课后作业20　导数与函数的极值、最值-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦导数与函数极值、最值，通过基础题巩固概念、提升题强化综合应用、综合题对接高考，形成梯度分明的知识巩固路径，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（极值点判断、最值计算）|单选、填空为主，直接考查导数与极值关系| |提升层|综合应用（含参数问题、分类讨论）|多选、解答题结合，训练逻辑推理能力| |综合层|高考真题改编（复杂情境应用）|压轴题融合八省联考题型，提升应试能力|

课后作业(二十)　导数与函数的极值、最值 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．函数f (x)在R上可导，其导函数为f '(x)，若函数f (x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf '(x)的图象可能是 (　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 2．(2025·吉林长春一模)已知函数f (x)＝x(x－a)2的极大值为，则a＝ (　　) A．－ 3．(2025·湖北黄冈三模)已知函数f (x)＝2cos x＋sin 2x，则f (x)的最小值是 (　　) A．－ D．－3 4．函数f (x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为 (　　) A． C． 5．函数f (x)＝(x＋1)ex，若方程f (x)＝a(a∈R)有2个实数根，则实数a的取值范围是 (　　) A． C． 6．若函数f (x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值又有极小值，则下列结论一定正确的是 (　　) A．a<0 B．b<0 C．ab>－1 D．a＋b>0 二、多项选择题 7．已知函数f (x)＝x3－3x2，则 (　　) A．f (x)在(0，1)内单调递减 B．f (x)的极大值点为2 C．f (x)的极大值为－2 D．f (x)有2个零点 8．已知函数f (x)＝，则下列说法正确的是 (　　) A．f (x)在x＝1处有最小值 B．1是f (x)的极值点 C．当0<a<时，方程f (x)＝a有两异根 D．当a>时，方程f (x)＝a有一个实数根 三、填空题 9．若函数f (x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为___________． 10．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f (x)＝x3－4x＋m在区间[0，3]上的最大值为4，则m＝___________． 四、解答题 11．(13分)已知函数f (x)＝x2－4ax＋a2ln x在x＝1处取得极大值． (1)求a的值； (2)求f (x)在区间上的最大值． 12．(13分)已知f (x)＝exsin x． (1)求函数f (x)在[0，2π]上的极值点； (2)求函数g(x)＝f (x)－x在上的最值． 13．(15分)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝aln x＋－x． (1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程； (2)若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围． 课后作业(二十) 1．B　2．D 3．B　[由题知f (x)的最小正周期为T＝2π，故只需考虑f (x)在[0，2π]上的值域， f '(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝－2sin x＋2(1－2sin2x)＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)， 当x∈或x∈时，f '(x)>0， 当x∈时，f '(x)<0， 所以函数f (x)在内单调递减， 因此f (x)的极小值为f ＝－，极大值为f ，又易知f (0)＝f (2π)＝2，所以函数f (x)在， 结合函数的最小正周期为2π，所以函数f (x)的值域为，所以f (x)的最小值为－．故选B．] 4．A　[f '(x)＝2x＋(a－1)－＝， 设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根， 又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负， 由题意可知正根在(1，2)内， 所以 解得－<a<2．故选A．] 5．C　[因为f (x)＝(x＋1)ex，所以f '(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex． 令f '(x)>0，解得x>－2；令f '(x)<0，解得x<－2，所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增． 所以当x＝－2时，函数f (x)有最小值，且f (－2)＝－e-2＝－． 若方程f (x)＝a(a∈R)有2个实数根，只需直线y＝a与函数y＝f (x)的图象有两个交点． 如图所示，当x→－∞时，f (x)→0，当x＝－1时，f (x)＝0． 所以实数a的取值范围为．故选C．] 6．B　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝， 又函数f (x)既有极大值又有极小值，所以函数f '(x)在(0，＋∞)上有两个零点， 由a≠0，所以方程ax2－4x－2b＝0有两个不同的正实数根x1，x2， 所以即故选B．] 7．AD　[由函数f (x)＝x3－3x2，可得f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 令f '(x)>0，解得x<0或x>2；令f '(x)<0，解得0<x<2， 所以函数f (x)在(0，2)内单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增， 当x＝0时，函数f (x)取得极大值，极大值为f (0)＝0； 当x＝2时，函数f (x)取得极小值，极小值为f (2)＝－4， 又当x→＋∞时，f (x)→＋∞且f (2)＝－4<0，f (0)＝0，所以函数f (x)只有两个零点， 所以A，D正确，B，C不正确．] 8．BC　[f '(x)＝，当x∈(－∞，1)时，f '(x)>0，f (x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 故f (x)在x＝1处有唯一极大值，即最大值，B正确，A错误； f (x)max＝f (1)＝，又当x→＋∞时，f (x)→0，当x∈(－∞，0)时，f (x)<f (0)＝0． 故当0<a<时，f (x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，即方程f (x)＝a有两异根，C正确； 当a>时，f (x)的图象与直线y＝a无交点，即方程f (x)＝a无实数根，D错误． 故选BC．] 9．∪ 10．4　[f '(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f '(x)<0，当x∈(2，3]时，f '(x)>0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4．] 11．解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)， 由已知f '(x)＝3x－4a＋， 令f '(x)＝0，得x＝a或x＝， 当a＝1时，令f '(x)>0，得0<x<或x>1，令f '(x)<0，得<x<1， 故函数f (x)在内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 此时函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝1处取得极小值，与函数f (x)在x＝1处取得极大值矛盾； 当＝1，即a＝3时，令f '(x)>0，得0<x<1或x>3，令f '(x)<0，得1<x<3， 故函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 此时函数f (x)在x＝1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，符合题意． 所以a＝3． (2)由(1)得f (x)＝x2－12x＋9ln x，f '(x)＝，x∈， 令f '(x)>0，得≤x<1，此时函数f (x)单调递增， 令f '(x)<0，得1<x≤e，此时函数f (x)单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝－12＝－． 12．解：(1)由f (x)＝exsin x得 f '(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin． 令f '(x)＝0，解得x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z． 又x∈[0，2π]，所以x1＝，x2＝． 当x变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如表所示． x f '(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调 递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增 所以函数f (x)在[0，2π]内的极大值点为． (2)由题意可知 g(x)＝f (x)－x＝exsin x－x， g'(x)＝ex(sin x＋cos x)－1， 记h(x)＝g'(x)＝ex(sin x＋cos x)－1， 则h'(x)＝ex(sin x＋cos x＋cos x－sin x)＝2excos x． 因为x∈， 所以cos x≥0，又ex>0， 所以h'(x)＝2excos x≥0，所以函数h(x)在上单调递增， h(0)＝e0(sin 0＋cos 0)－1＝0， 所以当x∈时，h(x)<0， 即g'(x)<0，函数g(x)单调递减； 当x∈时，h(x)>0， 即g'(x)>0，函数g(x)单调递增． g(0)＝e0sin 0－0＝0， gsin， gsin， 显然>，所以函数g(x)在上的最小值为g(0)＝0，最大值为g． 13．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f (x)＝ln x－－x，其中x>0，∴f '(x)＝－1． 设切点坐标为(x0，y0)，∵切线斜率为2， ∴f '(x0)＝2，∴－1＝2． 解得x0＝1或x0＝－(舍去)． 当x0＝1时，y0＝f (1)＝ln 1－2－1＝－3． ∴切线方程为y－(－3)＝2(x－1)， 即2x－y－5＝0． (2)f '(x)＝－1，∵x＝1为f (x)的极小值点，∴f '(1)＝a－b－1＝0， ∴a＝b＋1， ∴f '(x)＝－＝－． ①若b≤0，此时x－b>0，令f '(x)＝0，得x＝1． 当0<x<1时，f '(x)>0，f (x)单调递增；当x>1时，f '(x)<0，f (x)单调递减， f (x)在x＝1处取得极大值，舍去． ②若b＝1，f '(x)＝－≤0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (x)不存在极值，舍去． ③若0<b<1，当0<x<b时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 当b<x<1时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 当x>1时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 此时f (x)在x＝1处取得极大值，舍去． ④若b>1，当0<x<1时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 当1<x<b时，f '(x)>0，f (x)单调递增；当x>b时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 此时f (x)在x＝1处取得极小值，符合题意． 综上所述，b的取值范围为(1，＋∞)． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $