第04讲 平方根（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）2026-2027学年八年级上学期数学衔接讲义（北师大版）

第04讲 平方根（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用平方根解方程 典型例题五 利用算术平方根的非负性解题 典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的值小于6 B．是4的平方根 C．的算术平方根是 D． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南永州·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 知识点03 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）若，，则___________ 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2026·宁夏银川·一模）计算：_____． 【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）按要求完成作答： (1)25的平方根是_____． (2)已知一个正数的两个不同的平方根分别和，则_____． (3)已知一个正数的两个不同的平方根分别为和．求这个正数，并写出的立方根在哪两个连续整数之间． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（2026·江苏连云港·二模）化简的结果是（     ） A． B．3 C． D．9 【例2】（2026·贵州贵阳·一模）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．2 C． D．3.14 【例3】（25-26七年级下·吉林·期中）计算：______． 【例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________． 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出、、ab之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若x＋y＝5，，则x－y＝______； (3)拓展应用：若，求的值． 【典型例题四 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的计算程序中，输入x的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 【例3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为________． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）立方根等于本身的数为________； （2）已知，则________． 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某正数m的两个不同平方根分别是和， (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程的解 【典型例题五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）若，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【例2】（25-26八年级上·海南海口·期中）若x，y为实数，且则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）若，则的值为________． 【例4】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值 (1)，其中． (2)，其中，． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（    ） 姓名：嘉琪  得分： ？ 填空（每道题10分） （1）1的平方根是 1 （2）写出一个无理数： （3）若27是一个数的立方根，则这个数是 3 （4）的相反数是 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________． 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是_____． 1．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，c是的整数部分． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的立方根． 3．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【例2】（25-26七年级下·山西大同·期中）小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）已知，则___________． 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（  ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【例3】（2026·河南周口·一模）物理中自由落体下落高度公式（为重力加速度，取）若物体下落高度， 则下落时间 ___________． 【例4】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 2．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期中）某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）若对于实数x、y定义一种新运算：，则______． 【例4】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）对a，b定义运算“*”如下：，已知，则有理数______． 1．（24-25七年级下·广西玉林·阶段检测）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ． (2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由． (3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【例3】（24-25六年级上·山东威海·期末）图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图2所示的正方体，图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是______． 【例4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）（日常生活情境：体重指数）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况，肥胖的一种衡量方式，其公式为体重（）/［身高（）］．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是_________． 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素 材 1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为，手柄长为． 素 材 2 为了美观，小志设计了一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装． 任务： (1)根据素材1，该团扇的扇面半径为___________； (2)根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； (3)如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 1．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东湛江·期中）已知，则的值是___________． 7．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 8．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则______． 9．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是______． （用含的代数式表示） 10．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 11．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 12．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 15．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为13的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： ∴， 又∵，∴， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平方根（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用平方根解方程 典型例题五 利用算术平方根的非负性解题 典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的值小于6 B．是4的平方根 C．的算术平方根是 D． 【答案】B 【分析】根据无理数大小估算，平方根与算术平方根的概念，逐一判断选项即可． 【详解】解：A：由，可得，故A错误，不符合题意； B：，故是4的平方根，B正确，符合题意； C、，故的算术平方根是3，C错误，不符合题意； D、，D错误，不符合题意． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，分别计算各选项即可判断正误； 【详解】解： 故A错误. 是9的算术平方根，结果为非负数，即 故 B错误. ， 故C正确. ， 故D错误； 2．