2.1.1 等式的性质与方程的解集课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件围绕等式性质、恒等式概念及方程解集展开，通过北京南站到天津站的行程问题导入，联系实际数量关系，结合已学公式应用，搭建从具体实例到抽象等式变形的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“尝试与发现”活动引导学生自主分类等式，抽象恒等式与方程的区别，培养数学抽象能力。例1通过两种解法对比强化逻辑推理，课堂练习涵盖参数方程讨论提升数学语言表达，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径和多样化例题支持。

人教B版(2019)必修第一册 2.1.1 等式的性质与方程的解集 第二章 等式与不等式 1 学习目标 掌握等式的基本性质，学会利用等式的性质进行等式的基本变形，体现逻辑推理能力（重点） 了解恒等式的定义，掌握恒等式的证明方法，体现数学抽象能力（重点） 了解方程的解、解集的定义，会求方程的解，体现数学抽象能力（重难点） 2 新课导入 数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等式关系是数学中的最基本的数量关系，等式与不等式是表示数量关系的基本工具，而且，等式与不等式的有关知识，在日常生活中有着广泛的应用. 例如：北京南站到天津站的城际铁路全程为120 km，城际列车C2017的行驶时间为30 min，如果路程是S km，时间是t h，平均速度是v km/h，则平均速度是多少？ 3 新课学习 等式的性质 1.等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； 符号表示：如果a=b，则对任意c，都有a+c=b+c. 2.等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 符号表示：如果 a=b，则对任意不为零的c，都有ac=bc. 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立. 4 新课学习 尝试与发现：补全下列(1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： (1)a2-b2= (平方差公式)； (2)(x+y)2= x2+2xy+y2 (a+b)(a-b) (两数和的平方公式)； (3)3x-6=0； (4)(a+b)c=ac+bc； (5)m(m-1)=0； (6)t3+1=(t+1)(t2-t+1). 5 新课学习 分类标准： 如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式(1) (2) (4) (6)，对任意实数都成立，而等式(3) (5)只是存在实数使其成立. 例如：3x-6=0只有x=2时成立， x取其他数时都不成立. 6 新课学习 恒等式的概念 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如：因为(x+y)2=x2+2xy+y2 对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍会成立，若用－z替换其中的y，则 (x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2， 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式. 7 新课学习 例1：化简(2x+1)2-(x-1)2. 方法一：可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 (2x+1)2 - (x-1)2 =4x2+4x+1-(x2-2x+1) =3x2+6x 8 新课学习 例1：化简(2x+1)2-(x-1)2. 方法二：可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 (2x+1)2 - (x-1)2 =[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)] =3x(x+2) =3x2+6x 9 新课学习 对于(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab进行因式分解，你可以得到什么？ 这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可. 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子 x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab 且C=a+b，则 x2 +Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 1 1 a b 例如:对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6 且2+3=5，所以 x2+5x+6=(x+2)(x+3). 10 新课学习 尝试与发现：证明恒等式(ax+b)(cx+d)＝acx2+(ad＋bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法. 上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可. 据此也可进行因式分解. 例如：对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如图所示，所以 3x2+11x+10=(x+2)(3x+5). 1 3 2 5 11 新课学习 方程的解的概念 方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 12 新课学习 举个例子： 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.例如，对于方程 3x+5=-1 来说，首先在等式两边同时加上-5，可得 3x=-6 然后在上述等式两边同时乘以 ，则得x=-2，因此可知方程 3x+5=-1的解集为{-2}. 13 新课学习 方程的根的性质 任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab= 0，则a= 0或b= 0. 例如：由方程(4x+1)(x-1)=0可知4x+1=0 或x-1=0，从而x=－ 或x=1， 因此方程(4x+1)(x-1)=0的解集为{－ ，1}. 14 新课学习 例2：求方程 x2-5x+6=0的解集． 因为 x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为 (x-2)(x-3)=0， 从而可知x-2=0 或x-3=0，即x=2 或x=3，因此所求解集为 {2，3}． 例2得到的启示： 如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了. 15 新课学习 想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 一元二次方程的解集中不一定有两个元素． 对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2-4ac>0时，方程有两不等实根 解集中有两个元素； 当Δ=b2-4ac=0时， 解集中有一个元素； 当Δ=b2-4ac<0时，方程无实根，解集中没有元素． 16 新课学习 例3：求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数． 17 新课学习 尝试与发现：能直接在等式ax=2的两边同时除以a，从而得到 吗？为什么？ 不能 当a=0时， 不存在. 18 课堂练习 C 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 A 23 课堂练习 24 课堂练习 B 25 课堂练习 B 26 课堂练习 27 课堂练习 3 28 课堂总结 1.等式的性质 2.恒等式的概念 3.方程的解集 29 谢 谢 观 看 30 $