nT+(nT)2 联立解得Ⅱ区的长度为L=nπR+R(n=1,2,3,…) 当n=1时,Ⅱ区的最小长度为Lmin=πR+R。 学科网（北京）股份有限公司 $