专题01 二次函数的概念和最简二次函数y=ax² （暑假自学讲义） 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题01 二次函数的概念和最简二次函数y=ax2 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 列函数关系式 题型3 二次函数y=ax2的图像 题型4二次函数y=ax2的性质 题型5待定系数法和数形结合法 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围； 4. 理解二次函数y=ax2 的图像与性质。 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 【易错点睛】——特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) (a,h,k是常数，a≠0) (a,m,n是常数，a≠0) 2. 二次函数y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 题型归纳 题型1 二次函数的识别 【例1】下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【例2】若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【例3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式练习】 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 3．已知是二次函数，那么的值是________． 4．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 5．已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 6．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 题型2 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【例2】2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【例3】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【变式练习】 1．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 3．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 4．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 5．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是______． 6．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 题型3 二次函数y=ax2的图像 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 【例2】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【例3】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【变式练习】 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 2．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 4．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 5．二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 6．若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标是__________． 7. 抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 8. 已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 题型4 二次函数y=ax2的性质 【例1】填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _____ ______ _____ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    ______ ______ _____ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式练习】 1．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 3．下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 5．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 6．如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 7．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 9．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 题型5 待定系数法与数形结合法 【例1】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【变式练习】 1．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 2．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 3．已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 4．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 5．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 6．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 一、单选题过关练习 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 5．已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 9．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 二、填空题 11．若是二次函数，则的值为______． 12．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 13．若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 14．把变成一般式，它的常数项为_____． 15．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 16．若二次函数的图象过点，则______． 17．已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则__________． 18．如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 三、解答题 19．已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 20．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 21．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 22．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 23．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 24．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题01 二次函数的概念和最简二次函数y=ax2 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 列函数关系式 题型4 二次函数y=ax2的图像 题型5 二次函数y=ax2的性质 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 4. 理解二次函数y=ax2 的图像与性质 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【易错点睛】 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 【易错点睛】——特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) (a,h,k是常数，a≠0) (a,m,n是常数，a≠0) 2. 二次函数y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 题型归纳 题型1 二次函数的识别 【例1】下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 【例3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【变式练习】 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． 2．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 3．已知是二次函数，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 4．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 5．已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可． （2）形如 （为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：若函数为一次函数， 则有， 解得， 所以，当时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得且， 所以，当且时，此函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义、解一元二次方程及解不等式等知识，理解并掌握一次函数和二次函数的定义是解题关键． 6．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型2 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【例2】2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 【例3】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 【变式练习】 1．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 2．已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 3．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 4．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 5．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 6．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 题型3 二次函数y=ax2的图像 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 【例2】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 【例3】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【变式练习】 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线的图像与性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图像关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 4．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 5．二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 【答案】②③① 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小；绝对值越小，开口越大，由此问题可求解． 【详解】解：对于二次函数，开口大小与成反比；函数①的，函数②的，函数③的； 比较的大小：， 因此开口大小从大到小排列为②、③、①； 故答案为②③①． 6．若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先把点A坐标代入抛物线解析式中求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特点，正确求出点A的坐标是解题的关键． 7. 抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 8. 已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 题型4 二次函数y=ax2的性质 【例1】填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ ______ ________ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ ______ ________ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【详解】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为： ， 当时，有最大值，最大值为0， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， 当时，有最小值，最小值为0， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故答案为：   向下  轴    0  大  0  减小   增大；    向上  轴    0  小  0  增大  减小． 【例2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 【变式练习】 1．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 依据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线， ∴对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为， 时，随的增大而减小， ， . 故选：A． 2．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 3．下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象的性质，解题的关键是根据函数表达式判断出函数的图象性质． 利用函数的表达式值和值，逐项判断出各函数的图象性质即可． 【详解】解：A. ，，函数值随自变量的值增大而增大，该选项错误，不符合题意； B. ，，函数值随自变量的值增大而减小，该选项正确，符合题意； C. ，，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，但第一象限内的函数值比第三象限内的函数值要大，该选项错误，不符合题意； D. ，，开口向下，当时，函数值随自变量的值增大而增大，当时，函数值随自变量的值增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 5．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 6．如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 7．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 9．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质：当时，有最小值，可得，解不等式即可； （2）根据二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，得出，解不等式即可； （3）根据二次函数的性质：相等时，函数图象形状相同，得出，解方程即可； （4）根据二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，得出，解方程，求出负数即可． 【详解】（1）解：函数有最小值， ， ； （2）解：当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）解：与的函数图象形状相同， ， 或； （4）解：函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 题型5 待定系数法与数形结合法 【例1】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 【例2】如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 【变式练习】 1．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 2．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特点，点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）抛物线上的点坐标满足相应的函数解析式，所以将代入求解即可； （2）将点向右平移2个单位长度得到点，则，将代入求得，即可判断点在该抛物线的图象上． 【详解】（1）解：将代入得， ； （2）解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 4．已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 5．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 6．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 一、单选题过关练习 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 2．二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，直接根据二次函数的标准形式识别常数项即可． 【详解】解：二次函数的常数项是1， 故选：A． 3．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 4．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 5．已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的开口方向．熟练掌握二次函数图象开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．二次函数图象开口向上，则二次项系数大于零. 【详解】解：∵ 二次函数 的图象开口向上， ∴ 二次项系数 ， ∴ ， 故选 ：B. 6．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 7．已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 8．二次函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图像的顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上， 时，开口向下，掌握开口方向和函数值符号是解题关键． 根据二次函数的开口向下且经过原点可知图象经过第三、四象限． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为原点， ∴图象一定经过第三、四象限． 故选：C． 9．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 函数为二次函数，形式为，根据的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，函数经过的象限． 【详解】∵函数是二次函数，且， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， 当时，； 当时，， 故A错误； 对称轴为，即轴， 故B正确； ∵中，， ∴当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 故C错误； ∵当时，，函数的图象上的点在第四象限； 当时，，函数的图象上的点在第三象限， ∴图象不在第二象限， 故D错误， 故选：B． 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 【详解】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 二、填空题 11．若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 12．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 13．若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 14．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 15．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 16．若二次函数的图象过点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，将点代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：由题知，将点代入得， ． 故答案为：． 17．已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据解析式可得对称轴为轴，再由、两点的纵坐标相同可得点、关于轴对称，据此可得答案. 【详解】解：对于二次函数，对称轴为轴， 点 ，纵坐标相等， 点、关于轴对称， ， 故答案为：． 18．如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，过点B作轴于点F，过点D作轴于点E，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得，进而求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】；二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，和0 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式，既要保证自变量的最高次数是，又要保证二次项系数不为． 根据二次函数的定义来确定未知数的指数和系数的条件，从而求解的值，再确定各项系数． 【详解】解：根据题意，得，解得，． 又， 且， ， ， ． 二次项系数为、一次项系数为、常数项为． 20．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 21．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 22．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 【答案】见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．根据二次函数的定义，二次函数的解析式解答即可． 【详解】解：的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 23．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 24．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $