5.4 平面向量的应用 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 以坐标法与几何意义为核心，系统整合向量在三角形、梯形等几何图形中的应用，通过典例提炼运算技巧与模型构建方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1|坐标方程求解|向量线性运算→坐标表示| |几何应用|多选7/填空10|向量投影/轨迹模型|数量积几何意义→范围问题| |综合问题|解答11/12|正弦定理+角平分线性质|三角与向量综合→应用拓展|

5.4　平面向量的应用 一、 单选题 1 点P在平面上以每秒速度v＝(－2，3)作匀速直线运动，若4 s后点P的坐标为(－5，16)，则点P的初始坐标为(　　) A. (3，13) B. (3，4) C. (－7，19) D. (－13，28) 2 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为平面ABC内的一点，则·＋·的最小值为(　　) A. －8 B. －4 C. －6 D. －1 3 [2026无锡梅村高级中学期初]中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，若P是其内部任意一点(不含边界)，则·＋·的取值范围是(　　) 图1 图2 A. (－，＋1) B. (－，2) C. (－1，－1) D. (－1，＋1) 4 平面向量有这样一个结论：已知O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.设O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 若P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6 设O是△ABC的外心，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列命题中为真命题的是(　　) A. 若λ＋μ＝1，则C＝ B. 若∥，则λ2＋μ2＝1 C. 若△ABC是正三角形，则λ＋μ＝ D. 若λ＋μ>1，＝(－2，1)，＝(2，4)，则四边形AOBC的面积是5 7 [2025南通海门部分学校月考]已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝4，P是该梯形内一点(含边界)，∥，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝＋ B. 4S△PAC＝S△ABC C. ·＝2 D. ·的取值范围是[2，8] 三、 填空题 8 在△ABC中，O为BC的中点，向量，的夹角为60°，||＝2||＝2，则线段AC的长度是________． 9 [2025连云港期末]在△ABC中，若·(－)＝5·(－)，则cos B的最小值为________． 10 已知正三角形ABC的边长为2，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围为________． 四、 解答题 11 [2026南京临江高级中学开学考试]已知在锐角三角形ABC中，sin ∠BAC＝2sin 2C－sin (B－C)，D为边BC上一点，且AD平分∠BAC. (1) 求的值； (2) 若cos ∠BAC＝，求的值． 12 [2025连云港灌南二中月考]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，设＝a，＝b. (1) 试用a和b表示； (2) 若点P满足＝a＋λb，且B，D，P三点共线，求实数λ的值； (3) 若AD＝2，AB＝4，∠DAB＝60°，且E是线段AC上的动点，求·的最小值． 5．4　平面向量的应用 1. B　解析：设点P的初始坐标为(x，y).由题意，得(－5－x，16－y)＝4(－2，3)＝(－8，12)，解得x＝3，y＝4，即点P的坐标为(3，4). 2. A　解析：如图，分别以BC和其垂直平分线所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，易知A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0).设P(x，y)，则＝(－x，4－y)，＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＋·＝·(＋)＝2x2＋2y2－8y＝2[x2＋(y－2)2]－8≥－8，当且仅当x＝0，y＝2，即点P的坐标为(0，2)时取等号，故·＋·的最小值为－8. 3. C　解析：由八卦图的对称性可得∠AOB＝＝，所以||＝|－|＝＝＝＝.设点O到AB的距离为d，则S△OAB＝OA·OB sin ＝AB·d，解得d＝＝＝.又·＋·＝·＋·＝(＋)·＝·＝||·||·(－cos ∠PAB)，其中||·(－cos ∠PAB)是在上的投影，所以－－<||·(－cos ∠PAB)<d－，即－－＜||·(－cos ∠PAB)＜－，所以－(＋)＜·＜×(－)，即－1＜·＜－1，所以－1＜·＋·＜－1，即·＋·的取值范围为(－1，－1). 4. C　解析：因为3＋2＋＝3(－)＋2(－)＋(－)＝－2＋＋，所以＋2＋3＝－2＋＋，即3＋＋2＝0，所以＝＝. 5. AD　解析：因为|－|－|＋－2|＝0，＋－2＝－＋－＝＋，所以||＝|＋|＝|－|，两边同时平方并整理，得·＝0，故AB⊥AC，即A＝，则△ABC的形状为直角三角形，也可能是等腰直角三角形，所以△ABC的形状不可能为钝角或等边三角形．故选AD. 6. ACD　解析：对于A，因为λ＋μ＝1，所以A，O，B三点共线．又O是△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，所以O为AB的中点，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，故A正确；对于B，因为∥，所以A，O，B三点共线．由A知△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且O为AB的中点，则λ＝μ＝，λ2＋μ2＝，故B错误；对于C，因为△ABC是正三角形，所以＝＋，则λ＋μ＝，故C正确；对于D，由λ＋μ>1，得点O在△ABC外．由·＝0，得CO⊥AB.又||＝2，||＝，所以S四边形AOBC＝||×||＝5，故D正确．故选ACD. 7. ACD　解析：如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设P(x，y)，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.由题意，得BE＝CF＝1，EF＝AD＝2，所以AE＝DF＝＝，所以B(0，0)，C(4，0)，D(3，)，A(1，)，所以＝(x，y)，＝(1，)，＝(3，－)，所以－＝(x，y)－(1，)＝(x－，y－).因为(－)∥，所以3＝－，化简，得x＋y－2＝0.设直线AB的方程为y＝kx，则＝k，所以y＝x.由得x＝，y＝，所以点P的轨迹与直线AB交于点H，恰为线段AB的中点．对于x＋y－2＝0，当y＝0时，x＝2，所以点P的轨迹与BC交于点 G(2，0)，恰为线段BC的中点，所以GH∥AC，所以点P的轨迹方程为x＋y－2＝0.对于A，因为＝(3，)，＋＝(1，)＋(4，0)＝(3，)，所以＝＋，故A正确；对于B，因为点P的轨迹为线段GH，GH∥AC，GH为△ABC的中位线，所以S△ABC＝2S△PAC，故B错误；对于C，因为＝(x，y)，＝(1，)，所以·＝x＋y.因为x＋y－2＝0，所以·＝2，故C正确；对于D，因为＝(x，y)，＝(4，0)，所以·＝4x.因为≤x≤2，所以2≤4x≤8，所以·∈[2，8]，故D正确．故选ACD. 8. 　解析：因为＝＋＝＋，所以||2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝1＋4＋2×2×1×＝7，所以||＝，即线段AC的长度是. 9. 　解析：由·(－)＝5·(－)，得(＋)·(－)＝5(＋)·(－)，所以||2－||2＝5(||2－||2).在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则b2－a2＝5(c2－b2)，所以b2＝，所以cos B＝＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝c2时，等号成立，所以cos B的最小值为. 10. [3－2，3＋2]　解析：由题意，得点P的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，则＝＋＝－，＝＋＝＋，所以·＝·＝||2－||2＝||2－1.又因为PM∈[CM－1，CM＋1]，所以PM∈[－1，＋1]，所以·∈[3－2，3＋2]. 11. 设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1) 由sin ∠BAC＝2sin 2C－sin (B－C)，得sin (B＋C)＝2sin 2C－sin (B－C)， 所以sin B cos C＋cos B sin C＝4sin C cos C－sin B cos C＋cos B sin C, 整理，得sin B cos C＝2sin C cos C. 在锐角三角形ABC中，cos C>0，所以sin B＝2sin C， 则由正弦定理可得b＝2c. 又AD平分∠BAC， 根据角平分线的性质可得＝＝＝2. (2) 由cos ∠BAC＝＝，且b＝2c，得＝1， 所以a＝2c. 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以||2＝(＋)2＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc cos ∠BAC＝c2＋c2＋c2＝c2， 所以||＝c. 又BC＝2c，所以＝. 12. (1) 因为＝－，＝－，＝2， 所以－＝2(－)， 所以＝－＋2＝－b＋2a. (2) 因为B，D，P三点共线，所以＝k＋(1－k). 因为＝－，＝2，所以＝＋. 又＝a＋λb＝＋λ＝＋λ(－)， 所以＝＋λ＝－＋， 所以解得λ＝. (3) 设＝t(0≤t≤1). 因为＝＋＝＋，所以＝t＋， 所以＝－＝(t－1)＋，＝－＝t＋， 所以·＝[(t－1)＋]·[t＋] ＝(t2－t)||2＋(t2－t＋1)·＋||2 ＝(t2－t)×4＋×2×4×cos 60°＋×16 ＝12t2－18t＋4＝12－， 故当t＝时，·取到最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $