第08讲 平面直角坐标系（ -（暑期衔接课堂）2026年暑假七升八数学衔接讲义（2026--2027学年北师大版八年级数学上册）

第08讲 平面直角坐标系（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断点所在的象限 典型例题二 已知点所在的象限求参数 典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标 典型例题四 求点到坐标轴的距离 典型例题五 用有序数对表示位置或路线 典型例题六 点坐标规律探索 典型例题七 已知两点坐标求两点距离 典型例题八 平面直角坐标系中最值问题 典型例题九 平面直角坐标系中动点问题 知识点01 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 知识点02 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换： ①，如：； ②，如：； ③，如：． 按照以下变换有：，那么__________． 【典型例题一 判断点所在的象限】 【例1】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知，，则点在第（    ）象限 A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，是贵阳市花溪区部分地图示意图，以贵州大学为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则高坡梯田在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知为实数，则点一定在第______象限． 【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，点位于第__________象限． 1．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 2．（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点” (1)请任意写出一个“柘城点”：______； (2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由； (3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？ 【典型例题二 已知点所在的象限求参数】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点在x轴上，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 【例3】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我们已经学过，若数轴上的任意两点A，B分别表示数a，b，则A，B两点的距离为．例如，数轴上表示，两点的距离为． 定义：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫做P、Q两点间的直角距离，记作例如，、两点的直角距离． 请根据以上材料，解答下列问题： 已知，在平面直角坐标系中，点坐标为． (1)若点坐标为，则________； (2)若点坐标为且，求点的坐标； (3)若点坐标为，且点在第一象限，求的最小值． 【典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，下列说法正确的是（     ） A．点在第二象限 B．点的横坐标为 C．点到轴的距离为1 D．点的坐标 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点的坐标，，且轴，则点的坐标是____． 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标； (3)若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【典型例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（25-26七年级下·福建莆田·期中）经过两点，作直线，则直线（    ） A．平行于轴 B．经过原点 C．平行于轴 D．无法确定 【例2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）点到x轴的距离为______． 【例4】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，且轴，则线段的长度为_____． 1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 3．（25-26七年级下·江西上饶·期中）初唐四杰之一的王勃在千古名篇《滕王阁序》中对江西这片土地给予了高度评价：“物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻”小贤将“人”“杰”“地”“灵”写在如图1所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“人”“杰”的坐标分别为，． (1)①“地”的坐标为_______； ②“灵”_______第一、第三象限的角平分线上．（填“在”或“不在”） (2)如图2，将图1网格中的“人”“杰”“地”“灵”所在的格点分别记作A，B，C，D．求四边形的面积． 【典型例题五 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【例4】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，字母对应的位置可以用表示，有一个英文单词的字母顺序对应图中的位置分别为，，，请你把这个英文单词写出来：________． 1．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 3．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，图中显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：） （1）用有序实数对表示图中各点； （2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共的同学有多少名？ （3）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，求的值． 【典型例题六 点坐标规律探索】 【例1】（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在平面直角坐标系中，若点，轴，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）平面直角坐标系中，有点与点，且轴，则点的坐标为___________． 【例4】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是______． 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 2．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 【典型例题七 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰梯形中，点坐标为，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离为___________ 【例4】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 2．（24-25八年级下·北京海淀·阶段检测）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． (1)请写出点A、B、C的坐标； (2)请作出关于x轴对称的； (3)请求出线段的长度． 【典型例题八 平面直角坐标系中最值问题】 【例1】（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴上，对于线段有如下四个结论： ①线段的最大值是2；      ②线段的最小值是1； ③线段一定不经过点；      ④线段可能经过点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．当时，两点为“等距点”，则k的值为（   ） A．1或4 B．1或2 C．2或3 D．3或4 【例3】（24-25七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为_________，_________． 【例4】（24-25八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是______； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标______； 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah． 例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（－3，1），C（2，－2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． (1)已知A（－1，4），B（3，1），C（－3，－3），则“水平底”a＝ ，“铅垂高”h＝ ，“矩面积”S＝ ； (2)若A（1，2），B（－3，1），P（0，t）的“矩面积”为12，求点P的坐标； (3)若A（1，2），B（－3，1），P（0，－t），请直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1． （1）理解：点的“最佳间距”是__________； （2）探究：已知点． ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________； （3）迁移：当点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．（提示：把（2）②的研究结论迁移过来） 3．（24-25七年级下·北京西城·阶段检测）对平面直角坐标系中的三角形给出如下定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”， 假设点，是三角形边上的任意两点． 如果的最大值为m，那么三角形的“横长”；如果的最大值为n，那么三角形的“纵长”．如图，该三角形的“横长”为；“纵长”为．    当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． 如图1所示．已知点，．    (1)已知点，那么的“横长”______，“纵长”______，______“方三角形”，（填写“是”或“不是”） (2)①已知点．如果为“方三角形”，则m的值是______； ②已知点．如果为“方三角形”，则a的取值范围是______； (3)已知点F在y轴及y轴右侧．且为“方三角形”．请你在图中画出点F所可能存在的位置． 【典型例题九 平面直角坐标系中动点问题】 【例1】（2025·山东威海·模拟预测）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的动点，当的长度最小时，点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点A的坐标为，点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为______． 【例4】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2024秒动点P所在位置的坐标是______． 1．（24-25七年级下·重庆江北·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． 　 (1) ， ； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点A出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 3．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中任意两点，，小聪定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点，的“分解距离”，即； 若，则为点，的“分解距离”，即． 例如，点，，因为，所以点，的“分解距离”为，记为． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)如图1，已知点，为平面内一个动点． ①则______； ②若点在第一象限，且，求点的坐标； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为16，请直接写出的值； (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·宁夏固原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，墨水盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 6．（25-26七年级下·重庆·期中）若点到轴，轴的距离相等，则的值为______． 7．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 9．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 10．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到根据这个规律，则的坐标为_______________． 11．（25-26七年级下·云南怒江·期中）已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 12．（24-25七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 13．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______．           15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平面直角坐标系（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断点所在的象限 典型例题二 已知点所在的象限求参数 典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标 典型例题四 求点到坐标轴的距离 典型例题五 用有序数对表示位置或路线 典型例题六 点坐标规律探索 典型例题七 已知两点坐标求两点距离 典型例题八 平面直角坐标系中最值问题 典型例题九 平面直角坐标系中动点问题 知识点01 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先建立坐标系，再根据坐标系作答即可. 【详解】解：由、可知原点的位置， 建立平面直角坐标系，如图， ∴． 知识点02 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 2．（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换： ①，如：； ②，如：； ③，如：． 按照以下变换有：，那么__________． 【答案】 【分析】根据，，先计算，再计算外面的变换可得答案． 【详解】解：． 【典型例题一 判断点所在的象限】 【例1】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知，，则点在第（    ）象限 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限． 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，是贵阳市花溪区部分地图示意图，以贵州大学为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则高坡梯田在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：由平面直角坐标系可知，高坡梯田在第四象限． 【例3】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知为实数，则点一定在第______象限． 【答案】一 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵为实数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标， ∴点的横纵坐标均为正数， ∴点一定在第一象限． 【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，点位于第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标特征判断即可． 【详解】解：点A的横坐标，纵坐标， 因此点A位于第四象限． 故答案为：四． 1．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 2．（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1)点的坐标为． (2)2024 【分析】（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限或第四象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）点的坐标为，直线轴， ， 解得， 点的坐标为． （2）点在第二或第四象限的角平分线上， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握各象限点的坐标规律． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点” (1)请任意写出一个“柘城点”：______； (2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由； (3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)点不是“柘城点”，理由见解析 (3)点C在第三象限 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键． （1）当时，根据新定义计算出的值，即可确定点坐标； （2）根据新定义可知，求出的值，再根据，求出的值，即可确定纵坐标，然后再判断即可； （3）根据是“柘城点”，可得，，表示出和，再根据，可得，求出的值，进一步即可确定点坐标，从而可确定点所在象限． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ ∴，； ∴点是一个“柘城点”（答案不唯一） （2）解：点不是“柘城点” 当时，， ∴， ∴， ∴ ∴点不是“柘城点” （3）解：∵是“柘城点”， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在第三象限． 【典型例题二 已知点所在的象限求参数】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点在x轴上，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征．利用x轴上的点的纵坐标为0的性质求解n，即可作答． 【详解】解：根据题意有：，即：， ∴， 则Q点坐标为． 【例2】（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，轴上所有点的横坐标为，据此列一元一次方程即可求解的值． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的横坐标为 ∴ 移项得 解得 【例3】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 【答案】3 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征直接求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴点P的纵坐标为0，即， 解得：． 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，且点到轴和轴的距离分别是、， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为. 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二，四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上的点的纵坐标相同，列方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴上点的纵坐标为，列关于的方程并求解即可； （2）根据第一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等，列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上，， ，解得． （2）解：点在第一、三象限的角平分线上， ，解得． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我们已经学过，若数轴上的任意两点A，B分别表示数a，b，则A，B两点的距离为．例如，数轴上表示，两点的距离为． 定义：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫做P、Q两点间的直角距离，记作例如，、两点的直角距离． 请根据以上材料，解答下列问题： 已知，在平面直角坐标系中，点坐标为． (1)若点坐标为，则________； (2)若点坐标为且，求点的坐标； (3)若点坐标为，且点在第一象限，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解题意是解此题的关键． （1）根据两点间的直角距离公式计算即可得出结果； （2）根据两点间的直角距离公式可得，求解即可得出结果； （3）点坐标为在第一象限，求出，再结合题意可得，分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； （2）解：由题意，得， ， 或， 点或； （3）解：∵点坐标为在第一象限， ∴， ， 由题意，得， 当时，， 当时，， 的最小值为． 【典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点M的纵坐标为，即， 解得， 将代入横坐标得， ∴点M的坐标为． 【例2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，下列说法正确的是（     ） A．点在第二象限 B．点的横坐标为 C．点到轴的距离为1 D．点的坐标 【答案】C 【详解】解：由图可得点坐标为，位于第四象限，点到轴的距离为1，点的横坐标为1， ∴各个选项中，只有C选项正确． 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点的坐标，，且轴，则点的坐标是____． 