第十一章第3讲 专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题——2027届高考物理一轮专题复习讲义

该高中物理高考复习教案聚焦带电粒子在磁场中运动的临界与多解问题，按“临界问题（含平移圆、旋转圆、放缩圆法）—多解问题（含电性、磁场方向等类型）”逻辑架构梳理考点，通过考点解析（临界条件、多解成因）、方法指导（轨迹分析、几何关系建立）、真题演练（典例与分层练习）环节，帮助学生构建解题框架。 教案创新采用“三圆法”突破临界问题，如“平移圆法”通过轨迹平移确定相切临界状态，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。设置从基础到综合的分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第3讲　专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题 题型一　带电粒子在磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 2．几种常见的求极值情况(速度一定时) (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。 圆形边界：公共弦为边界圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 (2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图所示，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 3．判断临界问题的三种常用方法：“平移圆法”“旋转圆法”“放缩圆法”。 考向1“平移圆法”的应用 适用条件 速度大小 一定，方 向一定， 但入射点 在同一直 线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆 心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法叫“平移圆法” 【典例1】（2026·湖北襄阳·二模）（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】BCD 【详解】A．粒子刚好从BC边垂直打出，设该过程扫过的圆心角为，由 几何关系可知，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的最长时间轨迹所对的圆心角为，则有 解得 画出该粒子的运动轨迹，如下图 由几何知识得 解得，故B正确； C．由 联立解得，故C正确； D．由几何知识得扫过的面积为，故D正确。 故选BCD。 考向2“旋转圆法”的应用 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“旋转圆法” 【典例2】　（2026·贵州贵阳·一模）（多选）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点有一粒子源，点坐标为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为，电荷量为，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，点坐标为，则下列说法正确的是（　　） A．从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．打在轴的长度为 【答案】AC 【详解】由 得 A． 如图所示，从轴射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A正确； B． 如图所示，从之间射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B错误； C． 如图所示，当射出点为N（PN与x轴垂直）时，此粒子为到达x轴的粒子中，在磁场中运动的时间最短，圆心角为，运动时间为，故C正确； D． 如图所示，PN为直径，ON为打在轴的长度，等于，故D错误。 故选AC。 考向3“放缩圆法”的应用 适用条件 速度方向一 定，速度大 小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆 心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法叫“放缩圆法” 【典例3】　（2024·河北·模拟预测）（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 题型二　带电粒子在磁场中运动的多解问题 1．带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成的原因一般包含四个方面： 类型 分析 图例 带电粒 子电性 不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电荷，其轨迹为a，若带负电荷，其轨迹为b 磁场方 向不确 定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁场方向时，必须考虑由于磁场方向的不确定而形成多解。 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若磁场方向垂直纸面向里，其轨迹为a，若磁场方向垂直纸面向外，其轨迹为b 粒子速 度不确 定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 临界状 态不唯 一 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，形成多解 2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 考向1带电粒子电性不确定的多解问题 【典例4】（多选）如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【答案】ABD 【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种 A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误； B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确； C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为 x= 所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为 则经过三个周期后经过B点。故C错误； D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。 故选ABD。 考向2磁场方向不确定的多解问题 【典例5】　（2026·河北衡水·模拟预测）（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】AD 【详解】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 考向3粒子速度不确定的多解问题 【典例6】　（2026·湖南衡阳·二模）如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【答案】B 【详解】A．若，粒子无碰撞直接从到，是圆筒直径，长度，速度与弦的夹角为，弦长 解得 由， ，故A错误； BCD． 如果粒子与筒壁发生一次碰撞，可能存在两种情况如上图，其中 左图中，由正弦定理； 右图中，由正弦定理； 根据的表达式，当时，有两个大于零的半径解和，而当时，只有一个大于零的半径解。 所以当，速度只有一个解 当，速度有两个解和，故B正确，CD错误。 故选B。 考向4临界状态不唯一的多解问题 【典例7】　（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【答案】AD 【详解】A．