24.2 数据的离散程度 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”核心知识点，以自动灌装线饮料含量误差问题导入，通过计算误差、平均数、方差，结合灌装线质量比较、两地气温差异分析等实例，构建从实际问题到数学概念再到应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，通过“问题-探究-应用”教学方法，培养学生数据观念与推理能力。如用灌装线误差、运动员投篮稳定性等实例，引导学生用方差分析数据波动，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升数据分析能力，也为教师提供清晰教学流程。

人教·八年级数学下册 第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 24.2.1 离差平方和、方差的应用 问题导入 问题 如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？ 这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差. 这种误差在工业生产中是普遍存在的. 探究新知 问题 如何判断哪条灌装线的质量更好？ 不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量. 我们需要从两个维度来判断： 1. 误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准， 如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定. 2. 波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度. 可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好. 探究新知 例2 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）. 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10 瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （1）如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？ 探究新知 分析:在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好. 解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示． 甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1 乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为 5 mL、7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 探究新知 （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 可通过哪些统计量来关注饮料的质量？ （2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 x甲 = 501 + 496 + … + 501 10 = 500 x乙 = 496 + 493 + … + 499 10 = 500 甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的方差分别为 (501－500)2 + (496－500)2 + … + (501－500)2 10 = 6.6 (496－500)2 + (493－500)2 + … + (499－500)2 10 = 18.8 ∴甲灌装线的灌装质量更好. 探究新知 因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断. 决策型问题的求解策略 决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况. 探究新知 例3 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 两地的气温有什么差异？ 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图. 探究新知 ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 平均数、中位数、众数. 两地气温的平均数分别为 x甲 11 + 9 + … + 13 13 = = 16 x乙 13 + 11 + … + 15 13 = = 16 平均数相等. 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 中位数都是 16 众数：甲地是 16 和 21, 乙地是 15 和 17. 重复次数太少，不具有代表性. 从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. 探究新知 两地气温的方差分别为 方差 ②通过数据的离散程度分析两地的气温差异： 由 可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 新知应用 1. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮 10 组，每组投篮 10 次，两名运动员投篮 10 组命中的次数如下表所示. 哪名运动员的投篮更稳定？ 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 课P174 解：由题意得， 由平均数相同， 可知，乙运动员的投篮更稳定. 新知应用 2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中，两台机床每 天出次品的数量（单位：件）如下表所示. （1）分别计算两组数据的平均数和方差； 解：由题意得， x甲 0 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 + 1 + 2 + 4 10 = = 1.5 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 x乙 2 + 3 + 1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 + 0 + 1 10 = = 1.2 新知应用 (0－1.5)2 + (1－1.5)2 + … + (4－1.5)2 10 = 1.65 (2－1.2)2 + (3－1.2)2 + … + (1－1.2)2 10 = 0.76 （2）哪台机床的性能比较好？ 即：出次品的平均数小，且波动较小(方差小)的. (2)由（1)可知， x甲 > x乙， ∴乙机床的性能比较好. 课堂小结 如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？ 平均数 离差平方和 数据 中位数 众数 总体平均数 样本估计总体 方差 总体方差 样本估计总体 离散程度 集中趋势 课堂练习 A. 甲 B． 乙 C. 甲、乙均可 D． 无法确定 A 课堂练习 9. 某市准备选购1 000株高度大约为2 m的某种风景树来进行街道绿化．采购小组从三个苗圃中(单株树的价格都相同)各随机测量20株树苗的高度，得到的数据如下： 苗圃 A苗圃 B苗圃 C苗圃 平均高度/m 1.94 2.03 2.03 方差 0.6 0.6 1.2 若要求风景树尽可能高且整齐美观，应选购 苗圃的树苗．(填“A”“B”或“C”) B 课堂练习 例4 小李和小张参加了市田径比赛的校内选拔赛，近期的5次测试成绩(单位：分)如下表所示． 测试序号 1 2 3 4 5 小李 12 13 11 9 15 小张 11 10 13 12 14 (1)根据上表中提供的数据，计算两人5次成绩的平均数和方差 (2)若从两人中选择发挥较为稳定的一人参加市田径比赛，你认为选谁去合适？为什么？ (2)选小张去合适．理由如下： ∴小张发挥较为稳定． ∴选小张去合适． 课堂练习 10. 某校九年级进行立定跳远训练，以下是刘明和张晓同学6次的训练成绩(单位：m)：刘明：2.54，2.48，2.50，2.48，2.54，2.52； 张晓：2.50，2.42，2.52，2.56，2.48，2.58. (1)刘明的平均成绩是 ，张晓的平均成绩是 ⁠ ． 2.51 m 2.51m (2)分别计算两人的6次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？ (3)若预知参加年级的比赛能跳过2.55 m就可能得冠军，应选哪个同学参加？请说明理由． 课堂练习 (3)∵跳过2.55 m就可能获得冠军，且在6次成绩中，张晓两次跳过 了2.55 m，而刘明一次也没有， ∴应选张晓参加． $