20.5 一次函数与二元一次方程的关系 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系，通过“数学王国家庭Party”情景导入，以x+y=5引发思考，结合x+y=1与y=-x+1的实例操作，引导学生探究方程解与函数图像点的对应关系，搭建从具体到一般的知识支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过描点画图、推理分析培养学生几何直观与推理意识，用“方程变形有妙招”等口诀总结方法强化模型意识。学生在探究中深化联系观，教师可借助清晰案例与练习提升教学效率。

第二十章 一次函数 20.5 一次函数与二元一次方程的关系 冀教版数学八年级（下） 教学目标 知识与技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组;（重点） 过程与方法：学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法; 情感态度与价值：经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点 看待数学问题的辩证思想 2 情景导入 　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”. x+y=5 这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？ 二元一次方程 到我这里来 一次函数 到我这里来 一、探究新知 思考操作 ： (1) 当 x 取 -2, -1, 0, 1, 2, 3 时，分别写出二元一次方程 x + y = 1 的解和一次函数 y = -x + 1 所对应的点的坐标。 (2)以x + y = 1的解为点的坐标，在平面直角坐标系描点，并画出一次函数 y = -x + 1 的图象。探究它们之间的关系。 4 一、探究新知 思考操作 ：(3) 若点 P(a, b) 在一次函数 y = -x + 1 的图象上，则 是二元一次方程 x + y = 1 的一组解吗？ (4)若 是二元一次方程 x + y = 1 的一组解，则坐标为P(a, b) 的点是否在一次函数 y = -x + 1 的图象上？ x + y = 1 y = -x + 1 P(a, b) 5 获取新知 观察与思考 1.二元一次方程x+y=1可以变形为一次函数y=-x+1，当x=-2，-1，0,1,2,3时，分别写出二元一次方程x+y=1的解和一次函数y=-x+1所对应的点的坐标，并探究它们之间的关系 知识点 二元一次方程与一次函数图象的关系 1 一 一对应 2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出一次函数y=-x+1的图象. O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 (-1,2) (-2,3) (1,0) (0,1) (2,-1) (3,-2) 是方程x+y=1的一组解 因为P（a,b)是直线y=-x+1上的点，所以有b=-a+1，变形，得a+b=1 3.（1）若点P（a,b）在一次函数y=-x+1的图象上，则 是二元一次方程x+y=1 的一组解吗？ （2）若 是二元一次方程x+y=1 的一组解,点坐标为（a,b）的点是否在一次函数y=-x+1的图象上？ （a,b）在一次函数y=-x+1的图象上 因为 是二元一次方程x+y=1的解，所以有a+b=1，变形，得b=-a+1 全品初中 新知探究 问题探究：方程与函数的联系 二元一次方程可以变形为一次函数. 当时, 分别写出二元一次方程的解和一次函数所对应的点的坐标, 并探究它们之间的关系. 当时，二元一次方程的解如下表所示 3 2 1 0 -1 -2 一次函数所对应的点的坐标依次为,,,,, 我们发现这五组解和五个点的一一对应， 所以猜测二元一次方程 的每一组解， 都与一次函数 图象上的点 完全一致。 新知探究 问题探究一：方程与函数的联系 在图中所示的平面直角坐标系中,画出一次函数的图象 解：可知过点, 如图，确定两点画出直线即可 新知探究 问题探究：方程与函数的联系 (1)若点在一次函数的图象上, 则 是二元一次方程的一组解吗? (2)若是二元一次方程的一组解,则坐标为的点是否在一次函数的图象上? 可以发现二元一次方程的解为坐标的点，都在一次函数的图象上 反过来，一次函数图象上的点的坐标，都是二元一次方程的解 二、揭示规律 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解。 方程的解 函数图像上的点 一一对应 12 三、学以致用 1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 ____ 的图像相同. y=-2x+5 2.方程x-y=1有一个解为 则一次 函数y=x-1的图象上有一点为 . (2,1) 3.一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), 则方程2x-y=4有一个解为 . x=2 y=1 ， x=3 y=2 13 二元一次方程x+y=1的解为坐标的点都在一次函数y=-x+1的图象上. 反之，一次函数y=-x+1图象上的点的坐标都是二元一次方程x+y=1的解. 一次函数图象上的点的坐标和对应的二元一次方程的解是一一对应的关系，只是解读的角度不同：变量或未知数 发现 要点解读 一般地,一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y=-b的一个解,以二元一次方程kx-y=-b的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. 以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是一次函数 的图象； 反之，一次函数 的图象上点的坐标是二元一次方程ax+by=c的一组解 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系 事实上,我们把二元一次方程变形为后, 原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式. 当表示未知数时, 就是二元一次方程; 当 表示变量时,就是一次函数, 且有如下结论: 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上; 反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 注意事项： 1.因为二元一次方程的解一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的， 所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合思想 . 2.以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图像完全重合(是一条直线). 新知探究 一次函数与二元一次方程的关系 直线与x轴的交点的横坐标 即是二元一次方程中，当时的值； 直线与y轴的交点的纵坐标 即是二元一次方程中，当时的值． 四、新知再探 例 给你一个二元一次方程组 你能提出什么问题？或者有什么收货？ 我们发现：以二元一次方程组的解为坐标的点是与它对应的两个一次函数图象的交点；反过来，两个一次函数图象的交点坐标是与它们对应的二元一次方程组的解 18 五、知识应用 例 已知二元一次方程组 的解是 那么直线 与 的交点坐标是 . 以“数”解“形”显精确 19 典例分析 例1 已知直线:和直线:. (1)在同一平面直角坐标系中,画出直线 和 的图象. (2)若直线 与直线 相交于点,求点 的坐标. 一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的解. 同理,一次函数图象上任意一点的坐标也都是二元一次方程的解. 所以的坐标就是二元一次方程和的公共解, 即为二元一次方程组的解. 因此,解方程组得 所以,点 的坐标为. 新知探究 一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次函数图像的交点坐标。 反之，两个一次函数图像的交点坐标是这两个一次函数所对应的二元一次方程组的解。 所以，可以通过画两个一次函数图像来找对应的二元一次方程组的解， 反之，可以通过解二元一次方程组来求两个一次函数图像的交点. 注意事项： 用图像法求出的二元一次方程组的解往往是近似值，而用解方程组的方法求出的解是准确值. 总结归纳 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数的图象上的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 二元一次方程与一次函数的关系 全品初中 即学即练 方法技巧 方程变形有妙招， 移项变号要记牢， 系数化 1 看符号， 两点描图直线飘， 方程函数本同源， 点解对应乐陶陶！ 把二元一次方程改写成一次函数的形式,并画出这个一次函数的图象 解：二元一次方程可写成一次函数 一次函数 过点, 函数图像如图所示 即学即练 方法技巧 方程找解很简单， 给 x 赋值算 y 看； 点在图上怎么验？ 代入函数算一算； 解是点来点是解， 数形结合记心间！ 写出二元一次方程的三组解,并以方程的解为坐标在平面直角坐标系中描点. 这些点是否都在一次函数的图象上? 解：的三组解为坐标的点依次为,, 一次函数图像如图所示 由图像可知这些点都在一次函数的图像上 七、总结反思 1、一次函数与二元一次方程的关系 2、一次函数与二元一次方程组的关系 3、数学思想 数形结合 25 课堂小结 二元一次方程与一次函数 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 数形间的一 一对应关系 $