【答案】或 【分析】由平行于轴的直线上点的纵坐标相等，分情况讨论点的位置求解即可． 【详解】解：轴，点坐标为， 点的纵坐标为， 设点的横坐标为，由可得， 或， 点的坐标为或． 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先建立坐标系，再根据坐标系作答即可. 【详解】解：由、可知原点的位置， 建立平面直角坐标系，如图， ∴． 1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标； (3)若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点P在x轴上，可得，再进一步求解即可； （2）根据点P在过点且与x轴平行的直线上，可得，再进一步求解即可； （3）根据点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点P在过点且与x轴平行的直线上 ∴，得， ∴点P的坐标为； （3）解：点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴， ∴或， ∴，， ∴点P的坐标为或． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可． （2）设点，根据中点坐标公式求解即可． （3）分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， 则线段的中点的坐标为，即． （2）解：设点， ∵点，且线段的中点坐标为， ∴，解得， ∴点． （3）解：当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】(1)见解析； (2)典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； (3)见解析． 【分析】（1）活字工坊和匠心体验的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系可得出答案； （3）汉服体验中心的坐标为，可得出其位置． 【详解】（1）解：根据活字工坊的坐标是和匠心体验的坐标为建立平面直角坐标系，如图： （2）解：由平面直角坐标系可知， 典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； （3）解：汉服体验中心的坐标为，则汉服体验中心的位置如图： 【典型例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（25-26七年级下·福建莆田·期中）经过两点，作直线，则直线（    ） A．平行于轴 B．经过原点 C．平行于轴 D．无法确定 【答案】C 【分析】横坐标相等的两点所在直线平行于轴，纵坐标相等的两点所在直线平行于轴，据此可解题． 【详解】解：∵点，点的横坐标相同，均为，纵坐标不相等， ∴直线上所有点的横坐标都为， ∴直线平行于轴，且直线不经过原点． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点的横坐标的绝对值，结合第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 又∵点在第二象限，且第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【例3】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）点到x轴的距离为______． 【答案】2 【分析】根据点到x轴的距离为求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离为 ． 【例4】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，且轴，则线段的长度为_____． 【答案】12 【分析】根据轴，得到A，B纵坐标相等，从而求出m值，可得点A，点B坐标，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）根据“短距”的定义求解； （2）根据“完美点”的定义得到，求出或，然后分别代入求解即可； （3）首先得到，然后根据“短距”的定义得到，求出，得到坐标为，然后根据“完美点”的定义求解． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点的“短距”是2； （2）解：∵点是“完美点” ∴ ∴或 当时，，； 当时，，； ∴点的坐标为或； （3）证明：∵点在第三象限， ∴，即， ∴该点到轴的距离为， ∵它的“短距”是， ∴，即， 解得， 将代入点的横坐标，得， ∴点坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴点是“完美点”． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）由轴得到的长度为求解； （2）①首先求出轴，，然后根据题意分两种情况讨论求解； ②设，求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵点，，则轴， ∴的长度为； （2）解：①∵，， ∴轴，， ∵线段与y轴交于点C， ∴，， ∵点C把线段分成的两部分， ∴或． 又∵， 当时，则； 当时，则； 又，， ∴或， ∴或； ②如图，取， ∵，， ∴轴，轴，即 ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江西上饶·期中）初唐四杰之一的王勃在千古名篇《滕王阁序》中对江西这片土地给予了高度评价：“物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻”小贤将“人”“杰”“地”“灵”写在如图1所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“人”“杰”的坐标分别为，． (1)①“地”的坐标为_______； ②“灵”_______第一、第三象限的角平分线上．（填“在”或“不在”） (2)如图2，将图1网格中的“人”“杰”“地”“灵”所在的格点分别记作A，B，C，D．求四边形的面积． 【答案】(1)①；②不在； (2)8 【分析】（1）①先建立坐标系，根据坐标系可得答案；②根据坐标系可得答案； （2）利用割补法求面积即可. 【详解】（1）解：①如图， ∴“地”的坐标为：； ②由图形可得：“灵”不在第一、第三象限的角平分线上． （2）解：如图，标记点E，F，G，H．由题意可知小正方形的边长为1个单位长度． ． 【典型例题五 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对中，第一个数表示从内到外的圈数，第二个数表示对应线上的角度，据此即可求解． 【详解】解：依题意，船的位置应表示为． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标写出即可． 【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是， 故选：B． 【点睛】本题考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 【例4】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，字母对应的位置可以用表示，有一个英文单词的字母顺序对应图中的位置分别为，，，请你把这个英文单词写出来：________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，根据有序数对的定义，分别找出各个有序数对表示的字母，然后写出单词即可．理解有序数对与表格的对应关系是解题的关键． 【详解】解：对应的字母是S， 对应的字母是U， 对应的字母是N， 可知这个英文单词为． 故答案为：． 1．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)从点到点应记为． 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负可得出结论； （2）根据题意：，如图1； （3）令与对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】（1）解：图中； 故答案为：； （2）解：点的位置如图所示． （3）解：，， ，， 从点到点应记为． 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点，解决本题的关键是理解题意，明确每一个坐标的对应点． 3．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，图中显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：） （1）用有序实数对表示图中各点； （2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共的同学有多少名？ （3）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，求的值． 【答案】（1）（1，9）、（1，6）、（2，7）、（3，5）、（4，2），（5，5）（6，4）（7，2）（7，3）（9，1）；（2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共10h的同学有5名；（3）b－a=1 【分析】（1）根据有序实数对中点的表示方法解答； （2）将有序实数对横纵坐标相加为10的，即可得到答案； （3）利用有序实数对得到a及b的值即可求值. 【详解】（1）图中各点坐标为：（1，9）、（1，6）、（2，7）、（3，5）、（4，2），（5，5）（6，4）（7，2）（7，3）（9，1）； （2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间分别为： 9+1=10，7+2=9，6+1=7，5+3=8，5+5=10，4+2=6，4+6=10，3+7=10，2+7=9，1+9=10， 平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共10h的同学有5名； （3）由题意得，a=4，b=5，所以b－a=1. 【点睛】此题考查了有序实数对，掌握有序实数对的表示方法，利用有序实数对解决实际问题，解答此题需正确理解题意，明确有序实数对的含义及正确读图. 【典型例题六 点坐标规律探索】 【例1】（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在平面直角坐标系中，若点，轴，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，从而得出点的横坐标即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的横坐标相等， ∵点坐标为， ∴点的横坐标为， 观察四个选项中所给点的坐标，只有D选项的横坐标为，符合要求． 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标，发现点的横坐标依次增加2倍是解题的关键．依次求出点，，，…，的横坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点B的横坐标为：， 点的横坐标为：， 点的横坐标为：， …， 依次类推，点的横坐标为：； 当时， 点的横坐标为． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）平面直角坐标系中，有点与点，且轴，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行于轴的直线上点的坐标特点，根据平行于轴的直线上点的横坐标相同建立方程求解，即可解题． 【详解】解：轴，点，点， ， 解得， 则， 点的坐标为； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴，即； 故答案为： 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可； （2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案． 【详解】（1）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即； （2）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即， ∵点在轴上， ， ∴， 则， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 【答案】(1)画图见解析，第4个正方形上有16个整点 (2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个 (3)点在第7个正方形边上；在第个正方形边上 【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和， （2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有个，据此规律进行解答即可． （3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答． 【详解】（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示， 解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； 第4个正方形上有个整点； （2）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； … 第n个正方形有个整点； 所以第20个正方形有个整点． （3）观察第1个正方形上的点，、，横纵坐标绝对值之和 ，． 观察第2个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 观察第3个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 结论：若点在第个正方形的边上，则． 计算点： 横坐标，纵坐标． 计算绝对值之和：． 所以点在第7个正方形的边上． 计算点： 横坐标，纵坐标（为正整数）． 计算绝对值之和：． ∴点在第7个正方形边上；在第个正方形边上． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 【答案】(1)路线为：，画图见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据题意找出路线，然后画出图形即可； （）根据规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，路线为：； （2）解：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数， ∴是奇数，因此是奇数， ∵横坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴横坐标变化总量为 ∵从走到点横坐标变化总量为是偶数，且 为偶数， ∴是偶数，因此是偶数， ∴是奇数，即一共走了奇数步． 【典型例题七 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：点到原点的距离为． 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰梯形中，点坐标为，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰梯形的定义可得，则点B的纵坐标为2，设点B的横坐标为m，根据，即可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵点坐标为， ∴点B的纵坐标为2， 设点B的横坐标为m， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去，此时四边形是平行四边形）， ∴点B的坐标为． 【例3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离为___________ 【答案】 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为． 【例4】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 【答案】 【分析】先由、坐标求得，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为和， ，， ． 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由材料中两点之间的距离公式可知； （2）解：，， ，即， ，解得，即或； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 2（24-25八年级下·北京海淀·阶段检测）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． （2）解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长． ∴d的最大值为：． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． (1)请写出点A、B、C的坐标； (2)请作出关于x轴对称的； (3)请求出线段的长度． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系里的位置写坐标即可； （2）先分别作出点A、B、C就在于 x轴的对称点、、，再顺次连接点、、即可； （3）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图， 即为所求； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，勾股定理，熟练掌握利用轴对称性质作轴对称图形是解题的关键． 【典型例题八 平面直角坐标系中最值问题】 【例1】（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴上，对于线段有如下四个结论： ①线段的最大值是2；      ②线段的最小值是1； ③线段一定不经过点；      ④线段可能经过点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于零，点到坐标轴的距离进而解答即可． 【详解】解：由题意，设B（x，0）， ①无法判断线段AB的最大值，说法错误； ②线段AB的最小值是1，说法正确； ③线段AB一定不经过点（0，1），说法正确； ④线段AB一定不经过点（5，-2），说法错误． 故选：B． 【点睛】此题考查坐标与图形，关键是根据点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零解答． 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．当时，两点为“等距点”，则k的值为（   ） A．1或4 B．1或2 C．2或3 D．3或4 【答案】B 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，则：， 解得：或（舍去）； 当时，则：， 解得：或（舍去）； 综上：或； 故选B． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．理解并掌握“等距点”的定义，是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为_________，_________． 【答案】 3 5 【分析】首先求出点A和点B在x轴上，且，然后得到当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值，此时点P在点M的正下方，当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值，此时点P在点M的正上方，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵， ∴点A和点B在x轴上，且 ∵以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点， ∴当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值， 此时点P在点M的正下方， ∵，半径为1， ∴此时的面积； 当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值， 此时点P在点M的正上方， ∵，半径为1， ∴此时的面积； 综上所述，的面积的最小值和最大值依次为3，5． 故答案为：3，5． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的面积，根据题意判断三角形的面积是解题的关键． 【例4】（24-25八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． ①在点中，为点的“等距点”的是______； ②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标______； 【答案】 E， 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． ①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可. 【详解】解：①点到x、y轴的距离中最大值为3， 与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E、F；②； 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah． 例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（－3，1），C（2，－2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． (1)已知A（－1，4），B（3，1），C（－3，－3），则“水平底”a＝ ，“铅垂高”h＝ ，“矩面积”S＝ ； (2)若A（1，2），B（－3，1），P（0，t）的“矩面积”为12，求点P的坐标； (3)若A（1，2），B（－3，1），P（0，－t），请直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 【答案】(1)6；7；42 (2)（0，4）或（0，－1） (3)4 【分析】（1）根据“矩面积”的定义及点的坐标，分别求出a与h，即可求解结果； （2）首先由题意得：a=4，然后分别从当t＞2，h=t-1，当t<1时，h=2-t，列等式求解，即可求得答案； （3）首先由点的坐标求出“水平底”a，再根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 【详解】（1）解：∵点A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3）， ∴a＝3﹣（﹣3）＝6，h＝4﹣（﹣3）＝7，S＝ah＝6×7＝42， ∴“水平底”a=6，“铅垂高”h=7，“矩面积”S=42， 故答案为：6，7，42； （2）由题意，得a＝1－（－3）＝4， 则“矩面积”S＝ah＝4h＝12，解得h＝3， ①当t＞2时，h＝t－1， 则t－1＝3， 解得t＝4， 故点P的坐标为（0，4）；     ②当1≤t≤2时，h＝2－1＝1， 则“矩面积”S＝4×1＝4≠12，不合题意，舍去． ③当t＜1时，h＝2－t， 则2－t＝3， 解得t＝－1， 故点P的坐标为（0，－1）， 综上，点P的坐标为（0，4）或（0，－1）； （3）∵点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t）， ∴a＝1﹣（﹣3）＝4， 根据题意得：h的最小值为：1， ∴A，B，P三点的“矩面积”S的最小值为4． 