粒子经加速电压后，由动能定理可知 速度 代入磁场中半径公式 可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当时，半径 时，半径 时，半径 当粒子沿轴正方向射入磁场时，粒子在平面偏转半个圆周打在轴上，当加速电压为时粒子打中板上位置最远，为，因此打中板长度为，故A正确； B．当、粒子射向平面，恰好打在板上的临界情况如图所示 由几何关系可知 则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为 ，故B错误； C．当，粒子射向平面，速度方向与轴正方向夹时，粒子的运动轨迹如下图所示 将速度分解为沿轴方向的和沿轴方向的，则粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离轴最远，由可知，粒子与轴距离最大时的时间为，故C错误； D．当，粒子速度方向与平面和坐标轴夹角均为时，初速度大小为 将其分解为轴方向分速度 和平面分速度 粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，则经过时粒子的坐标为，故D正确。 故选AD。 1. （2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 可得 则在第Ⅰ象限内运动的半径为 在第Ⅳ象限内运动的半径为 设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有 解得， A，当时，n不为整数，故A错误； B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误； C，当时，，故C正确； D，当时，，故D正确。 故选CD。 2. （25-26高三上·云南·阶段检测）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 3. （2023·湖北襄阳·模拟预测）如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（　　）    A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是 B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是 C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是 D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是 【答案】D 【详解】A．要想让电子沿bc方向经过c点，可能的轨迹如图所示    也可以转奇数个圆弧后到c，根据洛伦兹力充当向心力，有 可得 根据以上分析则有 （n＝0，1，2…） 解得 （n＝0，1，2…） 故A错误； B．要想让经过d点，可能的轨迹如图所示    可知，，解得 或者先顺时针转磁场的半个周期，之后逆时针转，从ad方向经过d    这种情况下 解得 故B错误； C．要想让电子经过f点，轨迹可能如图所示    由几何关系可得 解得 只要满足运动时间即可；或者如图所示    圆周周期，每一次转过120°圆心角 解得 故C错误； D．要想让电子垂直bc边过g点，经过偶数次偏转，每一次转过60°圆心角，圆周周期，则有 解得 故D正确。 故选D。 4. （2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 5. （2026·安徽阜阳·二模）如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【答案】B 【详解】C．粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN是粒子做圆周运动的轨迹直径，故从N点射出的粒子运动方向偏转了180°，故C错误； A．根据几何关系可知 得粒子在磁场中运动的半径为，故A错误； B．由粒子所受洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有 解得粒子的比荷为，故B正确； D．由几何关系可知从M点射入的所有粒子在磁场中轨迹所能达到的区域面积应大于轨迹圆的半圆面积，则必大于，故D错误。 故选B。 6. （2026·安徽芜湖·二模）如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、为半圆直径的两个端点，点为半圆的圆心，为圆的半径。现有带电粒子、分别以不同的速度从点和点沿半径方向同时进入磁场，并同时从点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知，则粒子、（　　） A．做圆周运动的半径之比为 B．运动的速率之比为 C．比荷之比为 D．运动的角速度之比为 【答案】C 【详解】A．令点为原点，直线为轴，设半径为，又，则点坐标，点坐标，点坐标 粒子、均沿径向射入，因此也将沿径向射出，则过做圆的切线，与过的垂线交点即为圆心，与过的垂线交点即为圆心，设半径、，轨迹圆心角、，则、 根据几何关系有，，， 解得， 因此，故A错误； BCD．由可得 又可得 又，粒子、同时到达点，则 不计粒子的重力，联立可得，，，故BD错误，C正确。 故选C。 7. （2026·河北张家口·二模）（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【详解】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 8. （2026·内蒙古赤峰·一模）（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 9. （2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 10. （2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）如图所示，在xOy坐标系内，区域存在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点的粒子源，可在xOy平面内与x轴正方向间的夹角在之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带电粒子。已知沿轴正方向发射的粒子经时间t0从边界上P（a，）点离开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互影响。则（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径 C．粒子在磁场中运动的最短时间小于 D．从的边界离开的粒子距点最远为 【答案】BD 【详解】B．沿轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图1所示，设粒子运动的轨迹半径为，则由几何关系可知 解得 则粒子从到偏转了，则有，故B正确。 A．由题意及几何关系得 解得，故A错误。 C．在磁场中运动时间最短的粒子对应的弦长最短，即为，粒子在磁场中运动的半径为，设粒子转过的圆心角为，根据余弦定理可得 若粒子在磁场中运动时间为，粒子转过的圆心角为 则有 因为 所以 即粒子在磁场中运动的最短时间大于，故C错误。 D．粒子沿轴负方向射出时，粒子从的边界离开磁场区域的位置距离到点的距离最远，根据几何关系有 又 解得，故D正确。 故选BD。 11. （2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【详解】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确； 故选D。 12. （2026·江西九江·二模）平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【详解】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 学科网（北京）股份有限公司 $第3讲专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、 多解问题 01 题型分类 题型一带电粒子在磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至 少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几 何关系求解。 1.临界条件 带电粒子刚好穿出（不穿出）磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相 切，故边界（边界的切线）与轨迹过切点的半径（直径）垂直。 2.几种常见的求极值情况（速度一定时） (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。 圆形边界：公共弦为边界圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径 时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 (2)最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图所示，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 XX> M、 、 单边界磁场 平行边界磁场 3.判断临界问题的三种常用方法：“平移圆法”“旋转圆法”“放缩圆法”。 考向1“平移圆法”的应用 速度大小 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带 一定，方 电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度 向一定， 大小为oo,则半径R=w0gB,如图所示 适用 但入射点 ××××××× 条件 在同一直 ×收区8× 线上 轨迹圆圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上 心共线 将半径为R=mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件，这 界定方法 种方法叫“平移圆法” 【典例1】(2026湖北襄阳.二模)（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸 面向里的匀强磁场，大量比荷为是的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，己知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t。,粒子在磁场中运动的最长时间为t。,则下列 说法正确的是() + + .5m A.磁感应强度大小为4 B.粒子运动的轨迹半径为(2V3-3)L (10W3-15mL C.粒子射入磁场的速度大小为 12t D.粒子在磁场中扫过的面积为(1+晋)(21-12V3)L2 考向2“旋转圆法”的应用 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场 时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度 速度大小一定， 为oo,则圆周运动半径R=v0gB,如图所示 适用条 方向不同 件 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆 轨迹圆圆心共圆 心、半径R=vOgB的圆上 将一半径R=vOgB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索 界定方法 粒子的临界条件，这种方法叫“旋转圆法” 【典例2】 (2026贵州贵阳一模)（多选)如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸 面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为(d,d)。打开粒 子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为， 电荷量为q,速率v=。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为(0，d),则 下列说法正确的是() M A.从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B.从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的立 C.到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为器 D.打在x轴的长度为2d 考向3“放缩圆法”的应用 速度方向一 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子 定，速度大 进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周 小不同 运动的轨迹半径随速度的变化而变化 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度？越 大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁 适用条 场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 件 PP'上 轨迹圆圆 心共线 ×××××X 以入射点P为定点，圆心位于PP直线上，将半径放 界定方法 缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法叫“放 缩圆法” 【典例3】 (2024河北模拟预测)（多选）真空区域有宽度为1、磁感应强度为B的匀强磁 场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q(q>0)的带正电 粒子（不计重力）沿着与MN夹角日=30·的方向以一定的速度Vo(大小未知)射入磁场中， 从PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60·。则Vo的大小可能为() M 十 A. (V5-1981 (（W3+19Bl 22m B 2m c.(5-198l D. (3+198则 m 题型二带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。 多解形成的原因一般包含四个方面： 类型 分析 图例 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也 可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子 带电粒 在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 子电性 如图，带电粒子以速度。垂直进入匀强磁场，若 不确定 带正电荷，其轨迹为α，若带负电荷，其轨迹为 6 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁场方 向时，必须考虑由于磁场方向的不确定而形成多 磁场方 解。 向不确 定 如图，带正电粒子以速度)垂直进入匀强磁场， 若磁场方向垂直纸面向里，其轨迹为α，若磁场 方向垂直纸面向外，其轨迹为b 粒子速 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指 度不确 出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的 /××× 定 不确定而形成的多解 0 临界状 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出， 态不唯 也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，形成 多解 2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的 条件。 考向1带电粒子电性不确定的多解问题 【典例4】（多选）如图所示，L,和L2为两条平行的虚线，L,上方和L2下方都是范围足够大， 且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度o与L2成 30角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力， 下列说法正确的是() ×××××××× -----I Vo 430B 0--L2 XXXXXXXX ×XX××××x A.若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B.带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C.若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60‘角斜向右上方，它将不能经过B 点 D.此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 考向2磁场方向不确定的多解问题 【典例5】(2026河北衡水模拟预测)（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MWPQ区 域内存在方向垂直于MPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B,方向周期性变化，且磁场 变化周期T可调。以垂直于MPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。 现有一电子在仁0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m,电荷量大小 为e,PN边界上有一点E,且wE=写L,若使电子满足下列条件时，说法错误的是《) ◆B 37 B 甲 乙 A.电子沿P方向经过P点，则电子的速度大小一定是驶 B.电子沿P方向经过P点，则电子的速度大小可能小于。 C.电子垂直于P边过E点，则磁场变化周期一定是器 D.电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于器 考向3粒子速度不确定的多解问题 【典例6】(2026湖南衡阳·二模)如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直 径两端分别开有两个小孔a和b,处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为B的匀强磁 场中。质量为m、电荷量为一q的粒子，从小孔a以一定初速度与ab连线成6角入射，最终 从山孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原 速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是() ×××××××××× ×××××必×× ×/××××××X× ×Ky××××××× ××××××××× ×K××××××/× ×八××××××X× XXX×X××XXBX ×××××××××× A.若日=云，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B。若日=云，且粒了与简壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为5-归9R m C.若日=青，且粒子与简壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为5-9R D.若日=号，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为+15q职 考向4临界状态不唯一的多解问题 【典例7】(2025河北邯郸模拟预测)（多选）如图所示，质量为m、电荷量为十9的粒 子从静止开始经加速电压U加速后，从三维直角坐标系的原点0处沿不同方向射入匀强磁场， 磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向。己知加速电压U调节范围为Uo≤U≤3Uo,其中 U,=二x锥上距离0点15L处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸 收。不计粒子重力，下列说法正确的是() 1.5L 2 A.当粒子沿y轴正方向射入磁场时，调节U,板上有粒子击中的长度为(5-)L B.当U=3Uo,粒子从0点射入xOy平面x>0y>0的区域，速度方向在0~90均匀 变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C.当U=Uo,t=0时刻，粒子从0点射入y0z平面y>0、z<0的区域，且速度方向与 y轴正方向夹角为30°，粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n号(n=1,2,3……) D.当U=2U0,粒子从0点射入y0z平面y>0、z<0的区域，且速度方向与y轴正方 向夹角为45°，则经过t2=器时粒子的坐标为（告，-乞，-是πL) 02 巩固训练 1.(2025山西临汾二模)（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面)向外，磁 场的右边界与x轴垂直，交x轴于P(L,0)点。其中第I象限内的磁感应强度为B, 第V象限内的磁感应强度为B2,且B2=2B,(大小均未知)。一质量为m、电荷量为+g的 粒子从原点O以速度v进入第I象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁 场区域，不计粒子重力，则第I象限的磁感应强度B的大小可能是() y ● B 309 ● ● ● A.登 B.器 c.晋 D. 2. (25-26高三上·云南阶段检测)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀 强磁场的磁感应强度大小均为B,方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点A处有一 正粒子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通 过D点，粒子的比荷是=k,粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度 可能为() B ● ● ● A.映 B.3BkL C.2BkL 5 D.2BkL 3.(2023湖北襄阳·模拟预测)如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场， 磁感强度大小为B。,方向垂直于abd所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调 整)，如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在t=0时刻 由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m,电荷量大小为e,图中边界上有两 点人g,且dr=bg=号L,关于电子在能场中的运动，以下说法中正确的是(） AB b B 37 2T _Bo 图甲 图乙 A.调整磁场变化周期T,让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是： B。调整磁场变化周期T,让电子经过d点，电子的速度大小一定是器 c.要想让电子经过点∫点，则磁场变化周期一定是器 D.要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是需 4.(2025安徽马鞍山·二模)垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化 规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量q=1×10~7C、质量 m=1×10-1kg的带电粒子，位于某点0处，在t=0时刻以初速度Vo=2πm/s沿 某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t=0时刻 开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为() B/T 0.1 0 →t/π×103s 1015 -0.1 A.2y2rm/sB.4y2元m/s C.2v2m/s D.4v2m/s 5.(2026·安徽阜阳·二模)如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B 的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率 为Vo的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MOW=120°， 不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( M -×--×--《××X A.粒子在磁场中运动的半径为3R 8.粒子的比荷为2警 C.由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D.从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为πR 6.(2026安徽芜湖.二模)如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，A、B为 半圆直径的两个端点，O点为半圆的圆心，ON为圆的半径。现有带电粒子a、b分别以 不同的速度从A点和B点沿半径方向同时进入磁场，并同时从N点射出磁场，不计粒子 的重力和粒子间相互作用。己知∠A0N=60°，则粒子a、b(） B A.做圆周运动的半径之比为1：V3 B.运动的速率之比为3：2 C.比荷之比为2：1 D.运动的角速度之比为1：2 7.(2026河北张家口·二模)（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子 的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于圆 平面向外的匀强磁场，cd、ab为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发 射最小速率为Vo,大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上P点射入磁场，入射速 度方向平行于cd、与0P夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧bd逃逸出磁场。已知带 电粒子的比荷为k(k=是)，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，sin15。=5 c0s150=6+5。下列说法正确的是() b A.带电粒子一定带负电 B.粒子的最大速度为(2+3)v。 C.磁场的磁感应强度大小为录 D。粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为器 8.(2026·内蒙古赤峰.一模)（多选)物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀 膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为9的带负电的粒子，从x轴上 P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在 固定基底上端附近的A点。A,O两点距离为3a,入射速度方向与x轴夹角为60°，不计 粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是() y个。 。.608。 A.盟 B.9a c.29 D.2 9.(2026江西上饶.一模)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，其边 界如图中虚线所示，ab=bc=L,∠B=60,且ab/cd。一束带正电粒子，在纸面内从a 点垂直于b射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k,不计粒子之间 的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为() d A.磊 B,霜 C.3kB D.霜 10.(2026四川绵阳模拟预测)（多选)如图所示，在xOy坐标系内，0≤y≤V3a区域存 在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点的粒子源，可在xOy 平面内与x轴正方向间的夹角在0π之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带电 粒子。已知沿y轴正方向发射的粒子经时间从边界上P(a,V3a)点离开磁场。不计 粒子的重力及粒子间的相互影响。则() 本y P(a.3a) A.粒子的比荷为盖。 B.粒子在磁场中做圆周运动的半径2a C.粒子在磁场中运动的最短时间小于竞to D.从y=V3a的边界离开的粒子距0点最远为243a 11.(2026江苏.一模)某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直 纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量α、b两种离子飘入（其 初速度几乎为零)电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成6角的范 围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值 cos8=0.9,已知a、b两种离子的电荷量均为-q,质量分别为2m和m,不考虑离子 间相互作用。下面说法正确的是() X X X X XX ×X× X X X X XX × X ××× 照相底片 A.a离子在磁场中速度大小为严 B.b离子在照相底片上形成的亮线长度为品②四 C.打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为品受+受 D.若加速电压在(U-△U,U+△U)之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子， 则兴不超过引 12.(2026江西九江.二模)平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的 磁感应强度大小均为B,方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角 为0<日≤号区域各方向发射速率范围在Vo≤V≤2Vo的带正电粒子，粒子质量均为m、 电荷量均为9，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四 象限通过x轴的最远点，OA:OC=5:8,Vo为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞 及相互作用，已知sin37。=0.6。 X (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围： (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相 遇，以粒子同时离开A、C为计时起点(t=0时刻)，求粒子第一次在x轴上相遇的位置及 时刻。