3.1.1函数及其表示方法（第二课时）课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示方法及分段函数，通过水电费明细、植物生长规律、手机套餐费用等实际问题导入，引导学生对比列表法、解析法、图象法的特点，搭建从函数定义到具体表示的认知支架，衔接前后知识。 亮点在于以实例驱动教学，如阶梯水价分段函数、高斯取整函数等，培养数学抽象能力，结合描点作图、待定系数法等环节发展逻辑推理能力。采用思考与发现、例题解析等方法，学生能提升知识应用能力，教师可借助结构化内容高效教学。

人教B版(2019)必修第一册 3.1.1 函数及其表示方法 （第二课时） 第三章 函数 1 学习目标 掌握函数的表示方法，体现数学抽象能力（重点） 掌握分段函数，体现数学抽象能力（重点） 掌握函数图象的作法，体现逻辑推理能力（难点） 2 新课导入 思考一下：应该用哪种函数表示方法，并说明理由： 1.学校公布本学期每个月的水电费明细； 2.科学家研究某植物的生长高度随时间的变化规律； 3.手机套餐中，每月通话费用与通话时长的关系. 列表法适合展示有限的具体数据，解析法适合精准描述普遍规律，图象法适合直观呈现变化趋势.在实际生活中，我们可以根据需求选择合适的表示方法，甚至结合使用.那么这三种表示方法，它们有什么特点和应用场景？ 3 新课学习 解析式法的定义 函数y=f(x)中，绝大多数f(x)都是用代数式(或解析式)来表示的.例如：f(x)=2x+1，这种表示函数的方法称为解析式法. 4 新课学习 列表法的定义 前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. 5 新课学习 思考一下：通过下表，你可以得到什么？ 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 如果将这个函数记为i=f(y)，则从表格中可以看出f(2013)=152.6，f(2015)=171.5. 另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有D={2 008，2 009，2 010，2 011，2 012，2 013，2 014，2015}，S={116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}. 6 新课学习 函数图象定义 前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系. 一般地，将函数y=f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即 F={(x，y)| y=f(x)，x∈A}. 7 新课学习 图象法的定义 如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)；反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上. 用函数的图象表示函数的方法称为图象法. 8 新课学习 描点作图法的定义 从理论上来说，要作出一个函数的图象，只需描出所有点即可. 但是，很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实. 因此，实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法. 9 新课学习 举个例子： 一次函数y=-x+1的图象是一条直线，又易知图象过点(0，1)和(1，0)，所以容易作出其图象，如图所示. 10 新课学习 例4 ：北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180 m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f(x)元．假设0≤x≤260，试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象． 如果x∈[0,180]，则f(x)=5x； 如果x∈[180,260]，按照题意有 f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360 因此 11 新课学习 注意到f(x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为 f (180)=5×180=900， f (260)=7×260-360=1460， 由此可作出函数的图象，如图所示. 12 新课学习 分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 13 新课学习 尝试与发现：函数 被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图象吗？ 可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图象不能形象地展示出来. 14 新课学习 例5：设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数. 如果是，作出这个函数的图象；如果不是，说明理由． 因为当n∈Z且x∈[n，n+1)时，有 y=n 又因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1)的区间内. 因此，给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数. 由上可看出，在每一个区间[n，n+1)内，函数的图象是直线的一部分，由此可作出这个函数的图象，如图所示. 15 新课学习 尝试与发现：依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数． x 6.89 5 π －1.5 －2 y 6         5 3 －2 －2 16 新课学习 高斯取整函数的定义 例5中的函数通常称为取整函数，记作 y= [x]， 其定义域是R，值域是Z. 这个函数早在 18 世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数. 17 新课学习 常数函数的定义 值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数. 也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 例如：f(x)=7， x∈R 是一个常数函数，它的值域是{7}，图象是一条垂直于y轴的直线. 18 新课学习 例6：已知函数y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图象. 函数的定义域为[0,+∞).由 y=在y≥0 时有解可知，函数的值域为 [0,+∞). 通过描点作图法，可以作出这个函数的图象，如图所示. 由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式. 在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成. 19 新课学习 例7：已知二次函数的图象过点(-1,4)，(0,1)，(1,2)，求这个二次函数的解析式． 设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则 由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为 y=2x2-x+1. 20 新课学习 例8：已知 f(x)=x²，求f(x-1). 由已知可得 f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1. 如果设 g(x)=f (x-1)，则有g(x)=x2-2x+1，因此g(x)与f(x)是不同的函数. 21 新课学习 尝试与发现：求出f(0)，f (1)，f (2)的值，再求出f(a)，f (a-1)． 由已知可得 f(0)=0， f(1)=1， f (2)=4， f(a)=a2， f(a-1)=(a-1)2= a2-2a+1. 22 新课学习 探索与研究 已知f(x-1)=x2，你能求出f(x)的解析式吗？试总结f(x)与f(x-1)的关系． 令x-1=t，则x=t+1， 所以f(t)=(t+1)2，所以f(x)=(x+1)2． f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位得到． 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 D 26 课堂练习 27 课堂练习 C 28 课堂练习 29 课堂练习 D 30 课堂练习 31 课堂练习 D 32 课堂练习 33 课堂练习 1 34 课堂练习 35 课堂总结 1.函数的三种表示法：解析式法、列表法、图象法 2.分段函数的定义 3.高斯取整函数的定义 4.常数函数的定义 36 谢 谢 观 看 37 $