精品解析：浙江省杭州市杭州中学2026年中考前测试 数学试卷

2026年杭州中学中考适应性考试 数学问卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置； 3．不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑； 4．务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要错位，在本试题卷上作答一律不得分． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下面几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校九年级女生仰卧起坐的测试成绩频数直方图如图所示，其中不低于35次的人数为（ ） A. 60 B. 84 C. 96 D. 144 6. 古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五个没去处；五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 12. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 13. 如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 14. 已知反比例函数，当时，则的取值范围为______． 15. 【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：． 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数） 16. 新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 20. 为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查一部分同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）抽查的人数为 ；6分所在的扇形的圆心角的大小是 度；请补全条形统计图； （2）求出样本数据的平均数、众数、中位数； （3）若该校九年级共有1200名学生，估计该校理化实验操作得满分有多少人． 21. 探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． （1）【图形认识】求证：． （2）【引元关联】设，求关于的函数表达式． 22. 如图，正方形中，点是边上的一点（点不与点，点重合以为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为2，当点为中点时，求的长． 23. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求二次函数的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为1，求的值； （3）在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值． 24. 如图1，为外接圆，点、分别为，中点，连结、、，分别与、交于点、．已知． （1）求证：． （2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年杭州中学中考适应性考试 数学问卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置； 3．不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑； 4．务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要错位，在本试题卷上作答一律不得分． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握“若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”是解题的关键．根据倒数的定义，求与相乘得1的数． 【详解】解：， 的倒数是2 故选：D． 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3. 如图，下面几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线，即可求解． 【详解】从上面看到一个长方形，凹槽口的两条棱能看得到，应画为实线； 凹槽底的两条棱被顶面遮挡，应画为虚线． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项法则逐一判断选项． 【详解】解：选项A，由完全平方公式可得 ，∴A错误． 选项B，由同底数幂乘法法则可得 ，∴B错误． 选项C，由积的乘方法则可得 ，∴C错误． 选项D，根据合并同类项法则，，运算正确． 5. 某学校九年级女生仰卧起坐的测试成绩频数直方图如图所示，其中不低于35次的人数为（ ） A. 60 B. 84 C. 96 D. 144 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，不低于次的人数为（人）． 6. 古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五个没去处；五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干描述找出等量关系即可列出方程组． 【详解】解：若设乌鸦只，树棵， ∵三只栖一树，五个没去处，棵树共栖只乌鸦，还剩只乌鸦没有位置， ∴， ∵五只栖一树，闲了一棵树，即只有棵树栖了乌鸦，每棵栖只， ∴， 因此可得方程组． 7. 如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得． 【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点， ∵八边形为正八边形， ∴正八边形的每个内角为， ∵， ∴在五边形中，， 由入射角等于反射角得：， ∴，即， ∴在五边形中，， 同理可得：， ∴在五边形中，， 故选：A． 8. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的解析式可知，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，再根据、、之间的大小关系判断、、的大小关系． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， A选项：若，当、，则，故A选项错误； B选项：若，当、，则，故B选项错误； C选项：若，当、，则，得到，故C选项错误； D选项：若，，，，故D选项正确． 故选：D． 9. 如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 37 【解析】 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，，  在  中，      ． 14. 已知反比例函数，当时，则的取值范围为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】结合反比例函数的增减性，分和两种情况讨论的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，. ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限，在每个象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，可得， 当时，分子，可得， 综上，当时，或． 15. 【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：． 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，取该级数的前4项进行估算， 则， ． 16. 新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键． 先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 19. 丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去； 【小问2详解】 解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． 20. 为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查一部分同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）抽查的人数为 ；6分所在的扇形的圆心角的大小是 度；请补全条形统计图； （2）求出样本数据的平均数、众数、中位数； （3）若该校九年级共有1200名学生，估计该校理化实验操作得满分有多少人． 【答案】（1）40，36， 补全图形如下： （2）平均数为分，众数为9分，中位数为8分， （3）210人 【解析】 【分析】（1）利用7分的人数除以所占比例可得样本总人数，由6分所占比例乘以可得圆心角的大小，先求解9分的人数，再补全图形即可； （2）根据平均数、众数、中位数的定义分别解答； （3）用九年级总人数乘以满分的人数所占的比例计算即可得解． 【小问1详解】 解：， 所以抽查的人数为40人， 所以6分所在的扇形的圆心角的大小是36度， 由 【小问2详解】 解：（分） 由得9分的人数最多，所以众数是9分， 40个数据已经按照从大到小的顺序排列，排在第20个，第21个数据分别是8分，8分，所以中位数为：（分） 【小问3详解】 解：（人）， 所以该校九年级共有1200名学生，估计该校理化实验操作得满分有210人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数，众数，中位数与利用样本估计总体． 21. 探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． （1）【图形认识】求证：． （2）【引元关联】设，求关于的函数表达式． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． 22. 如图，正方形中，点是边上的一点（点不与点，点重合以为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为2，当点为中点时，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形、都是正方形， ∴ ，，， 在和中， ∴ （）， ∴ 在中，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， 即 ． （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到 ，，，可证得 （），进而得到，即可求证． （2）根据是中点，且可知垂直平分，可得，分别表示这两个线段得到方程求解即可． 【小问1详解】 见详解； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， ∴正方形中 ， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵是中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴ 解得，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 23. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求二次函数的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为1，求的值； （3）在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先判断出点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，然后求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数， ， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，函数值在处取得最大值， 将，，代入， 得，解得； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ， ， 自变量的取值范围位于对称轴的左侧， ∴如图，点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上， ∵ ， ∴当时，函数值离对称轴越远值越大， ∴要使取得最大值，，， ∴， 整理得，， ∵， ∴当时，. 24. 如图1，为外接圆，点、分别为，中点，连结、、，分别与、交于点、．已知． （1）求证：． （2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若，求． 【答案】（1）证明：∵点、分别为，中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点、分别为，中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到即可求证； （2）先证明，得到，即可求证； （3）过A点作于点H，由三角函数得到和的长，再证明，根据勾股定理可得，再由得出；由，可得，设，则，分别表示出和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点、分别为，中点， ∴， ∵．， ∴为等边三角形， 过A点作于点H，如图： ∵， ∴．． ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，，即， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $