24.2.1 离差平方和、方差 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差”核心知识点，通过农业选种实际问题导入，先比较甜玉米平均产量，再以折线图直观展示产量波动，引导学生从数据稳定性需求出发，逐步构建离差、离差平方和到方差的概念，形成从实际到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，用甜玉米产量、射击成绩等实例引导学生观察数据波动；通过离差正负抵消问题推导方差公式，发展数学思维的逻辑性；结合数据表格、折线图及方差计算，强化数学语言表达。典例与拓展兼顾基础与提升，助力学生形成数据观念，教师可依托完整流程提升教学效率。

人教·八年级数学下册 第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 24.2.1 离差平方和、方差 问题导入 问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 探究新知 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 （1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明． 样本平均数 总体平均数 估计 甲和乙两种玉米种子的平均产量为： x甲 = 7.537 x乙 = 7.515 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 探究新知 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 （2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？ 为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图： 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 产量波动较小 产量波动较大 探究新知 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 探究新知 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 (x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋( xn－ ) ＝x1＋x2＋ ··· ＋xn－n ＝0 一组数据的离差和总是 0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 探究新知 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把 ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和. 记作“d 2”. 探究新知 把离差的平方的平均数 ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 n 叫作这组数据的方差. 记作“s 2” 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小． 数据分布比较分散 数据分布比较集中 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好的反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 探究新知 思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制． 典例精析 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练， 10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 x甲 = 9+7+ … +10 10 = 8.7 x乙 = 9+10+ … +9 10 = 8.6 方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定； 方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定. 两名运动员射击成绩的方差分别为 由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 跟踪训练 解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定． B 归纳小结 在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了． 由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据． 应用新知 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？ 解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4). 应用新知 x(1)=6 x(2)=6 x(3)=6 x(4)=6 根据方差可知，这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).这两种排序的结果一致. 课堂小结 离差平方和 离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n ) 公式： ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 d 2 = 公式： ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 n s 2 = 方差越大（小），数据的波动越大（小） 方差的作用 比较数据的稳定性 利用样本方差估计总体方差 方差 知识拓展 若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x (1) 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3，平均数为 ，方差为 . (2) 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3平均数为 ，方差为 . (3) 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn ，平均数为 ，方差为 . (4) 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3，平均数为 ，方差为 . 知识拓展 (1) 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3，平均数为 ，方差为 . 分析： (1) 平均数： 方差： 知识拓展 (3) 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn ，平均数为 ，方差为 . 分析： (3) 平均数： 方差： 知识拓展 【归纳总结】 方差的变化规律 数据 平均数 方差 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn s2 s2 a2s2 a2s2 知识拓展 甲团 163 164 164 165 165 166 166 167 乙团 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团表演了同一舞剧，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是： 取 a = 165 甲芭蕾舞团数据为 -2，-1， -1， 0，0，1，1，2 乙芭蕾舞团数据为 -2，0，0，1，1，2，3，3 求两组新数据方差. 知识拓展 方法点拨 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 1.任取一个基准数a； 2.将原数据减去a，得到一组新数据； 3.求新数据的方差. 课堂练习 金P97 1. 离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用(x)̅表示它们的平均数，我们把 (i＝1，2, …，n)叫作xi关于平均数(x)̅的 ⁠ 或 ⁠． 离差 偏差 2． 离差平方和：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“ ”． d2 课堂练习 例1 小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分(单位：分) 如下：6，8，7，9，8，10.这六个分数的离差平方和是 ⁠分． 3.如图是南方某市4月份某天开始日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中最高气温温度值的离差平方和为 ⁠℃. 10 64 课堂练习 5. 已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（　A　） A. 2 B． 4 C． 6 D． 10 A 6. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩(单位：环)分别是：7，8，7，10，8，则这组数据的方差是 ⁠． 1.2 课堂练习 7. 方差反映了每个数据与 ⁠的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越 ， 数据的离散程度越大；方差越 ⁠，数据的离散程度越小，即这组数据越稳定． 平均数 大 小 乙 课堂练习 ＜ $