专题十八 动态圆、磁聚焦和磁发散 讲义-2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦动态圆（平移圆、旋转圆、放缩圆）及磁聚焦、磁发散核心考点，按模型类型梳理条件、特点及临界分析方法，通过考点界定、典例精讲、真题训练环节，帮助学生构建磁场中粒子运动的解题框架，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出模型建构与科学思维培养，如平移圆模型通过轨迹圆心共线特点分析临界条件，典例结合几何关系突破粒子运动时间、轨迹判断难点。设置选择、计算等分层训练，助力学生高效掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题十八 动态圆、磁聚焦和磁发散 跟踪训练 讲义 考点一　“平移圆”模型 模型 界定 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“平移圆”法 模型 条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上且该直线与入射点的连线平行(或共线) 典例１：(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 [答案]　CD[解析]　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确。 典例2：(双选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力及粒子间的相互作用)，则下列说法中正确的是(　　) A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d D．粒子进入磁场时速度大小为 [答案]　AB[解析]　 根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为t0＝T，则在磁场中转过的圆心角为120°，如图所示，根据几何关系可知R sin ＝d，解得R＝d，C错误；根据T＝可知，v＝＝＝，D错误。 考点二　“旋转圆”模型 模型 界定 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“旋转圆”法 模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝,如图所示. 模型 特点 轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 典例3：如图，纸面内有一水平虚线，垂直于纸面放置的足够长平面感光板ab与虚线平行。ab与虚线间的距离为l，且存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。虚线上有一点状放射源S，可在纸面内向各个方向发射质量为m、电荷量为＋q的同种带电粒子。某一粒子以速率v沿与虚线成θ＝37°角的方向射入磁场，并恰能垂直打到感光板ab上。不计粒子的重力，sin 37°＝0.6。 (1)求粒子射入磁场时的速率v。 (2)若粒子均以速率在纸面内沿不同方向射入磁场，仅考虑能打到感光板ab上的粒子，求： ①粒子在磁场中运动的最短时间； ②感光板ab被粒子打中的长度。 [答案]　(1)　(2)①　②l [解析] (1)粒子恰能垂直打到感光板ab上，所以速度偏转角为53°， 由几何关系有R1＝＝l 洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 解得v＝。 (2)①粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场， 则粒子做圆周运动半径R2＝＝ 如图甲所示，当粒子经过S′时弦长最短，对应时间最短， 根据几何关系有sin ＝＝ 则最短时间t＝·＝。 ②如图乙所示，轨迹恰好与感光板ab相切时，打到最左侧的P点， 由几何关系可知S′P＝＝ 当粒子初速度平行感光板ab时，打到最右侧的Q点， 由几何关系可知S′Q＝S′P＝ 感光板ab被粒子打中的长度s＝S′P＋S′Q＝l。 　　 考点三　“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆 心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 典例4：(多选)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为L的等边三角形ABC内，D是AB边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从D点沿纸面以方向平行于BC边、大小不同的速度射入三角形内，不考虑粒子间的相互作用，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是(　　) A．粒子垂直BC边射出时，半径R等于L B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长 C．粒子可能从C点射出，且在磁场中运动的时间为 D．粒子可能从AB边射出，且在磁场中运动的时间为T [答案]　AD[解析]　根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图甲所示，根据几何关系知半径为L，故A正确； 　 若带电粒子刚好从BC边射出磁场，运动轨迹与BC边相切，可知圆心角为180°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子刚好从AC边射出磁场，运动轨迹与AC边相切，作图可得切点为C点，如图乙所示，可知圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆心角为240°，粒子在磁场中运动的时间为T，若粒子在磁场中运动的时间为T，则它一定从AB边射出磁场，所以速度小的粒子不一 定比速度大的粒子在磁场中运动时间长，故B、C错误，D正确。 考点四　“磁聚焦”与“磁发散”模型 1．“磁聚焦”模型 (1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) (2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。 (3)证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 2．“磁发散”模型 (1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) (2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径 (3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。 典例5：如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是(　　) A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心 B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率v＝从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 [答案]　C[解析]　质子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，可得qvB＝m，又v＝，联立可得r＝R，由几何关系可知，对着圆心入射的质子最后从O点正下方C点射出磁场，出射方向的反向延长线一定过圆心。再假设从任意点E水平射入的质子，做圆周运动的圆心为D，连接两交点及圆心。由于DE∥OC，且DE＝OC，则四边形DEOC是平行四边形，所以DE＝OC＝R，从任意点水平射入的质子也从O点正下方C射出，故A错误，C正确；质子射入磁场中，受到向下的洛伦兹力而向下偏转，因质子的运动半径相同，故从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动经过的弧长更长，则时间更长，故B错误；若质子以相等的速率v＝从同一点沿各个方向射入磁场，质子运动的半径为r＝＝R，则粒子出射方向都是平行的，所以不存在离开磁场的出射方向垂直的情况，故D错误。 典例６：(多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为r [答案]　BC[解析]　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－2)r，C正确，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $