4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦任意角和弧度制及三角函数，通过基础-进阶-综合三层设计，实现从概念理解到情境应用的知识巩固，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|任意角定义、三角函数定义|单选（终边过点求sinα）、基础填空（时钟角度），直接应用概念| |进阶层|象限角判定、对称性|多选（象限角辨析）、中档填空（旋转坐标），分类讨论与辨析| |综合层|弧度制应用、运动问题|解答题（终边参数讨论、圆周运动相遇），情境化综合应用|

4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、 单选题 1 若角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则 sin α 的值为(　　) A. B. － C. － D. － 2 函数y＝＋＋的值域的真子集个数为(　　) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3 [2026浙江名校协作体开学考试]在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，其中x<0，则的值为(　　) A. 11 B. －11 C. D. － 4 在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将角α的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转与角β的终边重合，则cos β的值为(　　) A. B. － C. D. － 二、 多选题 5 在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，且sin α＝x，则x的值可以是(　　) A. ± B. ±1 C. 0 D. ±2 6 [2026南昌莲塘一中月考]下列说法中，正确的是(　　) A. 若α是第一象限角，则α是锐角 B. 3°＝ rad C. 若sin θ<0，则θ为第三象限角 D. 若θ为第二象限角，则为第一象限角或第三象限角 7 已知角θ的终边与单位圆(圆心为坐标原点O)的交点为P，角α，β，γ，φ的终边与角θ的终边分别关于坐标原点，x轴，y轴，直线y＝x对称，则下列结论中正确的是(　　) A. cos α＝－ B. cos β＝－ C. sin γ＝ D. sin φ＝ 三、 填空题 8 若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为________；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为________． 9 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(，1)，将点A绕点O逆时针旋转90°到点B，则点B的坐标为________． 10 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，且x1－x2＝1，则tan α＝________． 四、 解答题 11 若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0). (1) 求sin θ＋cos θ的值； (2) 试判断cos (sin θ)sin (cos θ)的符号． 12 如图，动点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转 rad，点Q按顺时针方向每秒转 rad，求点P与点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长． 4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. C　解析：由题意，得点P(1，－)，则点P与坐标原点的距离为r＝＝2，故sin α＝＝＝－. 2. D　解析：当θ的终边在第一象限时，y＝＋＋＝＋＋＝1＋2＋1＝4；当θ的终边在第二象限时，y＝＋＋＝＋＋＝1－2－1＝－2；当θ的终边在第三象限时，y＝＋＋＝＋＋＝－1－2＋1＝－2；当θ的终边在第四象限时，y＝＋＋＝＋＋＝－1＋2－1＝0；当θ的终边在坐标轴上时，函数无意义．综上，函数的值域为{－2，0，4}，故有23－1＝7(个)真子集． 3. D　解析：由题意，得x2＋＝1，且x<0，解得x＝－，所以tan α＝＝－，所以＝＝＝－. 4. A　解析：由题意知α＝π＋2k1π，k1∈Z，则β＝＋2k2π，k2∈Z，故cos β＝cos ＝. 5. BC　解析：由题意，得sin α＝＝x，故＝，整理，得x2＝x4，解得x＝0或x＝±1.故选BC. 6. BD　解析：对于A，取α＝390°，满足α是第一象限角，但不是锐角，故A错误；对于B，3°＝ rad，故B正确；对于C，若sin θ<0，则θ为第三象限角或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角，故C错误；对于D，若θ为第二象限角，则＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.若k＝2m，m∈Z，则＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，此时为第一象限角；若k＝2m＋1，m∈Z，则＋(2m＋1)π<<＋(2m＋1)π，m∈Z，此时为第三象限角．综上，为第一象限角或第三象限角，故D正确．故选BD. 7. BC　解析：对于A，因为点P关于原点对称的点的坐标为，所以角α的终边与单位圆的交点坐标为，所以cos α＝，故A错误；对于B，点P(－，)关于x轴对称的点的坐标为，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，所以cos β＝－，故B正确；对于C，点P关于y轴对称的点的坐标为，所以角γ的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin γ＝，故C正确；对于D，点P(－，)关于直线y＝x对称的点的坐标为，所以角φ的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin φ＝－，故D错误．故选BC. 8. －180°　－150°　解析：若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为－×360°＝－180°.若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为－×360°＝－150°. 9. (－1，)　解析：由题意，得OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，则∠BOx＝120°.设点B的坐标为(x，y)，则x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝， 即点B的坐标为(－1，). 10. －2　解析：因为点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以角α在第二象限，tan α＝－2. 11. (1) 因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a， 则sin θ＋cos θ＝－＝－； 当a＜0时，r＝－5a， 则sin θ＋cos θ＝－＋＝. 故sin θ＋cos θ的值为或－. (2) 当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin <0; 当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin >0. 综上，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正． 12. 设点P与点Q第一次相遇时所用的时间是t s， 则t·＋t·|－|＝2π，解得t＝4， 故第一次相遇所用的时间为4 s. 设第一次相遇点为C(x，y)， 第一次相遇时点P按逆时针转动×4＝(rad), 则x＝4×cos ＝－2，y＝4×sin ＝－2， 则点C的坐标为(－2，－2). 故点P走过的弧长为×4＝， 点Q走过的弧长为×4＝. 学科网（北京）股份有限公司 $