山东省2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷04

**基本信息** 立足人教A版必修二，融合人口普查、疫情传播等现实情境，梯度设计考查数学眼光（统计图表观察）、思维（概率推理）与语言（数据表达）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、统计量、概率、立体几何|第3题人口普查统计图分析，第4题疫情感染概率计算，体现时代性| |填空题|3/15|独立事件概率、方程根、空间距离|第14题直二面角中距离计算，考查空间观念| |解答题|5/77|统计（15题）、概率（16题）、立体几何证明（17题）、解三角形（18题）|15题结合足球喜爱度评分考平均数、方差，17题四棱锥中线面平行与垂直证明，综合应用核心素养|

山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 3．人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 4．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 5．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值. 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 6．一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据水升高部分的体积就是球的体积可得结果. 【详解】金属球的体积为． 圆柱形水杯的底面积为． 水面上升高度为． 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 8．已知，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 则可设，设， 由， 得， 即，化简整理得， 所以，所以， 所以， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【分析】对题干所给式子，利用正弦定理边角互化化简即可判断A，B选项；利用向量的加法法则即可判断C选项，利用向量模长计算的范围即可． 【详解】根据， 由正弦定理可知， 整理得， 利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知，， 故上式可化简为， 根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则， 因为，故，则，，则， 不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故， 因为，故； 由三角形三边关系可知，解得； 故，故的范围为，故D错误． 11．在三棱锥中，，均是边长为4的等边三角形，且，则（     ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质、线面角的定义，结合等边三角形的性质、三棱锥的体积公式、球的性质、球的表面积公式逐一判断即可. 【详解】A：设的中点为，连接， 因为，均是边长为4的等边三角形， 所以， 所以有， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且， 所以由勾股定理可得：， 于是是等边三角形， 所以三棱锥的体积为，所以本选项说法不正确； C：设点在平面的射影为，连接， 所以是直线与平面所成的角， 由上可知三棱锥的体积为， 所以有， ，所以本选项说法正确； D：设点在平面的射影为，连接， 因为， 所以点是的外心，设三棱锥外接球的球心为，显然点在上， 在中，由余弦定理，得， 于是得， 由上可知三棱锥的体积为， 所以， 由正弦定理，得， 设三棱锥外接球的半径为， 在中，由勾股定理，得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，所以本选项说法正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，是两个相互独立的随机事件，且满足，，则__________． 【答案】/ 【详解】，是两个相互独立的随机事件， 13．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 14．已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】/ 【分析】由直二面角得到、，根据勾股定理得到，，求出，求出，求出，设点到平面的距离为，由计算出则. 【详解】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取100名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4，落在内的平均成绩是88分，方差是6，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1)100 (2)分 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为． 由， 所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 16．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； (2)证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理，根据三角形中位线找平行关系进行证明； （2）根据已知线面垂直得到线线垂直，从而通过证明线面垂直得到线线垂直，再利用等腰三角形三线合一得到垂直条件，利用线面垂直的判定定理进行证明． 【详解】（1）略． （2）略． 18．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用余弦定理结合同角三角函数关系计算； （2）应用正弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）应用两角和正弦公式，再应用正弦定理及面积公式计算. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， ，所以； （2）由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； （3）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19．如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 4．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 5．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 6．一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，若向量满足，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 11．在三棱锥中，，均是边长为4的等边三角形，且，则（     ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，是两个相互独立的随机事件，且满足，，则__________． 13．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 14．已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取100名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4，落在内的平均成绩是88分，方差是6，求两组成绩合并后的平均数和方差． 16．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 18．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 19．如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $