糖水不等式解题技巧微专题讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦糖水不等式及其应用，整合北师大版、人教A版教材基础，梳理定理、倒数形式及对数型拓展等核心考点，通过教材溯源、考点提炼、真题精讲环节，帮助学生构建知识网络，突破不等式比较与证明难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过作差法证明不等式发展推理能力，设计多选、大小比较等分层例题训练表达，结合高考真题强化应用，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供系统指导。

糖水不等式 一、回归教材 1、（北师大版必修第一册第24页不等式导入部分） 用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积.一般来讲，窗户面积比地板面积小.显然，比值越大，住宅的采光条件越好.不等式表示的是:当同时增加相等的窗户面积和地板面积时，住宅的采光条件会得到改善. 2、(2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 43 页习题2.1第10题) 已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖( m > 0)(假设全部溶解)，糖水变甜了. 请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【解析】已知 ,则 ,证明如下: 3. ( 2019 人教 A 版高中数学必修第一册第141页习题4.4第13题) 比较下列各题中三个值的大小: (1) ； (2) . 4、（北师大版必修第一册第25页例2） 试证明：若 ,则 .(证明如上，作差法) 二、挖掘考点 1、糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2、对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 对数型糖水不等式(2) 证明如下: ,由换底公式和糖水不等式得 三、例题精讲 例1、（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 思路详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 【答案】BCD 例2、已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 例3、(河南省金太阳2025届高三12月联考 7)已知 ,则 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A 例4、已知 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ,由换底公式和糖水不等式得 , ,即 , 同理, ,即 , ,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 糖水不等式 一、回归教材 1、（北师大版必修第一册第24页不等式导入部分） 用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积.一般来讲，窗户面积比地板面积小.显然，比值越大，住宅的采光条件越好.不等式表示的是:当同时增加相等的窗户面积和地板面积时，住宅的采光条件会得到改善. 2、(2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 43 页习题2.1第10题) 已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖( m > 0)(假设全部溶解)，糖水变甜了. 请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【解析】已知 ,则 ,证明如下: 3. ( 2019 人教 A 版高中数学必修第一册第141页习题4.4第13题) 比较下列各题中三个值的大小: (1) ； (2) . 4、（北师大版必修第一册第25页例2） 试证明：若 ,则 .(证明如上，作差法) 二、挖掘考点 1、糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2、对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 对数型糖水不等式(2) 证明如下: ,由换底公式和糖水不等式得 三、例题精讲 例1、（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2、已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 例3、(河南省金太阳2025届高三12月联考 7)已知 ,则 的大小关系是 A. B. C. D. 例4、已知 , ,则( ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $