25.2.1.2 用配方法解一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解一元二次方程”，通过复习完全平方公式及填空练习引导学生发现常数项与一次项系数的关系，搭建从旧知到新知的学习支架，逐步过渡到将方程转化为(x+n)²=p的形式。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过涵盖二次项系数不为1、无实根等类型的例题培养学生数学思维中的推理意识，步骤归纳与符号表达强化数学语言的模型意识，拓展提高题提升应用能力。学生能掌握转化思想，教师可借助系统练习提升教学效率。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，能运用配方法解一元二次方程. 2.通过配方法将一元二次方程进行变形，进一步体会“降次”的转化思想. 复习回顾 完全平方公式： a2 + 2ab + b2 = ( ______ )2 a2 – 2ab + b2 = ( ______ )2 a + b a – b 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 填空： 【选自教材第9页 练习 第1题】 （1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2； （2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2； （3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2； （4）x2 – x + ___ = ( x – ___ )2. 25 5 36 6 观察这几个式子，你发现了什么规律？ x2±2mx+(m)2=(x±m)2 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 探索新知 怎样解方程 x2+6x+4=0？ 问题1：怎样把方程变成 (x+n)2=p 的形式呢？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 问题2：为什么在方程 x2+6x= – 4 的两边加9？加其他数行吗？ 不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 探索新知 怎样解方程 x2+6x+4=0？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 x+3=± 降次 x1= – 3+， x2= – 3 – x+3=，或x+3= – 解一次方程 知识要点 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 由此可得 x – 4 = ±， x1=4+，x2=4 – . 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（2）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 二次项系数化为1，得 x2 – x = – . 配方，得 x2 – x + ()2 = – + ()2 ， (x – )2 = . 由此可得 x – = ±，x1=1，x2= . 例2 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（3）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 二次项系数化为1，得 x2 – 2x = – . 配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ， (x – 1)2 = – . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 归纳总结 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. 归纳总结 （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 随堂练习 1.一元二次方程 x2 – 6x – 5=0 配方，可变形为（ ） A. (x–3)2=14 B. (x–3)2=4 C. (x+3)2=14 D. (x+3)2=4 A 2.将一元二次方程 2x2 – 3x+1=0 配方，下列配方正确的是（ ） A. (x – )2=16 B. 2(x – )2= C. (x – )2= D. 以上都不对 C 3.解下列方程： 【选自教材第9页 练习 第2题】 （1）x2+10x+9=0； （2）x2 – x – = 0； 解：移项，得 x2+10x = –9. 配方，得x2+10x+52= –9+52， (x+5)2=16. 由此可得 x+5=±4， x1= –1，x2= –9. 解：移项，得 x2–x = . 配方，得x2–x+()2= +()2， (x – )2=2. 由此可得 x – =±， x1= +，x2= –+. （3）3x2+6x–4=0； （4）4x2–6x–3=0； 解：移项，得 3x2+6x=4. 二次项系数化为1，得x2+2x=. 配方，得x2+2x+12=+12， (x+1)2=. 由此可得 x+1=±， x1= –1+ ，x2= –1– . 解：移项，得 4x2–6x=3. 二次项系数化为1，得x2–x=. 配方，得x2– x+()2=+()2， (x – )2=. 由此可得 x – =±， x1= ，x2= . （5）x2+4x–9=2x–11； （6）x(x+4)=8x+4； 解：移项，得 x2+2x= –2. 配方，得x2+2x+12= –2+12， (x+1)2= –1. 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x+1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 解：移项，得 x2–4x=4. 配方，得x2–4x+22=4+22， (x–2)2=8. 由此可得 x – 2 =±2， x1=2+2，x2=2–2. 拓展提高 已知 2x2+y2+4x–6y+11=0，x，y为实数，求 xy 的值. 解：因为 2x2+y2+4x–6y+11=0， 所以2(x2+2x)+(y2–6y)+11=0， 2(x2+2x+1–1)+(y2–6y+9–9)+11=0， 2(x+1)2+(y–3)2=0. 因为 2(x+1)2 ≥0，(y–3)2≥0， 所以 x+1=0，y–3=0. 所以 x = –1，y=3. 所以 xy=(–1)3= –1. 课堂小结 用配方法解 一元二次方程 将常数项移到方程的右边 二次项系数化为1 利用平方根的意义直接开平方 解两个一元一次方程 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 一移 二化 三配 四开 五解 $