2.2.2不等式的解集 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的解集，涵盖不等式（组）解集定义、绝对值不等式解法及数轴距离与中点公式。通过回顾初中不等式性质及推论搭建学习支架，以旧知引新知，结合定义解析和例题示范，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过绝对值几何意义（如|a-1|≤2的数轴距离解释）培养几何直观，借助分类讨论和整体代换发展推理能力，以符号表达和解集规范强化模型意识。实例丰富且分层，助力学生深化理解与应用，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第二章 等式与不等式 2.2.2不等式的解集 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识回顾 1.初中的不等式的三个性质 2. 五 个 推 论 推论1 如果，那么. 推论2 如果，那么. 推论3 如果，那么. 推论4 如果那么. 推论5 如果那么. 3.证明不等式的常用方法： 性质1 如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果，，那么. 作差法、综合法、分析法、反证法 2 知识点 1.不等式（组）的解集定义 2.绝对值不等式 ●当时，关于的不等式的解为或， 因此解集为 ● 的解为，因此解集为 3.数轴上两点之间的距离公式 4.中点坐标 3 定义 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 例1 求不等式组的解集. 解 式两边同时加上，得 ， 这个不等式两边同时乘以，得，因此的解集为. 类似地，可得的解集为 . 又因为， 所以原不等式组的解集为. 4 绝对值不等式 我们知道，数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作.而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是. 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.例如，都是绝对值不等式. 你能给出的解集吗？ 法一（去绝对值）：等价于 或 即或，因此 的解集为. 法二：因为是数轴上表示数的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于的点对应的所有数组成的集合就是的解集，从而由图可知所求解集为 . 5 绝对值不等式 用类似的方法可知，当时，关于的不等式的解为或 ，因此解集为； 关于的不等式的解为，因此解集为__________. 尝试与发现：你能给出的解集吗？ 如果将当成一个整体，比如令，则， 因此的解集可以通过求解得到， 即-2a-12,解的-1a3 因此解集为[-1,3] 6 绝对值的几何意义 下面我们来探讨的几何意义，并由此得出不等式的解集. 我们知道任意两个数的差为正几，表示被减数比减数大几， 差为负几，表示被减数比减数小几， 差的绝对值表示这两个数相差的距离.因此 的几何意义表示 这样一来，数轴上与表示的点的距离小于或等于的点对应的所有数组成的集合就是的解集，又因为数轴上与表示的点的距离等于的点对应的数分别为，由此由图可知的解集为. 7 绝对值的几何意义 一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式. 更进一步，如果线段的中点对应的数为，则由可知 ，因此：当时，有，从而，所以；当时，类似可得上式仍成立.这就是数轴上的中点坐标公式. 8 绝对值不等式 例2 设数轴点与数对应，点与数对应，已知线段的中点到原点的距离不大于，求的取值范围. 解 因为的中点对应的数为，所以由题意可知 ，即，因此，所以， 因此的取值范围是______________. 9 巩固练习 1.不等式组 的解集为_ ______. 【解析】由，得 . 由，得 . ， 即不等式组的解集为 . , 10 巩固练习 2.不等式 的解集为______ 【解析】方法1:由原不等式得 -1<x-1<1，所以0<x<2 方法2：当时，原不等式可化为，即,所以 ; 当时，原不等式可化为，即，所以 . 综上可得，不等式的解集为 . 方法3：由绝对值的几何意义可知，数轴上与1的距离小于1的点对应的所有数组成的集 合就是的解集，因此不等式的解集为 . 11 巩固练习 3.已知数轴上两点,,则线段 的长为___，线段的中点 的坐标为___. 8 1 【解析】 . 线段的中点的坐标为 . 4.求不等式 . 【解析】由不等式 ， 可得或 ， 或 . 原不等式的解集为 ． 12 提升练习 5. 求不等式 的解集. 【解析】方法1：原不等式可转化为 即 或 . 原不等式的解集为 ． 方法2：原不等式可转化为或， 或 ， 原不等式的解集为 ． 13 6.求不等式 的解集. 【解析】方法1令,得,令,得 . 当时,原不等式可化为,即, 此时原不等式的解集为 . 当时,原不等式可化为 ,此时不等式无解. 当时，原不等式可化为,即, 此时原不等式的解集为 . 综上，原不等式的解集为 . 提升练习 14 方法2：不等式表示数轴上与, 两点距离之和大于8的点, 而，两点的距离为6，因此线段上的每一点到, 两点的距离之和都等于6.如图 2.2.2-3, 要找到与,两点距离之和为8的点,只需由点 向右移1个单位长度（这时距离之和增 加2）,即移到点，或由点向左移1个单位长度，即移到点 .可以看出， 数轴上点右边的点和点左边的点到, 两点的距离之和均大于8. 原不等式的解集为 . 提升练习 15 提升练习 7.若关于的不等式的解集为,则实数 ___. 2 【解析】因为,所以,即 . 又关于的不等式的解集为 ， 所以,且,所以 . 16 提升练习 8.不等式 的解集为_______. 【解析】因为 , 所以,即 , 所以 , 即,所以或 故原不等式的解集为 . 17 $