（25-26七年级下·湖南永州·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根之和为，可得，解得的值，进而求得这个正数的平方根，从而求得这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ， 即这个正数是． 知识点03 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）若，，则___________ 【答案】48.5 【详解】解：∵，， ∴． 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【详解】解： 的平方根是 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负性可得到的值，将的值代入已知式子可求得的值，从而根据平方根的定义求解的平方根． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的平方根是． 【例3】（2026·宁夏银川·一模）计算：_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ． 【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是5，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）按要求完成作答： (1)25的平方根是_____． (2)已知一个正数的两个不同的平方根分别和，则_____． (3)已知一个正数的两个不同的平方根分别为和．求这个正数，并写出的立方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1) (2) (3)这个正数是，的立方根在和之间 【分析】（1）根据平方根的定义，直接计算25的平方根． （2）根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，可得它们的和为0． （3）先利用正数的两个不同平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后计算的立方根并判断其所在的两个连续整数之间的范围． 【详解】（1）解： 的平方根是 （2）解：一个正数的两个不同平方根互为相反数， ． （3）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ， 解得． ， 这个正数为 ，， ， 的立方根在和之间． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】（1）根据解答即可； （2）先由（1）确定m＝3，，再求出代数式的值，然后根据平方根的定义解答； （3）先确定的取值范围，即可得出，，进而求出，最后根据相反数的定义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 所以的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 所以的平方根是； （3）解：∵ ， ∴． 又∵x是整数，且， ∴，， 则， ∴的相反数是． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长． (1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度． (2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知、，直接代入公式，分步计算根号内数值，再开平方求出速度； （2）已知、，直接代入公式计算． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得， 两边平方得， 解得． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（2026·江苏连云港·二模）化简的结果是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】解：． 【例2】（2026·贵州贵阳·一模）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．2 C． D．3.14 【答案】C 【分析】有理数包括整数、分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，是整数，是有限小数，都属于有理数， 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 【例3】（25-26七年级下·吉林·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴． 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或或或 (3) 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答； （3）将代入题中的式子，对比表格即可解答． 【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是； （2）解：， ， 正整数a的值为或或或； （3）解：将代入可得， 根据表格可得， 答：该物体到达地面大概需要． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a+b=±5， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案． 【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为或， 即或， 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 【答案】 【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出、、ab之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若x＋y＝5，，则x－y＝______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)＝＋4ab (2)±4 (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示，即可得出答案； （2）由（1）可得出（x−y）2＝(x＋y)2−4xy，将x＋y＝5，整体代入，即可得出答案； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为ab， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即＝＋4ab＝＋4ab． 故答案为：＝＋4ab． （2）解：∵x＋y＝5，， ∴， ∴x−y＝±4． 故答案为：±4． （3）解：∵， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【典型例题四 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 【答案】D 【分析】两边开平方，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或， 故选D． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，解题时要注意有两个解． 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的计算程序中，输入x的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的混合运算，利用平方根解方程．根据计算程序得到，解方程即可解答． 【详解】解：根据题意得，， 整理得， 解得或 ∴输出结果为4或， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为________． 【答案】 【分析】本题根据平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键，移项，系数化1，再利用平方根解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）立方根等于本身的数为________； （2）已知，则________． 【答案】 0，1和 【分析】本题考查的是立方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）立方根等于本身的数为0，1和； 故答案为：0，1和； （2）∵， ∴； 故答案为：． 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某正数m的两个不同平方根分别是和， (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程的解 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根的性质，利用平方根解方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求解即可； （2）把代入，求出平方根的值，再根据平方根的定义求解即可； （3）先将代入方程，再利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：； （2）解：把代入，得：， ∴的一个平方根是， ∴； （3）解：把代入方程，得：， ∴， 解得：． 【典型例题五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）若，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 【例2】（25-26八年级上·海南海口·期中）若x，y为实数，且则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“非负数和为0，则每个非负数均为0”求出的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得出和，求出，再代入计算的值． 【详解】解：， 又， 且， 由，得，解得， 由，得，解得， ， ． 故选：B． 【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和完全平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数均为，据此求出和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：，， 将，代入得： ． 【例4】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值 (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】此题考查了整式混合运算和化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的法则计算得到化简结果，再根据非负数的性质求出字母的值，再把字母的值代入计算即可； （2）利用乘法公式和整式的加减法计算括号内的部分，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 将，代入得： 原式 ； （2）解： 当，时，原式． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，求出，进而得到，两式相减，得，求出m的算术平方根为，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“共同体区间”是． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)A (2)等腰 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，即可解答； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又 ∵， ， ∴值总是正数， 故选：A． （2）解：， ， 即， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：， ， ， ， ． 【典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（    ） 姓名：嘉琪  得分： ？ 填空（每道题10分） （1）1的平方根是 1 （2）写出一个无理数： （3）若27是一个数的立方根，则这个数是 3 （4）的相反数是 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】B 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的求法，结合无理数和相反数的意义分别判断即可． 【详解】解：（1）1的平方根是，故错误； （2）写出一个无理数：，故正确； （3）若27是一个数的立方根，则这个数是，故错误；    （4）的相反数是，故正确； ∴正确的有2个，得分为20分， 故选B． 【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，无理数和相反数，掌握相应的概念是解题的关键，同时注意区别． 【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是_____． 【答案】27 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 根据立方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，这个数是， 故答案为：27． 1．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【答案】4 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，分别求得的值，进而求得的值，再求立方根，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ， 的立方根为4． 2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，c是的整数部分． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求出a的值，根据算术平方根等于它本身的数只有0和1，结合求出b的值，估算出的范围可求出c的值； （2）根据（1）所求，求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴， ∴； ∵的算术平方根为它本身，且， ∴的算术平方根为1， ∴， ∴， ∴， ∴（此时，符合题意）； ∵， ∴； ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴的立方根为． 3．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 【典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【答案】D 【分析】被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点向右或者向左移动一位，据此求解． 【详解】解：∵ ∴ 【例2】（25-26七年级下·山西大同·期中）小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干表格数据可总结算术平方根的规律，被开方数小数点每向某方向移动两位，算术平方根的小数点向同一方向移动一位，利用规律即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得规律：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动两位，对应的算术平方根的小数点就向同一方向移动一位， ∵，且是将的小数点向右移动两位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即． 【例3】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，那么其算术平方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】， ． 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 【答案】48.5 【分析】从表格数据归纳得到规律，被开方数的小数点向右移动两位，其算术平方根的小数点相应向右移动一位，据此利用已知近似值计算结果. 【详解】解：， 即被开方数的小数点向右移动两位得到， 又， 根据规律可得. 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数） (2)①0.1435  ②1435 【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键． （1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可； （2）①根据（1）总结的规律，计算即可； ②根据（1）总结的规律，计算即可； 【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）； （2）解：①根据（1）总结规律，； ②根据（1）总结规律，， 故答案为：①0.1435  ②1435． 2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形面积的计算，根据正方形的面积公式边长的平方等于面积求解算术平方根即可． 【详解】解：设正方形丝巾的边长为 ， 正方形的面积为 ， ， ∴， ， ，即正方形丝巾的边长是 ． 【例2】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（  ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】C 【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果． 【详解】解：由题意，，，代入公式得 化简得 整理得 ∵时间为正数 ∴， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒． 【例3】（2026·河南周口·一模）物理中自由落体下落高度公式（为重力加速度，取）若物体下落高度， 则下落时间 ___________． 【答案】3 【详解】解：由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 所以，物体下落的时间为3秒． 【例4】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】(1)原正方形纸片的边长为． (2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 2．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期中）某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 【答案】符合要求，所需篱笆的总长度为 【分析】分别设出长方形的长和宽，利用面积公式列出方程，再利用算术平方根求解，然后比较大小作出判断即可． 【详解】解：设兴趣小组的长与宽分别为和， 由题意得， ， ， ， 长与宽分别为和， ， 符合要求， 所需篱笆的总长度为． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．根据题目定义的运算法则和算术平方根的运算方法进行计算． 【详解】解：， ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）若对于实数x、y定义一种新运算：，则______． 【答案】6 【分析】代入新运算计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解新运算是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）对a，b定义运算“*”如下：，已知，则有理数______． 【答案】4 【分析】先利用新定义的运算法则，将转化为我们熟悉的实数的运算，根据已知条件需分两种情况进行讨论，即可求得答案． 【详解】解：当时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，，解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广西玉林·阶段检测）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ． (2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由． (3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值． 