【点睛】本题属于新定义问题，考查了坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1． （1）理解：点的“最佳间距”是__________； （2）探究：已知点． ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________； （3）迁移：当点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．（提示：把（2）②的研究结论迁移过来） 【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）或P（1，-1） 【分析】（1）根据题意利用两点距离公式可直接得出距离，然后取最小值即可； （2）①由题意易得AB∥y轴，则有OA＝3，OB＞OA，然后问题可求解；②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3，当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3，进而问题可求解； （3）同（2）②可知，当OE＝PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m,-2m+1）的“最佳间距”取到最大值，进而可得m=-2m+1或m=2m-1，然后求解即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴， ∵垂线段最短，∴Q1Q3>2， ∴点的“最佳间距”是2； （2）①∵点， ∴AB∥y轴， ∴OA＝3，OB＞OA， ∵点O，A，B的“最佳间距”是1， ∴AB＝1， ∴y＝±1； ②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3， 当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3， ∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3． （3）同（2）②可知，当OE＝PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m,-2m+1）的“最佳间距”取到最大值， ∵OE＝|m|，PE＝|-2m+1|， ∴m=-2m+1或m=2m-1 当m=-2m+1时， 当m=2m-1时，m=1，P（1，-1）． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题中的新定义，根据“最佳距离”进行分析求解问题． 3．（24-25七年级下·北京西城·阶段检测）对平面直角坐标系中的三角形给出如下定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”， 假设点，是三角形边上的任意两点． 如果的最大值为m，那么三角形的“横长”；如果的最大值为n，那么三角形的“纵长”．如图，该三角形的“横长”为；“纵长”为．    当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． 如图1所示．已知点，．    (1)已知点，那么的“横长”______，“纵长”______，______“方三角形”，（填写“是”或“不是”） (2)①已知点．如果为“方三角形”，则m的值是______； ②已知点．如果为“方三角形”，则a的取值范围是______； (3)已知点F在y轴及y轴右侧．且为“方三角形”．请你在图中画出点F所可能存在的位置． 【答案】(1)4；3；不是 (2)①3或；② (3)见解析 【分析】（1）根据“横长”、“纵长、“方三角形”的定义即可求解； （2）①根据“方三角形”的定义即可求解； ②根据“方三角形”的定义列方程，解方程即可求解； （3）根据“方三角形”的定义画出点F所有可能存在的位置即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴的“横长”，“纵长”， ∵， ∴不是“方三角形”， 故答案为：4；3；不是； （2）解：①∵，，， ∴“横长”， ∴由题意得， 解得或， 故答案为：3或； ②∵，，， ∴“纵长”， ∴由题意得， ∴a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据“方三角形”的定义，，点F所有可能存在的位置如图的两条折线． 【点睛】本题考查“方三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【典型例题九 平面直角坐标系中动点问题】 【例1】（2025·山东威海·模拟预测）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的动点，当的长度最小时，点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给条件，结合垂线段最短即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：因为点A坐标为，点B坐标为， 所以直线为 由垂线段最短可知， 当时，取得最小值． 又因为点C坐标为， 所以点P坐标为， 故选：B 【例3】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点A的坐标为，点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系、垂线段最短的知识，解题的关键是掌握点的坐标，当轴时，，之间的距离最短，即可． 【详解】∵点，点在轴上， ∴当轴于点时，，两点间的距离最短， ∴点和点的横坐标相同， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【例4】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2024秒动点P所在位置的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的变化规律．根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出第2024秒点移动了几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：，，，， 四边形是矩形， ，， ， 点运动一周需要的时间是（秒）， ， 按顺序循环爬行，第2024秒相当于从点出发运动了8秒，路程是：个单位，， ∴在上，且距离点2个单位处，即的坐标为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·重庆江北·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． 　 (1) ， ； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点A出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)①；② 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题． （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题． （3）①看成追击问题，构建方程即可解决问题．②看成追击问题，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：． 又，． ，． （2）由题意可得：点P运动路程为，点Q运动路程为，长方形的周长为， ， ，即时，、两点相遇． 此时，两点的坐标为． （3）①由题意：两点的路程差为：， 解得：， ，， 、的坐标为． ②由题意：两点的路程差为：， ， ，， 、（的坐标为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，非负数的性质，相遇问题，追击问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②2；③ (2) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； （2）解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 3．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中任意两点，，小聪定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点，的“分解距离”，即； 若，则为点，的“分解距离”，即． 例如，点，，因为，所以点，的“分解距离”为，记为． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)如图1，已知点，为平面内一个动点． ①则______； ②若点在第一象限，且，求点的坐标； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为16，请直接写出的值； (2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①2；②或；③； (2)． 【分析】本题考查坐标系下两点间的距离，正确理解新定义是解题的关键． （1）①根据新定义，即可求解； ②根据新定义可得或，即可求解； ③由题意可得点B在以A点为对称中心，边长为的正方形边上，即可求解； （2）根据题意画出图形，可得点M在长方形内（含边）运动时，，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：2； ②∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 即或1， ∴点B的坐标为或； ③当时，那么， 同理当， ∴点B在以A点为中心，边长为的正方形边上， ∵所有动点组成的图形面积为16， ∴， 解得：或（舍去）； （2）解：∵，， ∴， ∴点M一定要在直线和直线之间， 当时，， ∴， ∴此时， 同理可得当时，有， 当点M在一、三象限角平分线下方时，且满足时，此时有，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴； 如图取，连接， 同理可得当点M在上方时或在右上方或在右下方时，，不符合题意； 当点M在长方形区域内时，刚好能满足， ∴． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 2．（24-25八年级下·宁夏固原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点到原点的距离是 3．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，墨水盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，，观察图形判断出墨水盖住的点在第四象限，然后解答即可． 【详解】解：∵， ∴、同号， 又∵， ∴，， 由平面直角坐标系可知墨水盖住的点在第四象限， A、在第一象限，不符合题意； B、在第二象限，不符合题意； C、在第三象限，不符合题意； D、在第四象限，符合题意． 4．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 5．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的特征是解题的关键．根据“右加左减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是x增大，y却减小， 故选B． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）若点到轴，轴的距离相等，则的值为______． 【答案】 3或 【详解】解：由题意，， 解得或. 7．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再由平移求解即可． 【详解】解：∵正方形在平面直角坐标系中， ∴轴，轴， ∵点， ∴， ∴，即 ∵，， ∴根据平移可得，点在新坐标系中对应的坐标为． 9．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 【答案】 【分析】根据规则分别确定密文中每个字母对应的明文中的字母，进一步可得答案． 【详解】解：由题意可得：向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 结合循环可得：向前移动3位对应的是， ∴当密钥，密文所对应的明文是． 10．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到根据这个规律，则的坐标为_______________． 【答案】 【分析】先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∵， ∴点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图易知，点的纵坐标为1，即点的纵坐标为1， 点的坐标为． 11．（25-26七年级下·云南怒江·期中）已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在轴上得到，求出，然后求解即可； （2）根据直线轴得到，求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，直线轴 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 12．（24-25七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 【答案】(1)22； (2)； (3)①该行上的数字是连续的奇数； ②该行上的数字个数等于该行数． 【分析】本题考查用有序数对表示位置，以及数字类规律探究． （1）根据题意得到表示第6行，第5个数，即可得出结论； （2）先确定39所在的行数，以及所在行的第几个数，即可； （3）由已知数据，可知，奇数行的数字为连续的奇数，个数与行数相同，即可． 【详解】（1）解：由题意，表示第6行，第5个数， 由已知数据可知：奇数行的数字为连续的奇数，偶数行的数字为连续的偶数，且每一行数字的个数与行数相同， ∴第6行的第一个数为14，第5个数为：， ∴图中位置上的数是22， 故答案为：22； （2）∵第5行的最后一个数为17， ∴第7行的第一个数为19，最后一个数为， ∴第9行的第一个数为33，最后一个数为 ∵， ∴是第9行的第4个数； ∴39对应的有序实数对可表示为， 故答案为：； （3）∵为奇数， ∴该行上的数字为连续的奇数，该行上的数字的个数等于该行数． 故答案为：①该行上的数字是连续的奇数；②该行上的数字个数等于该行数． 13．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、平面直角坐标系中点的平移，左右平移：正数向右平移，负数向左平移；上下平移：正数向上平移，负数向下平移． 按照先左右后上下的顺序列出算式，再计算即可； 根据平移的方向和距离画出图形即可； 根据、水平相距的单位，可得、的关系；根据、竖直相距的单位，可得、的关系． 【详解】（1）解：从到记为：， 从到记为：, 从到记为：， 点运动路线为时， 运动的总路程为； （2）解：如下图所示， （3）解：由可知点在点的右方距离点个单位长度， ， 由可知点和点在同一个水平方向上， ， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $