精品解析：2026年河南周口市鹿邑县张店一中等校初中学业水平模拟数学试卷

2026年河南初中学业水平模拟数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可． 【详解】数轴上表示数﹣的点到原点的距离是， 所以﹣的绝对值是， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 错因分析 容易题．失分原因是绝对值和相反数的概念混淆． 2. 2026年第一季度，河南省围绕零售、餐饮、文旅、住宿等重点领域发放亿元省级消费券，以促进消费、激活市场．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 3. 下列几何体中，不含曲面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形转化为同分母的加法计算即可． 【详解】解：． 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射向水中时发生折射，光线变成，点A，O，F在同一条直线上，测得，．已知，且经过点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，再根据两直线平行，同位角相等得，再根据角的和差即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 6. 某校学生期末的综合成绩是由作业成绩、平时测试成绩、期末考试成绩按照的比计算所得，小东的作业成绩为95分，平时测试成绩为85分，期末考试成绩为90分，则小东的期末综合成绩为（ ） A. 90.5分 B. 89.5分 C. 90分 D. 87.5分 【答案】B 【解析】 【详解】解：小东的期末综合成绩为（分）． 7. 若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的比例系数判断函数的增减性，因为该函数，所以随的增大而减小，再比较两个点横坐标，即可得到． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又点，在正比例函数的图象上，且， ∴． 8. 正面分别印有水果及英文的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上英文的首个字母恰好都是元音字母（a，e，i，o，u）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：记苹果为A、橙子为B、香蕉为C、草莓为D．画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上英文的首个字母恰好都是元音字母的结果有2种， ∴抽到的两张卡片上英文的首个字母恰好都是元音字母的概率为． 9. 如图，在菱形中，，过点A作于点E，将沿射线向右平移得到，使得点B的对应点与E重合，与交于点M，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】在得，再结合平移的性质和菱形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由平移的性质可知，，， ∴， 由菱形的性质可知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10. 如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分三个阶段分析：当点P运动到点B之前；当点P在边上，点Q在边上时；当点P在边上，点Q在边上时．即可得出答案． 【详解】当点P运动到点B之前，与不固定，则的底上的高也发生变化，可知y与x满足二次函数关系，故A、B错误； 当点P在边上，点Q在边上时，的底随x呈现一次函数关系，但高保持不变，故此时图象呈直线形式； 当点P在边上，点Q在边上时，同第一阶段，的面积与x呈现非线性关系，和的面积与x均呈现线性关系，故利用总面积相减可知，的面积与x呈现非线性关系（二次函数关系），故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使有意义，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使有意义，则且， ∴， 解得． ∴的取值范围是． 12. 一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的值可以是0（不唯一）． 14. 图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，所在圆的半径是，则点C与点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据四边形内角和求出，再根据点C为的中点，求出，再利用弧长公式求的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，分别与相切于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， 根据题意得：点C为的中点， ∴， 则的长度为， ∴根据无滑动滚动可知：水平线上点C与点的距离为． 15. 如图，正方形的边长为4，O为对角线上一点，且，将绕点O旋转得到，连接，则的长为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出，再分两种情况：①如图1，当绕点O顺时针旋转得到时，②如图2，当绕点O逆时针旋转得到时，分别画图求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴． 分两种情况：①如图1，当绕点O顺时针旋转得到时， 由旋转的性质可知，，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴C、B、三点共线， ∴， ∴． ②如图2，当绕点O逆时针旋转得到时， ∵，， ∴， ∴， ∴C、、D、四点在同一直线上， ∴， 在中，． 综上可知，的长为1或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算二次根式乘法，负整数指数幂和零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：原式． 17. 河南是华夏文明的重要发祥地，河洛文化构成了其传统文化的核心根基，拥有包括豫剧、少林功夫、太极拳在内的丰富非物质文化遗产及独特的民俗节庆体系．河南某校开展了“忆传统，承文化”比赛，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数，七、八年级（每个年级参赛10人）参赛选手得分统计及分析如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率/ 七年级 85 84.5 a 33.2 八年级 85 b 87 26.2 c （1） ______，______，______； （2）你认为哪个年级的学生比赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1），，； （2）八年级学生成绩较好．理由：七、八年级参赛学生成绩的平均分相同，但八年级参赛学生成绩的中位数高于七年级，且方差小于七年级，八年级参赛学生的成绩更稳定．∴八年级学生成绩较好． 【解析】 【小问1详解】 解：七年级参赛10人得分按从小到大为75，79，81，83，84，85，87，90，90，96； ∴出现次数最多的是90，即众数； 八年级参赛10人得分按从小到大为76，78，80，85，86，87，87，88，90，93， ∴八年级中位数为，优秀率； 【小问2详解】 略 18. 如图，的顶点A，B分别落在y轴正半轴，x轴正半轴上，轴，轴，反比例函数的图象经过点C． （1）若，，求k的值； （2）若， ①请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） ②若①中所作的垂直平分线分别与，交于P，Q两点，求证：． 【答案】（1） （2）①线段的垂直平分线如图所示： ②证明：连接， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据题意， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已知可得点C的坐标为，再根据反比例函数的图象经过点C，即可求k的值； （2）①分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为线段的垂直平分线； ②连接，根据垂直平分线的性质得，则，进而可得，，则，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，点C的坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 略 19. 妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； （2）请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 【答案】（1）甲；应测量出的距离 （2）妙乐寺塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）甲的报告没有边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可； （2）先在直角中利用正切函数求出的长，然后求出的长，最后在直角中，利用正切函数求出的长即可． 【小问1详解】 解：甲的测量报告存在问题： 建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出的高； 【小问2详解】 解：由题意可知， 在直角中，， ∴（）， ∴， 在直角中，， ∴． 答：妙乐寺塔的高度约为． 20. 信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． （1）求普通信阳红和精品信阳红的单价； （2）已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 【答案】（1）普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元 （2）一共有五种采购方案 【解析】 【分析】（1）设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元，根据“购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍”； （2）设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红斤，根据题意列出不等式组，再求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元， 根据题意得 解得 答：普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元； 【小问2详解】 解：设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红（40-x）斤， 根据题意，可知， 解得， ∵采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的， ∴，解得， ∴， ∵斤数取整数， ∴x取20、21、22、23、24， ∴一共有五种采购方案． 21. 数学活动课上，老师带领同学们对求代数式最值问题进行探究活动． 【试题引入】若，求的最大值． 【思路分析】用数形结合的思想去解决，通过分析，构造如下几何图形．如图1，在中，，，．如图2，延长至点D，使得，当A、B、D在以为直径的上时，代数式取得最大值． 【解决问题】 请直接利用【思路分析】的结论，解决下列问题： （1）求证：； （2）求的最大值． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴． （2）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对应的圆周角为得，再由，，根据对应两个角相等的三角形相似，即可得出结论； （2）由，根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质求出，再由勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，． ∴（负值舍去）， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵当A、B、D在以为直径的上时，，代数式取得最大值， ∴此时 ∴在中，， ∴最大值为． 22. 在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． （1）求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） （2）某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）手心到台面的高度h的取值范围是 【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，且过，再求解析式即可； （2）由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为．先求出当洗手液恰好落到手心左端M或手心右端N时的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的表达式为，将代入表达式可得， 解得， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∴手心到台面的高度h的取值范围是． 23. 在矩形中，，点M为射线上一点，N为边上一点，将矩形沿所在直线折叠，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）如图1，若，点A与点N重合，点M在延长线上，经过点D，则与的数量关系是______；的值为______； （2）如图2，若，点A与点N重合，点M在边上，点落在对角线上，求的值； （3）若，N为边的中点，直线与射线交于点H，当，时，直接写出的长． 【答案】（1）；1 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质推出，，，，证明，得，即可求解； （2）由得得，，进而可证明为等边三角形，得到，，即可求出，，，代入求的值即可； （3）分两种情况：①如图，当在下方时，过点作，分别交，于点E，F；②如图，当在上方时，过点作，分别过点H，N作的垂线，垂足分别为点F，点E；分别根据折叠的性质和解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点A与点N重合，即， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∵点落在上，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵N为的中点，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，， 由折叠的性质可知，，，， 分两种情况： ①如图，当在下方时，过点作，分别交，于点E，F，则四边形为矩形，故，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图，当在上方时，过点作，分别过点H，N作的垂线，垂足分别为点F，点E， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，，，， ∴根据平行线间距离相等可得， ∵在中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在中，，， ∴． 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 2. 2026年第一季度，河南省围绕零售、餐饮、文旅、住宿等重点领域发放亿元省级消费券，以促进消费、激活市场．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，不含曲面的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射向水中时发生折射，光线变成，点A，O，F在同一条直线上，测得，．已知，且经过点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校学生期末的综合成绩是由作业成绩、平时测试成绩、期末考试成绩按照的比计算所得，小东的作业成绩为95分，平时测试成绩为85分，期末考试成绩为90分，则小东的期末综合成绩为（ ） A. 90.5分 B. 89.5分 C. 90分 D. 87.5分 7. 若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 正面分别印有水果及英文的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上英文的首个字母恰好都是元音字母（a，e，i，o，u）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，过点A作于点E，将沿射线向右平移得到，使得点B的对应点与E重合，与交于点M，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使有意义，x的取值范围是_____． 12. 一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是_____．（写出一个即可） 14. 图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，所在圆的半径是，则点C与点的距离是_____． 15. 如图，正方形的边长为4，O为对角线上一点，且，将绕点O旋转得到，连接，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 河南是华夏文明的重要发祥地，河洛文化构成了其传统文化的核心根基，拥有包括豫剧、少林功夫、太极拳在内的丰富非物质文化遗产及独特的民俗节庆体系．河南某校开展了“忆传统，承文化”比赛，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数，七、八年级（每个年级参赛10人）参赛选手得分统计及分析如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率/ 七年级 85 84.5 a 33.2 八年级 85 b 87 26.2 c （1） ______，______，______； （2）你认为哪个年级的学生比赛成绩更好？请说明理由． 18. 如图，的顶点A，B分别落在y轴正半轴，x轴正半轴上，轴，轴，反比例函数的图象经过点C． （1）若，，求k的值； （2）若， ①请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） ②若①中所作的垂直平分线分别与，交于P，Q两点，求证：． 19. 妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； （2）请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 20. 信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． （1）求普通信阳红和精品信阳红的单价； （2）已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 21. 数学活动课上，老师带领同学们对求代数式最值问题进行探究活动． 【试题引入】若，求的最大值． 【思路分析】用数形结合的思想去解决，通过分析，构造如下几何图形．如图1，在中，，，．如图2，延长至点D，使得，当A、B、D在以为直径的上时，代数式取得最大值． 【解决问题】 请直接利用【思路分析】的结论，解决下列问题： （1）求证：； （2）求的最大值． 22. 在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． （1）求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） （2）某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 23. 在矩形中，，点M为射线上一点，N为边上一点，将矩形沿所在直线折叠，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）如图1，若，点A与点N重合，点M在延长线上，经过点D，则与的数量关系是______；的值为______； （2）如图2，若，点A与点N重合，点M在边上，点落在对角线上，求的值； （3）若，N为边的中点，直线与射线交于点H，当，时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $