25.1一元二次方程的概念 导学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的概念，通过雕像比例设计、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛安排三个生活实例导入，引导学生列出方程，对比一元一次方程概念进行迁移，构建从具体问题到抽象概念的学习支架。 以真实情境问题链驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过归纳方程共同点发展推理思维，课堂练习与检测设计从实例建模到形式转化，助力学生用数学语言表达数量关系，强化模型意识与应用能力。

第25章一元二次方程 第一课时：25.1一元二次方程的概念学案 一、素养目标 1.认识并掌握一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式； 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根； 4.理解方程概念与解法，借助直观，构建模型解决实际问题. 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念. 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 三、教学过程 引言 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC＝BC∶5，即BC2＝5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为xm，根据上述等量关系，就可以列出 ( 方程 ① 中未知数的个数 和最高次数各是多少？ )方程 x2＝5(5－x) 整理得 x2＋5x－25＝0 ① 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒(图2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒 底的长为 (100－2x) cm，宽为 (50－2x) cm. ( 方程 ② 中未知数的个数和最高次数各是多少？ )根据方盒的底面积为3600cm2，可列得方程 (100－2x)(50－2x)＝3600 整理并化简，得 x2－75x＋350＝0 ② ( 方程 ③ 中未知数的个数 和最高次数各是多少？ )问题2要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 全部比赛的场数为 4×7＝28. 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程，整理并化简，得 x2－x－56＝0 ③ 由方程③可以得出应邀请的球队数. 思考 方程①②③有什么共同点？ x2＋5x－25＝0 ① x2－75x＋350＝0 ② x2－x－56＝0 ③ 特点：(1) 都是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的＝方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 如：x2－x－56＝0 二次项：x2； 二次项系数：1； 一次项：－x；一次项系数：－1； 常数项：－56 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例如，x＝8是x2－x－56＝0的解. 例 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10. 课堂练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 答案：略 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长. 参考答案（1）解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0（2）解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0.（3）解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课结合生活实例导入，引导学生对比一元一次方程，归纳一元二次方程概念及一般形式。但教学中对二次项系数a≠0的关键点强调不足，部分学生化简方程易出错。今后应增加正反例辨析，放慢概念推导节奏，关注基础薄弱生理解，强化概念本质落实。 6、 课堂检测 一、填空题 1.方程化为一元二次方程的一般形式是________ ,它的一次项系数是______. 2.如果2x+2x2与4x2-2x-6互为相反数,则x的值为_______ 3. 当m 时，关于x的方程是一元二次方程； 二、选择题 4．以下运算错误的是（ ） A． B． C． D． 5.方程：① ② ③ ④中一元二次程是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 6、 方程x2+ax+1=0和x2－x－a=0有一个公共根，则a的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、先化简，再求值： ，其中。 参考答案：1、x²+4x-4=0,4 2. 1、-1 3、-3 4、B 5、C 6、C 三、，代值得： 学科网（北京）股份有限公司 $