【答案】(1)2，8，50 (2)3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24． (3)25或256． 【分析】本题考查了算术平方根的应用、“数学和谐数”的定义等知识点，正确理解“数学和谐数”的意义是解题的关键． （1）根据“数学和谐数”的定义写成一组“数学和谐数”即可； （2）根据“数学和谐数”的定义和算术平方根的定义即可求解； （3）根据“数学和谐数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴2，8，50这三个数是“数学和谐数”． 故答案为：2，8，50 ． （2）解：∵． ∴3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24． （3）解：∵a，64，100，这三个数是“数学和谐数”， ∴a是正整数，， ∵， ∴分两种情况： ①当，即时，则最大算术平方根是80，最小算术平方根是， ∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍， ∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义； ②当，即时，则最大算术平方根是，最小算术平方根是80， ∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍， ∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义． 综上所述：a的值为25或256． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长． 【详解】解：棱长为的正方体体积为， 设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为， 由题知长方体实心铜块的高为，故体积为， 则，即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为正数， ∴， 因此，底面正方形的边长为． 故选：B． 【例2】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·山东威海·期末）图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图2所示的正方体，图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是展开图折成几何体，平方根的应用，将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一个正方形对角线的两个端点， ∵每一个正方形的边长为1，则面积为， ∴根据正方形面积等于对角线乘积一半可得， 解得（负值已舍去）． 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）（日常生活情境：体重指数）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况，肥胖的一种衡量方式，其公式为体重（）/［身高（）］．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查日常生活情境：体重指数，读懂题意，理解体重（）/［身高（）］，将题中信息代入，利用直接开平方法求解即可得到答案． 【详解】解：体重（）/［身高（）］， 设小红身高为， 当体重为，她的值为20时，可得， 则， 解得（身高不能为负，负值舍去）， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：∵有一个物体从离地面40米高处自由落下， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素 材 1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为，手柄长为． 素 材 2 为了美观，小志设计了一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装． 任务： (1)根据素材1，该团扇的扇面半径为___________； (2)根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； (3)如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【答案】(1)10 (2)该长方体盒子的长为，高为 (3)长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】（1）该团扇的扇面半径为，根据圆的面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】（1）解：设该团扇的扇面半径为， 团扇的扇面面积为100， ∴， 解得（舍负）， ∴该团扇的扇面半径为； （2）解：∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装， ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）解：这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 1．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 【答案】C 【详解】解：判断①：∵表示4的算术平方根，结果为非负数， ∴，①错误； 判断②：∵，， ∴64的平方根是，立方根是4，②错误； 判断③：∵， ∴，③正确； 判断④：要使和有意义，需满足解得且， ∴，④正确； 综上，正确的序号是③④． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 【答案】B 【分析】本题考查日历中数字的规律以及利用平方根解方程，解题的关键在于找出日历中正方形方框内最小数、最大数与中间数的关系． 根据题意得出，然后将选项代入，利用平方根解方程判断即可． 【详解】解：在日历中，同一列相邻两个数相差，同一行相邻两个数相差， 那么最小的数是，最大的数是， 已知最小的数与最大的数的积记为，则， ∴． 选项A：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项B：当时，，解得： （负值舍去），符合题意； 选项C：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项D：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】C 【详解】解：A、 由表格可得，2.1的平方为4.41，结论正确； B 、由表格得， ∵， ∴，结论正确； C 、∵， ∴的平方根是，原结论错误； D、 观察表格可知，当时，随着x增大，的值也增大，结论正确． 5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案． 【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知， 正方形的边长要满足， 则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2． 6．（25-26八年级下·广东湛江·期中）已知，则的值是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x和y的值，从而求得的值． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴且， ∴且， 即且， ∴． 7．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 8．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根的定义：正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，的平方根是即可求解，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是______． （用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】先分析数阵规律，得出第行有个数、前行总个数为，再算出前行最后一个数的被开方数，进而推求出第行从左数第个数的被开方数，最终得到该数． 【详解】解：观察数阵可得：第行开始连续正整数的算术平方根，第行共有个数； 前行的数的总个数为：， 前行共有个数， ∴前行最后一个数的被开方数就是， 第行从左数第个数的被开方数为：， ∴这个数就是． 10．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 11．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 12．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【答案】(1)9 (2)9或1 【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：∵与都是的平方根， ∴当与不相等时， 解得， ∴； 当与相等时， 解得， ∴； 综上，的值为9或1． 13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：； （2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是． 由题意知，， ∴，又， 由表格知，， 该物体到达地面需要． 15．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为13的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： ∴， 又∵，∴， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和数形结合的思想，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据估算出的整数部分； （2）类比题目提供的“面积法”，将表示为“整数部分+小数部分”的形式，通过构造正方形面积方程并忽略小数量值来求解近似值． 【详解】（1）解：， 即， 的整数部分的值为4， 故答案为：4； （2）解：设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： 图中正方形的面积， ． 当时，可忽略，得， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $