湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学综合训练1

**基本信息** 以复数、统计、立体几何、解三角形等核心模块为载体，通过综合题型整合知识逻辑，突出数学抽象、逻辑推理与数据观念的素养考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|4题（如第2、7、9、16题）|结合分层抽样、方差计算与频率分布|从数据处理到统计推断，体现样本估计总体的逻辑| |立体几何|5题（如第3、5、11、15、18题）|含展开图、异面直线、翻折与空间角|以空间想象为基础，构建线面关系判定与空间度量的推理链| |解三角形|3题（如第6、8、17、19题）|涉及三斜求积公式与最值问题|从正弦/余弦定理到面积公式推导，融合几何与代数方法| |向量与复数|3题（如第1、4、14题）|考查投影向量、模与运算|基于向量几何意义与复数代数形式，建立数与形的联系|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期期末数学综合训练1 时间：2026-06-11-18：30-20：30 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数 ,则( ) A. B. C. D. 2.有一组样本数据,,……,,由这组数据得到新样本数据,,……,,其中 (=1,2,…,),,则( ) A.新样本数据的平均数变小 B.新样本数据的方差变大 C.两组数据中位数不变 D.两组数据极差不变 3.如图所示，，是正方体展开图中的两条线段，则原正方体中与所成角为( ) A. B. C. D. 4.已知向量 为单位向量，向量 在 上的投影向量为 则 ( ) A. B. C. D. 5.如图所示，长方体中，，，， 是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是( ) A. B. C. D. 6.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，，，则此人( ) A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 7.在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样.已知抽取了男生 80人，女生 120人，其方差分别为 15，10，由此估计样本的方差的最小值为( ) A.10 B.12 C.13 D.15 8.记的内角,,的对边分别为,,,若， 则 的取值范围是( ) A.(-3,-2) B.(-3,-1) C.(-3,0) D.(-3,1) （第3题图） （第5题图） （第11题图） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.为了更好地支持学生个性发展，某校开设了学科拓展类 、科技创新类 、体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校 5000名学生的选课情况进行了统计，如图1；并用分层随机抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图 2.则（ ） A.满意率调查中抽取的样本容量为5000 B.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C.该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D.若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 10.已知的内角,,的对边分别为,,,则( ) A.若则为锐角三角形 B.若，则为等腰三角形 C.若，则 D.若为锐角三角形,且，则的最小值为8 11.如图所示，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球(桶壁的厚度忽略不计)，其中一个球恰为铁桶的内切球(与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球)，为该球与母线的切点.,分别为铁桶上,下底面的直径,且,,为的中点，则（ ） A.铁桶的母线长为3 B.铁桶的侧面积为 C.直线 与圆台下底面所成角的正切值为 D.桶中另一个球的半径的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12.用简单随机抽样的方法从含有 50个个体的总体中抽取一个容量为 5的样本，则个体被抽到的概率为 . 13.如图所示，河流的一侧是以为圆心的扇形区域，河的另一侧有一建筑物垂直于水平面，假设扇形与处于同一水平面上，记交于.若在，，处看的仰角分别为45°,30°和60°,则∠的余弦值为 . 14.已知 ， 是平面内三个不同的单位向量.若 则 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(13分)如图所示,圆锥中,、为底面圆的两条直径,且,,为母线的中点. (1)求圆锥的侧面积； (2)点在底面圆周的劣弧上,且弧的长为,试判断直线与平面的位置关系，说明理由. 16.(15分)为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为 100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在[50,100),[ 100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分别为,,…….已知 (1)求,的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少? (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”? 17.(15分)在中,内角,,的对边分别为,,,且 (1)求的大小； (2)设，且 ,求的面积. 18.(17分)如图所示,正方形的边长为4,为中点,是边上的动点.将沿翻折到,沿翻折到. (1)求证:平面⊥平面； (2)当是边的中点时,求二面角的余弦值； (3)若,连接,设直线与平面所成角为,求 的最大值. 19.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． （1）用公式证明“三斜求积”公式； （2）若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； （3）在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： 湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期期末数学综合训练1 参考答案 1~8 BDCA DDBB 9.BC 10. BCD 11. ABD 12. 0.1 14. (-1,1) 15. (1) 底面半径r=2, 母线 3分 (2)由题知SP=PB,AO=OB,，则根据中位线性质， , 又PO⊄平面SAE,SA⊂平面SAE, 则PO//平面SAE, ⋯⋯⋯7分 由于 底面圆半径是2，则 又OA=OD,则 于是 又OE⊄平面SAE, AD⊂平面SAE, 则OE//平面SAE, ⋯⋯⋯⋯10分 故平面 POE//平面 SAD, 11 分 又直线PE⊂平面SAD, 则直线PE∥平面SAD. 13分 16(1) 由图知: , 2 分 f₅ +0.05)=0.3, 由于 则f₆=0.1 4分 (2)平均时长为t óf₇=75×0.05+125×0.15+175×0.3+225×0.2+275×0.15+325×0.1+375×0.05=212.5分钟 9分 (3)由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由(1)可知 ⋯⋯⋯10分 故第90百分位数落在第六组，由. 可算出第六组小长方形的高为(0.1÷50=0.002,假设第90百分位数为x，则有(0.85+(x-300)×0.002=0.9, 解得x=325,，故最少需要325分钟 15分 17 (1) 在 中，由 可得 及正弦定理，得 ⋯⋯⋯⋯2分 则. ，整理得 , ⋯⋯⋯4分 而sinA>0, 则 得 所以 6分 (2)由题意得： 即 8分 当 cos A=0时, …9分 所以△ABC的面积 分 当 cos A≠0时,得 由正弦定理得c=2a, 11分 联立方程组 解得 且 分 所以△ABC的面积 综上，△ABC的面积为 15分 18(1)因为ABCD是正方形, E为AB的中点,所以, ,又SD∩SF=S,SD, SF⊂平面 SFD, 所以SE⊥平面SFD, ⋯⋯⋯⋯3分 又SE⊂平面SEF ,所以平面SEF⊥平面SFD; 4分 (2)取 EF的中点 M,依题意得 ，所以二面角S-EF-D的平面角为 ⋯⋯⋯⋯6分 在 中， 所以二面角S-EF-D的余弦值为 分 (3) 设S在面AEF上的射影为O, 连接EO, 则 为直线SE与平面DEF所成角θ,⋯10分 设 贝 在 中， 可得 因为 即 又SE=2,所以 14分 令 令 15分 当 且 时， 则 ,可得g(t)在 (上单调递减, 16分 当 即x=4时, sinθ最大为 17分 19.解（1）证明：因为，由余弦定理得， 所以所以 所以得证． （2）的面积是的面积的2倍，设，，所以 所以当时，面积的最大值为． （3）由题意，将三棱锥补形成与其共外接球的长方体，设其三条边长为，，，则，设四面体的外接球半径为， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 所以 所以 因为 所以 因为 所以当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 法二： 设的外接圆半径为，由正弦定理得，因为，所以，代入上式得，， 所以， 所以 因为 所以 因为 所以 ，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $